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已打印高一数学必修2第一章 空间几何体及其表面积与体积测试题(二)


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高一数学必修 2 第一章 空间几何体的表面积与体积
基础自测 1.如图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是 .

2.如图所示,在棱长为 4 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P 是 A1B1 上一点,且 PB1= A1B1,则多 面体 P-BCC1B1 的体积为 .

1 4

3.已知正方体外接球的体积为

32 ? ,那么正方体的棱长等于 3

. .

4.若三棱锥的三个侧面两两垂直,且侧棱长均为 3 ,则其外接球的表面积是

5 三棱锥 S—ABC 中, SAB, 面 SBC, 都是以 S 为直角顶点的等腰直角三角形, AB=BC=CA=2, SAC 且 则三棱锥 S—ABC 的表面积是 . 例题精讲 1. 如图所示,长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=a,BC=b,BB1=c,并且 a>b>c>0. 求沿着长方体的表面自 A 到 C1 的最短线路的长.

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2. 如图所示,半径为 R 的半圆内的阴影部分以直径 AB 所在直线为轴,旋转一周得到一几何 体, 求该几何体的表面积(其中∠BAC=30°)及其体积.

3 . 如图所示,长方体 ABCD—A′B′C′D′中,用截面截下一个棱锥 C—A′DD′, 求棱锥 C—A′DD′的体积与剩余部分的体积之比.

4. 如图所示,在等腰梯形 ABCD 中,AB=2DC=2,∠DAB=60°, E 为 AB 的中点,将△ADE 与△BEC 分别沿 ED、EC 向上折起, 使 A、B 重合,求形成的三棱锥的外接球的体积.

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巩固练习 1.如图所示,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,底面为直角三角形,∠ ACB=90°, AC=6,BC=CC1= 2 .P 是 BC1 上一动点,则 CP+PA1 的最小值是 . 2.如图所示,扇形的中心角为 90°,其所在圆的半径为 R,弦 AB 将扇 形分成两个部分, 这两部分各以 AO 为轴旋转一周, 所得旋转体的体积 V1 和 V2 之比为 . 3.如图所示,三棱锥 A—BCD 一条侧棱 AD=8 cm,底面一边 BC=18 cm, 其余四条棱的棱长都是 17 cm,求三棱锥 A—BCD 的体积.

4.如图所示,已知正四棱锥 S—ABCD 中,底面边长为 a,侧棱长为
2 a.

(1)求它的外接球的体积; (2)求它的内切球的表面积.

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课后作业 一、填空题 1. 如图所示,E、F 分别是边长为 1 的正方形 ABCD 边 BC、CD 的中点,沿线 AF,AE,EF 折 起来,则所围成的三棱锥的体积为 .

2.长方体的过一个顶点的三条棱长的比是 1∶2∶3,对角线长为 2 14 ,则这个长方体的体 积是 . 3.已知三棱锥 S—ABC 的各顶点都在一个半径为 r 的球面上, 球心 O 在 AB 上, SO⊥底面 ABC, AC= 2 r,则球的体积与三棱锥体积的比值是 4.(2007·辽宁文,15)若一个底面边长为 .
6 ,侧棱长为 6 的正六棱柱的所有顶点都在 2

一个球的面上,则此球的体积为 . 5. 已 知 各 顶 点 都 在 一 个 球 面 上 的 正 四 棱 柱 高 为 4 , 体 积 为 16 , 则 这 个 球 的 表 面 积 是 . 6.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1 的球面上, 其中底面的三个顶点在该球的一个大圆 上,则该正三棱锥的体积是 . 7.(2008·四川理,15)已知正四棱柱的对角线的长为 6 ,且对角线与底面所成角的余弦 值为
3 ,则该正四棱柱的体积等于 3

.

8.(2008·上海春招)已知一个凸多面体共有 9 个面,所有棱长均为 1, 其平面展开图如图所示,则该凸多面体的体积 V= . 二、解答题 9.一个正三棱台的上、 下底面边长分别是 3 cm 和 6 cm,高是
3 cm, 2

(1)求三棱台的斜高; (2)求三棱台的侧面积和表面积.
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10.如图所示,正△ABC 的边长为 4,D、E、F 分别为各边中点,M、N、P 分别为 BE、DE、EF 的中点,将△ABC 沿 DE、EF、DF 折成了三棱锥以后. (1)∠MNP 等于多少度? (2)擦去线段 EM、EN、EP 后剩下的几何体是什么?其侧面积为多少?

11.如图所示,在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB=BC=1,BB1=2, E 是棱 CC1 上的点,且 CE= CC1. (1)求三棱锥 C—BED 的体积; (2)求证:A1C⊥平面 BDE.
1 4

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12.三棱锥 S—ABC 中,一条棱长为 a,其余棱长均为 1,求 a 为何值时 VS—ABC 最大,并求最大值.

参考答案
基础自测 1. 12 ? 2.
16 3

3.

4 3 3

4. 9 ?

5.

3+ 3

例题精讲 1.解 将长方体相邻两个面展开有下列三种可能,如图所示.

三个图形甲、乙、丙中 AC1 的长分别为:
a 2 ? (b ? c) 2 = a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc ,

(a ? b) 2 ? c 2 = a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2ab ,

(a ? c) 2 ? b 2 = a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2ac ,

∵a>b>c>0,∴ab>ac>bc>0.故最短线路的长为 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc . 2. 解 如图所示,过 C 作 CO1⊥AB 于 O1, 在半圆中可得∠BCA=90°,∠BAC=30°,AB=2R, ∴AC= 3 R,BC=R,CO1=
3 2 R,∴S 球=4 ? R , 2

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S圆锥 AO1侧 = ? × S圆锥 BO1侧 = ? ×

3 2 3 R× 3 R= ? R , 2 2
2 3 3 R×R= ? R ,∴S 几何体表=S 球+ S圆锥 AO1侧 + S圆锥 BO1侧 2 2

=

11 2 2 11? 3 2 2 3 11? 3 ?R+ ?R= ? R ,∴旋转所得到的几何体的表面积为 ? R. 2 2 2 2

又 V 球=

4 1 1 3 2 1 2 2 1 2 ? R , V圆锥 AO1 = ·AO1· ? CO1 = ? R ·AO1 V圆锥 BO1 = BO1· ? CO1 = BO1· ? R 4 4 3 3 3 4 3 1 3 5 3 ? R- ?R= ? R. 3 2 6

∴V 几何体=V 球-( V圆锥 AO1 + V圆锥 BO1 )=

3. 解 已知长方体可以看成直四棱柱 ADD′A′—BCC′B′. 设它的底面 ADD′A′面积为 S,高为 h,则它的体积为 V=Sh. 而棱锥 C—A′DD′的底面面积为 S,高是 h, 因此,棱锥 C—A′DD′的体积 VC—A′DD′= × Sh= Sh.余下的体积是 Sh- Sh= Sh. 所以棱锥 C—A′DD′的体积与剩余部分的体积之比为 1∶5. 4. 解 由已知条件知,平面图形中 AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=1. ∴折叠后得到一个正四面体 方法一 作 AF⊥平面 DEC,垂足为 F,F 即为△DEC 的中心. 取 EC 的中点 G,连接 DG、AG,过球心 O 作 OH⊥平面 AEC. 则垂足 H 为△AEC 的中心∴外接球半径可利用△OHA∽△GFA 求 得. ∵AG=
3 3 6 ,AF= 1? ( ) 2 = ,在△AFG 和△AHO 中, 3 2 3

1 2

1 3

1 2

1 6

1 6

5 6

3 3 ? AG ? AH 3 2 3 = 6 . 根据三角形相似可知, AH= .∴OA= = AF 3 4 6 3

∴外接球体积为 ? ×OA = · ? ·

4 3

3

4 3

6 6 4
3

=

6 ? 8

方法二 如图所示,把正四面体放在正方体中.显然,正四面体 的外接球就是正方体的外接球.∵正四面体的棱长为 1, ∴正方体的棱长为
2 2 ,∴外接球直径 2R= 3 · , 2 2
3

? 6? 4 6 6 ∴R= ,∴体积为 ? · ? ? = ?. ? 4 ? 3 4 8 ? ?

∴该三棱锥外接球的体积为

6 ?. 8

巩固练习 1. 5 2 2. 1∶1 3. 解 取 BC 中点 M,连接 AM、DM,取 AD 的中点 N,连接 MN ∵AC=AB=CD=BD,∴BC⊥AM,BC⊥DM,
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又∵AM∩DM=M,∴BC⊥平面 ADM,BC=18, AC=AB=DB=DC=17.∴AM=DM=4 13 , ∴NM⊥AD,∴MN=8 3 .∴S△ADM= ·MN·AD = ·8 3 ·8=32 3 .∴VA—BCD=VB—ADM+VC—ADM = ×S△ADM×(BM+CM)= ×32 3 ×18=192 3 (cm ). 4. 解 (1)设外接球的半径为 R,球心为 O,则 OA=OC=OS, 所以 O 为△SAC 的外心,即△SAC 的外接圆半径就是球的半径. ∵AB=BC=a,∴AC= 2 a.∵SA=SC=AC= 2 a,∴△SAC 为正三角形. 由正弦定理得 2R=
4 3 8 6 3 6 AC 2a 2 6 a,V 球= ? R = ? a. ? ? a ,因此,R= 3 3 27 sin ?ASC sin 60 ? 3

1 2

1 2

1 3

1 3

3

(2)设内切球半径为 r,作 SE⊥底面 ABCD 于 E, 作 SF⊥BC 于 F,连接 EF,则有 SF= SB 2 ? BF 2 = ( 2 a) 2 ? ( ) 2 ?
1 2 1 2

a 2

7 a. 2
7 7 2 a= a. 2 4
2

S△SBC= BC·SF= a×

S 棱锥全=4S△SBC+S 底=( 7 +1)a . 又 SE= SF 2 ? EF 2 = (
3?
7 2 a 1 1 2 6 6 6 3 a) ? ( ) 2 = a= a ,∴V 棱锥= S 底 h= a × a . 2 2 3 3 2 2 6

∴r=

3V棱锥 S 棱锥全

6 3 a 6 ? ? ( 7 ? 1)a 2

42 ? 6 2 4? 7 2 a ,S 球=4 ? r = ? a. 12 3

课后作业
1 24

1.

2. 6.

48
3 4

3. 4 ? 7. 2

4. 4 3? 8. 1+
2 6

5. 24 ?

9. 解 (1)设 O1、O 分别为正三棱台 ABC—A1B1C1 的上、下底面正三角形的中心,如图所 示,则 O1O= ,过 O1 作 O1D1⊥B1C1,OD⊥BC,则 D1D 为三棱台的斜高;过 D1 作 D1E⊥AD 于 E, 则 D1E=O1O= ,因 O1D1=
3 2

3 2

3 3 3 3 3 ×3= ,OD= ×6= 3 ,则 DE=OD-O1D1= 3 = . 6 2 6 2 2
3 2 3 2 ) = 3. 2

在 Rt△D1DE 中, D1D= D1E 2 ? ED2 = ( ) 2 ? (

(2)设 C、C′分别为上、下底的周长,h′为斜高, S 侧= (C+C′)h′=
1 2 1 27 3 2 (3×3+3×6)× 3 = (cm ), 2 2

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S 表=S 侧+S 上+S 下=

2 2 99 3 2 27 3 3 3 + ×3 + ×6 = (cm ). 2 4 4 4 2 27 3 99 3 cm ,表面积为 4 2

故三棱台斜高为 3 cm,侧面积为

cm .

2

10. 解 (1)由题意,折成了三棱锥以后,如图所示, △MNP 为正三角形,故∠MNP=∠DAF=60°. (2)擦去线段 EM、EN、EP 后,所得几何体为棱台, 其侧面积为 S 侧=SE—ADF 侧-SE—MNP 侧 =3×
2 2 9 3 3 3 ×2 -3× ×1 = . 4 4 4

11. (1)解
1 3 1 2

∵CE= CC1= ,∴VC—BDE=VE—BCD= S△BCD·CE
1 2 1 . 12

1 4

1 2

1 3

= × ×1×1× =

(2)证明 连接 AC、B1C,∵AB=BC,∴BD⊥AC. ∵A1A⊥底面 ABCD,∴BD⊥A1A.∵A1A∩AC=A, ∴BD⊥平面 A1AC.∴BD⊥A1C.∵tan∠BB1C= tan∠CBE=
BC 1 = , B1 B 2

CE 1 = ,∴∠BB1C=∠CBE.∵∠BB1C+∠BCB1=90°, CB 2

∴∠CBE+∠BCB1=90°,∴BE⊥B1C.∵BE⊥A1B1,A1B1∩B1C=B1, ∴BE⊥平面 A1B1C,∴BE⊥A1C.∵BD∩BE=B,BE ? 平面 BDE,BD ? 平面 BDE, ∴A1C⊥平面 BDE. 12. 解 方法一 如图所示,设 SC=a,其余棱长均为 1, 取 AB 的中点 H,连接 HS、HC,则 AB⊥HC,AB⊥HS, ∴AB⊥平面 SHC. 在面 SHC 中,过 S 作 SO⊥HC,则 SO⊥平面 ABC. 在△SAB 中,SA=AB=BS=1,∴SH= 设∠SHO= ? ,则 SO=SHsin ? = ∴VS—ABC= S△ABC·SO= ×
1 3 1 3

3 , 2

3 sin ? , 2

1 1 3 3 2 ×1 × sin ? = sin ? ≤ . 8 8 4 2

当且仅当 sin ? =1,即 ? =90°时,三棱锥的体积最大. a= 2 SH= 2 ×
1 1 3 6 6 = ,Vmax= .∴a 为 时,三棱锥的体积最大为 . 8 8 2 2 2

方法二 取 SC 的中点 D,可通过 VS—ABC= S△ABD·SC,转化为关于 a 的目标函数的最大值问 题,利用基本不等式或配方法解决.

1 3

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