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条件概率与事件的独立性


枣庄三中 2009-2010 学年度上学期高三年级 数学学科教学案
组编人白永庆 审核人满其伦 使用时间

编号_3077 编号

条件概率与事件的独立性
姓名 班级学号

一、说明解读
1. 了解条件概率和两个事件互相独立的概念 2. 理解 N 次独立重复试验的模型及二项分布; 3. 能解决一些简单的实际问题.

二.知识提炼
知识梳理: 1. 条件概率及其性质 (1)条件概率的定义:设 A、B 为两个事件,且 P(A)>0,称 P(A|B)= 发生的概率。 发生的条件下, (2)条件概率的性质:①

为在

≤ P( A | B) ≤

; .

②如果 B、C 是两个互斥事件,则 P ( B ∪ C | A) =

2.相互独立事件:事件 A (或 B )是否发生对事件 B (或 A )发生的概率没有影响,这样的 两个事件叫做 . 若 A 与 B 是相互独立事件,则 A 与 B , A 与 B , A 与 B 也相互独立. 3.相互独立事件同时发生的概率: P ( A ? B ) = P ( A) ? P ( B ) 4.互斥事件与相互独立事件是有区别的: 互斥事件与相互独立事件研究的都是两个事件的关系,但互斥的两个事件是一次实验中 的两个事件,相互独立的两个事件是在两次试验中得到的,注意区别。 如果 A、B 相互独立,则 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A ? B) 如 :某 人 射 击 一 次 命 中 的 概 率 是 0.9, 射 击 两 次 , 互 不 影 响 , 至 少 命 中 一 次 的 概 率 是 0.9+0.9-0.9×0.9=0.99,(也即 1-0.1×0.1=0.99) 5.独立重复试验 (1)独立重复试验的定义:在相同条件下重复 n 次并且各次之间相互独立的一种试验. 事件 A1 , A2 ,? , An 相互独立, 则 P( A ? A2 ??? An ) = P( A ) ? P( A2 ) ??? P( An ) 1 1 (2)n 次独立重复试验的概率公式:如果在一次试验中某事件发生的概率是 p,那么在 n 次
k 独立重复试验中这个事恰好发生 K 次的概率: P (k) = Cn Pk (1? P)n?k . n .... . . k=n 时,即在 n 次独立重复试验中事件 A 全部发生,概率为 Pn(n)=Cnnpn(1-p)0 =pn ....

k=0 时,即在 n 次独立重复试验中事件 A 没有发生,概率为 Pn( )=Cn0p0(1-p)n =(1-p)n ....



三、基础再现

1.一学生通过英语听力测试的概率是 ,他连续测试两次,那么其中恰好一次通过的概率是 ( )

1 2

1 1 C. 3 2 3 3 2.已知 P(AB = , P(A) = , 则 P(B | A) 等于 ) 10 5 9 1 9 A. B. C. 50 2 10
A. B.

1 4

D.

3 4
( )

D.

1 4


3. 某人射击一次击中的概率为 0.6,经过 3 次射击,此人至少有两次击中目标的概率为 (

81 A. 125

54 B. 125

36 C. 125

27 D. 125

4.甲、乙两人独立地解同一问题,甲解决这个问题的概率是 p1,乙解决这个问题的概率是 p2,那么恰好有 1 人解决这个问题的概率是 ( ) A. p1p2 B.p1(1-p2)+p2(1-p1) C.1-p1p2 D.1-(1-p1) (1-p2) 5. 浙江文) ( 甲、 乙两人进行乒乓球比赛, 比赛规则为 “3 局 2 胜” 即以先赢 2 局者为胜. , 根 据经验,每局比赛中甲获胜的概率为 0.6,则本次比赛甲获胜的概率是 ( ) (A) 0.216 (B)0.36 (C)0.432 (D)0.648 1 1 6.一道数学竞赛试题,甲生解出它的概率为 ,乙生解出它的概率为 ,丙生解出它的概 2 3 率为
1 ,由甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为______. 4

四、典例示范
例 1.在 100 件产品中有 95 件合格品,5 件不合格品.现在从中不放回的取两次,每次任取 一件,试求: 1)第一次取到不合格品的概率; ( (2)在第一次取到不合格品后,第二次再次取到不合格品的概率.

(四川卷 18) 设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为 0.5 ,购买乙种 . 【例 2】 】 商品的概率为 0.6 ,且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立,各顾客之间购买商品也是相 互独立的。 (Ⅰ)求进入商场的 1 位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率; (Ⅱ)求进入商场的 1 位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率;

例 3.(北京卷文)某学生在上学路上要经过 4 个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独 立的,遇到红灯的概率都是

1 ,遇到红灯时停留的时间都是 2min. 3

(Ⅰ)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率; (Ⅱ)这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是 4min 的概率.

五、知能迁移
1.在某段时间内,甲地不下雨的概率为 0.3,乙地不下雨的概率为 0.4,假设在这段时间内 两地是否下雨相互无影响, 则这段时间内两地都下雨的概率是 ( ) A.0.12 B.0.88 C.0.28 D.0.42 2.位于坐标原点的一个质点 P 按下列规则移动: 质点每次移动一个单位移动的方向为向上或 向右,并且向上和向右移动的概率都为 ,质点 P 移动 5 次后位于(2,3)的概率是( A. ( )5

1 2



1 2

2 B. C5 ( )5

1 2

2 C. C5 ( )3

1 2

2 3 D. C5C5 ( )5

1 2

3.一出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗,假设他在各交通岗遇到红灯这一事件
1 是相互独立的,并且概率都是 .那么这位司机遇到红灯前,已经通过了两个交通岗的概率 3

是________.
4.某学生参加一次选拔考试,有 5 道题,每题 10 分.已知他解题的正确率为 3 ,若 40 分为最 5

低分数线,则该生被选中的概率是________.
5. 甲、乙、丙三人射击命中目标的概率分别为 0.5,0.25,0.125,现三人同时射击一目标,则目标

被命中的概率为________.

6(湖南卷 16) 甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试,面试合格者可正式签约,甲 表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定:两人面试都合格就一同签约,否则两人都不签约. 设每人面试合格的概率都是

1 ,且面试是否合格互不影响.求: 2

(Ⅰ)至少有 1 人面试合格的概率; (Ⅱ)签约人数 ξ 的分布列和数学期望.

7.栽培甲、乙两种果树,先要培育成苗,然后再进行移栽.已知甲、乙两种果树成苗的概 .. .. 率分别为 0.6 , 0.5 ,移栽后成活的概率分别为 0.7 , 0.9 . .. (1)求甲、乙两种果树至少有一种果树成苗的概率; .. (2)求恰好有一种果树能培育成苗且移栽成活的概率. .. ..

8(湖南文)某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训,以提高下岗人员的再就业能力, 每名下岗人员可以选择参加一项培训、 参加两项培训或不参加培训, 已知参加过财会培训的 有 60%,参加过计算机培训的有 75%,假设每个人对培训项目的选择是相互独立的,且各 人的选择相互之间没有影响. (I)任选 1 名下岗人员,求该人参加过培训的概率; (II)任选 3 名下岗人员,求这 3 人中至少有 2 人参加过培养的概率.

条件概率与事件的独立性答案 条件概率与事件的独立性答案
三.CBABD
11 24

四、典例示范
例 1.解:设 A={第一次取到不合格品}, B={第二次取到不合格品}. (1) P(A)=

5 = 0.05 100 5 4 1 × = , 100 99 495

(2) 根据条件概率的定义计算,需先求出事件 AB 的概率:P(AB)=

5 4 × P(AB 100 99 4 ) 所以有 P(A| B) = = = . 5 P(A) 99 100 :记 A 表示事件:进入商场的 1 位顾客购买甲种商品, 例 2【解】 记 B 表示事件:进入商场的 1 位顾客购买乙种商品, 记 C 表示事件:进入商场的 1 位顾客购买甲、乙两种商品中的一种, 记 D 表示事件:进入商场的 1 位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种,
(Ⅰ) C = A ? B + A ? B

P (C ) = P A ? B + A ? B

(

) ) ( )

= P A? B + P A? B

(

) ( ( )

= P ( A) ? P B + P ( A) ? P B

= 0.5 × 0.4 + 0.5 × 0.6 = 0.5
(Ⅱ) D = A ? B

P D = P A? B = P A ?P B

( )

(

)

( ) ( ) ( )

= 0.5 × 0.4 = 0.2

P ( D ) = 1 ? P D = 0.8
例 3. 【解析】本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识, 考查运用概率知识解决实际问题的能力. (Ⅰ)设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件 A,因为事件 A 等

于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯,在第三个路口遇到红灯” ,所以事件 A 的概率为 P ( A ) = ? 1 ? ? × ?1 ? ? ×

? ?

1? ? 3? ?

1? 1 4 . = 3 ? 3 27

(Ⅱ) 设这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是 4min 为事件 B, 这名学 生在上学路上遇到 k 次红灯的事件 Bk ( k = 0,1, 2 ) .

? 2 ? 16 则由题意,得 P ( B0 ) = ? ? = , ? 3 ? 81 32 24 ?1? ? 2? 1?1? ? 2? P ( B1 ) = C4 ? ? ? ? = , P ( B2 ) = C42 ? ? ? ? = . 81 ? 3 ? ? 3 ? 81 ? 3? ? 3?
由于事件 B 等价于“这名学生在上学路上至多遇到两次红灯” , ∴事件 B 的概率为 P ( B ) = P ( B0 ) + P ( B1 ) + P ( B2 ) =
1 3 2 2

4

8 . 9

五、知能迁移
1.D 2.B
4 3. 27

43 ? 3? 4. ? ? 5. 64 ?5? 1 . 2

4

6. 解: 用 A,B,C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知 A,B,C 相互独立,

且 P(A)=P(B)=P(C)= (Ⅰ)至少有 1 人面试合格的概率是

1 7 1 ? P ( ABC ) = 1 ? P ( A) P ( B ) P (C ) = 1 ? ( )3 = . 2 8
(Ⅱ) ξ 的可能取值为 0,1,2,3.

P(ξ = 0) = P( ABC ) + P( ABC ) + P( ABC )
= P ( A) P ( B ) P (C ) + P ( A) P ( B ) P (C ) + P ( A) P ( B ) P (C ) =( ) + ( ) + ( ) =
3 2 3

1 2

1 2

1 2

3 . 8

P (ξ = 1) = P ( ABC ) + P ( ABC ) + P ( ABC )
= P ( A) P ( B ) P (C ) + P ( A) P ( B ) P (C ) + P ( A) P ( B ) P (C ) =( ) +( ) +( ) =
3 3 3

1 2

1 2

1 2

3 . 8

1 P (ξ = 2) = P ( ABC ) = P ( A) P ( B ) P (C ) = . 8 1 P (ξ = 3) = P ( ABC ) = P ( A) P ( B ) P (C ) = . 8
所以, ξ 的分布列是

ξ

0

1

2

3

3 3 1 P 8 8 8 3 3 1 1 ξ 的期望 E ξ = 0 × + 1× + 2 × + 3 × = 1. 8 8 8 8

1 8

7.

解:分别记甲、乙两种果树成苗为事件 A1 , A2 ;分别记甲、乙两种果树苗移栽成活为

事件 B1 , B2 , P ( A1 ) = 0.6 , P ( A2 ) = 0.5 , P ( B1 ) = 0.7 , P ( B2 ) = 0.9 . (1)甲、乙两种果树至少有一种成苗的概率为

P( A1 + A2 ) = 1 ? P( A1 i A2 ) = 1 ? 0.4 × 0.5 = 0.8 ;
(2)解法一:分别记两种果树培育成苗且移栽成活为事件 A,B , 则 P ( A) = P ( A1 B1 ) = 0.42 , P ( B ) = P ( A2 B2 ) = 0.45 . 恰好有一种果树培育成苗且移栽成活的概率为

P ( AB + AB ) = 0.42 × 0.55 + 0.58 × 0.45 = 0.492 .
解法二:恰好有一种果树栽培成活的概率为

P( A1 B1 A2 + A1 B1 A2 B2 + A1 A2 B2 + A1 A2 B1 B2 ) = 0.492 .

8.

解:任选 1 名下岗人员,记“该人参加过财会培训”为事件 A , “该人参加过计算机培

训”为事件 B ,由题设知,事件 A 与 B 相互独立,且 P ( A) = 0.6 , P ( B ) = 0.75 . (I)解法一:任选 1 名下岗人员,该人没有参加过培训的概率是

P = P( Ai B) = P( A)i P ( B) = 0.4 × 0.25 = 0.1 1
所以该人参加过培训的概率是 1 ? P = 1 ? 0.1 = 0.9 . 1 解法二:任选 1 名下岗人员,该人只参加过一项培训的概率是

P2 = P( Ai B) + P( Ai B) = 0.6 × 0.25 + 0.4 × 0.75 = 0.45
该人参加过两项培训的概率是 P3 = P ( Ai B ) = 0.6 × 0.75 = 0.45 . 所以该人参加过培训的概率是 P2 + P = 0.45 + 0.45 = 0.9 . 3

(II)解法一:任选 3 名下岗人员,3 人中只有 2 人参加过培训的概率是

P4 = C32 × 0.92 × 0.1 = 0.243 .
3 人都参加过培训的概率是 P3 = 0.9 = 0.729 .
3

所以 3 人中至少有 2 人参加过培训的概率是 P4 + P = 0.243 + 0.729 = 0.972 . 5 解法二:任选 3 名下岗人员,3 人中只有 1 人参加过培训的概率是
1 C3 × 0.9 × 0.12 = 0.027 .

3 人都没有参加过培训的概率是 0.1 = 0.001 .
3

所以 3 人中至少有 2 人参加过培训的概率是 1 ? 0.027 ? 0.001 = 0.972 .


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