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四川省大竹县文星中学2015届高三4月月考数学(理)试题及答案


四川省大竹县文星中 2015 届高三下期 4 月月考 数学(理)试卷

第 I 卷(选择题)
1. 复数 z1、z2 满足 z1=m+(4-m2)i,z2=2cosθ+(λ+3sinθ)i(m、λ、θ∈R),并且 z1=z2,则 λ 的取值范围是( A.[-1,1] 9 C.[- ,7] 16 x+1≥0, ? ? 2.设实数 x、y 满足条件?x-

y+1≥0, ? ?x+y-2≤0, A.-4 C.4 ) 9 B.[- ,1] 16 9 D. [ ,1] 16

则 y-4x 的最大值是(

)

1 B.- 2 D.7

3.函数

的图象 B.关于直线 y=x 对称 C.关于 x 轴对称
a b c

A.关于原点对称

D.关于 y 轴对称

4.设 a,b,c 均为正数,且 2 =loa,() =lob,() =log2c,则

A.a<b<c 5. 函数 f(x)= 1 A.(0, ) 2

B.c<b<a 1 的定义域为( ?log2x?2-1

C.c<a<b ) B.(2,+∞)

D.b<a<c

1 C.(0, )∪(2,+∞) 2

1 D.(0, ]∪[2,+∞) 2 )

π π 6. 函数 y=2x-4sinx,x∈[- , ]的图象大致是( 2 2

7. 已知倾斜角为 α 的直线 l 与直线 x-2y+2=0 平行,则 tan2α 的值为( 4 A. 5 4 C. 3 3 B. 4 2 D. 3

)

π π 8. 已知 f(x)=asin2x+bcos2x,其中 a、b∈R,ab≠0,若 f(x)≤|f( )|对一切 x∈R 恒成立,且 f( )>0, 6 2 则 f(x)的单调递增区间是( )

π π A.[kπ- ,kπ+ ](k∈Z) 3 6 π 2π B.[kπ+ ,kπ+ ](k∈Z) 6 3 π C.[kπ,kπ+ ](k∈Z) 2 π D.[kπ- , kπ](k∈Z) 2 9. 已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S2n=4(a1+a3+a5+?+a2n-1), a1a2a3=27,则 a6=( A.27 C. 243 B.81 D.729 )

10. 如图,AB 是⊙O 的直径,VA 垂直⊙O 所在的平面,C 是圆 周上不同于 A、B 的任意一点,M、 N 分别为 VA、VC 的中点,则下列结论正确的是( )

A.MN∥AB B.MN 与 BC 所成的角为 45° C.OC⊥平面 VAC D.平面 VAC⊥平面 VBC 11. 如图,在△ABC 中,AB⊥AC,若 AD⊥BC,则 AB2=BD· BC;类似地有命题:在三棱锥 A -BCD 中,AD⊥平面 ABC,若 A 点在平面 BCD 内的射影为 M,则有 S2 S△BCD.上述命题 △ABC=S△BCM· 是( )

A.真命题 B.增加条件“AB⊥AC”才是真命题 C.增加条件“M 为△BCD 的垂心”才是真命题 D.增加条件“三棱锥 A-BCD 是正三棱锥”才是真命题 12. 设 f( x)是定义在 R 上的函数,若 f(0)=2008,且对任意 x∈R,满足 f(x+2)-f(x)≤3· 2x,f(x +6)-f(x)≥63· 2x,则 f(2008)=( A .22006+2007 C.22008+2007 ) B.22008+2006 D.22006+2008

第 II 卷(非选择题)
二、填空题: 1 13.在区间[0,1]上任取两个实数 a、b,则函数 f(x)= x3+ax-b 在区间[-1,1]上有且仅有一个 2 零点的概率为________. 14. 当 x∈R,|x|< 1 时,有如下表达式: 1+x+x2+?+xn+?= 1 , 1-x

1 1 1 1 1 1 两边同时积分得:∫ 01dx+∫ 0xdx+∫ 0x2dx+?+∫ 0xndx+?=∫ 0 dx, 2 2 2 2 2 1-x 从而得到如下等式: 1 1 1 1 1 1 1 + 1× + ×( )2+ ×( )3+?+ ×( )n 1+?=ln2, 2 2 2 3 2 n+1 2 请根据以上材料所蕴含的数学思想方法,计算: 1 1 1 12 1 2 13 1 n 1 n+1 0 Cn × + Cn ×( ) + Cn×( ) +?+ C ×( ) =________. 2 2 2 3 2 n+1 n 2 2a-3 15. 设 f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数,若 f(1)>1,f(2)= ,则实数 a 的取值范围 a+1 是________. 16. 给出下列命题: ^ ①已知线性回归方程y=3+2x,当变量 x 增加 2 个单位,其预报值平均增加 4 个单位; ②在进制计算中,100(2)=11(3);

③若 ξ~N(3,σ2),且 P(0≤ξ≤3)=0.4,则 P(ξ<6)=0.1; ④“a=?1 1-x2dx”是“函数 y=cos2(ax)-sin2(ax)的最小正周期为 4”的充要条件;

?0

2014x 1+2013 π π ⑤设函数 f(x)= +2014sinx(x∈[- , ])的最大值为 M,最小值为 m,则 M+m= x 2 2 2014 +1


4027,其中正确命题的个数是________个. 三、解答题 17.在△ABC 中,a=3,b=2 6,∠B=2∠A. (1)求 cos A 的值; (2)求 c 的值. 1 18. 已知曲线 C:xy=1,过 C 上一点 An(xn,yn)作一斜率为 kn=- 的直线交曲线 C 于另一 xn+2 11 点 An+1(xn+1,yn+1),点列{An}的横坐标构成数列{xn},其中 x1= . 7 (1)求 xn 与 xn+1 的关系式; 1 1 (2)令 bn= + ,求证:数列{bn}是等比数列; xn-2 3 (3)若 cn=3n-λbn(λ 为非零整数,n∈N*),试确定 λ 的值,使得对任意 n∈N*,都有 cn+1>cn 成立. 19.如图,在三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AA1⊥平面 ABC,AB⊥BC,且 AB =BC=2,点 N 为 B1C1 的中点,点 P 在棱 A1C1 上运动.

(1)试问点 P 在何处时,AB∥平面 PNC,并证明你的结论; (2)在(1)的条件下,若 AA1<AB,直线 B1C 与平面 BCP 所成角的正弦值为 -C 的大小. 20.已知(1+2 x)n 的展开式中,某一项的系数是它前一项系数的 2 倍, 而又等于它后一项系数的 5 . 6 (1)求展开后所有项的系数之和及所有项的二项式系数之和; (2)求展开式中的有理项. x2 2 21.已知椭圆 C: 2+y =1(a>1)的上顶点为 A,右焦点为 F,直线 AF 与圆 M:(x-3)2+(y-1)2=3 a 相切. 10 ,求二面角 A-BP 10

(1)求椭圆 C 的方程; → → (2)若不过点 A 的动直线 l 与椭圆 C 交于 P、Q 两点,且AP· AQ=0.求证:直线 l 过定点,并求出 该定点的坐 标. 22.已知函数 f(x)=a· 2x+b· 3x,其中常 数 a、b 满足 a· b≠0. (1)若 a· b>0,判断函数 f(x)的单调性; (2)若 a· b<0,求 f(x+1)>f(x)时的 x 的取值范围.

参考答案 1-5 CCDAC 6-10 DCBCD 11-12 AC 7 13. 8 14. 1 3 n+1 [( ) -1] n+1 2

2 15. (-1, ) 3 16.4 17. (1)因为 a=3,b=2 6,∠B=2∠A, 3 2 6 所以在△ABC 中,由正弦定理得 = , sinA sin2A 2sinAcosA 2 6 6 所以 = ,故 cosA= . sinA 3 3 (2)由(1)知 cosA= 6 , 3 3 . 3

所以 sinA= 1-cos2A=

1 又因为∠B=2∠A,所以 cosB=2cos2A-1= . 3 2 2 所以 sinB= 1-cos2B= , 3 在△ABC 中,sinC=sin(A+B) 5 3 =sinAcosB+cosAsinB= . 9 asinC 所以 c= =5. sinA 1 (x-xn), xn+2

18. (1)过点 An(xn,yn)的直线方程为 y-yn=-

1 ? ?y-yn=-x +2?x-xn? n 联 立方程? ,消去 y 得 ?xy=1 ? xn 1 2 ? x - yn+x +2?x+1=0. ? ? xn+2 n xn+2 解得 x=xn 或 x= . xn xn+2 由题设条件知 xn+1= . xn

1 1 + bn+1 xn+1-2 3 (2)证明: = bn 1 1 + xn-2 3 1 1 + 3 xn+2 xn 1 3xn+2-xn + -2 xn 2-xn 3 3?2-xn? = = = =-2. 1 1 1 1 3+xn-2 + + xn-2 3 xn-2 3 3?xn-2? 1 1 ∵b1= + =-2≠0,∴数列{bn}是等比数列. x1-2 3 (3)由(2)知, bn=(-2)n, 要使 cn+1>cn 恒成立, 由 cn+1-cn=[3n 1-λ(-2)n 1]-[3n-λ(-2)n]=2· 3n
+ +

+3λ(-2)n>0 恒成立, 3?n-1 即 (-1)nλ>-? ?2? 恒成立. 3?n-1 ①当 n 为奇数时,即 λ<? ?2? 恒成立. 3?n-1 又? ?2? 的最小值为 1,∴λ<1. 3?n-1 ②当 n 为偶数时,即 λ>-? ?2? 恒成 立, 3?n-1 3 3 又-? 的最大值为- ,∴ λ > - , 2 ? ? 2 2 3 即- <λ<1.又 λ 为非零整数, 2 ∴λ=-1,使得对任意 n∈N*,都有 cn+1>cn. 19. (1)当点 P 为 A1C1 的中点时,AB∥平面 PNC. ∵P 为 A1C1 的中点,N 为 B1C1 的中点,∴PN∥A1B1∥AB ∵AB?平面 PNC,PN?平面 PNC,∴AB∥平面 PNC. (2)设 AA1=m,则 m<2,∵AB、BC、BB,两两垂直, ∴以 B 为原点,BA、BC,BB1 为 x 轴、y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,则 A(2,0,0),C(0,2,0), B1(0,0,m),A1(2,0,m),C1(0,2,m), ∴P(1,1,m),设平面 BCP 的法向量 n=(x,y,z), → → 则由 n· BP=0,n· BC=0,解得 y=0,x=-mz, → 令 z=0,则 n=(-m,0,-1),又B1C=(0,2,-m), 直线 B1C 与平面 BCP 所成角正弦值为 ∴ 10 |n· B1C| = ,解之得 m=1 10 |n|· |B1C| 10 , 10

∴n=(-1,0,1) 易求得平面 ABP 的法向量 n1=(0,-1,1) n· n1 1 1 cosα= = ,设二面角的平面角为 θ,则 cosθ=- ,∴θ=120° . |n|· |n1| 2 2 20. (1)令 r=1 得展开式中所有项的系数之和为(1+2)7=37=2187. 所有项的二项式系数之和为 27=128.
r r (2)展开式的通项为 Tr+1=Cr 72 x ,r≤7 且 r∈N. 2

于是当 r=0,2,4,6 时,对应项为有理数,
0 0 2 2 即有理数项为 T1=C0 72 x =1,T3=C72 x=84x, 4 2 2 6 6 3 3 T5=C4 72 x =560x ,T7=C72 x =488x .

x2 21.(1)椭圆的方程为 +y2=1. 3 → → (2)由AP· AQ=0 知 AP⊥AQ,从而直线 AP 与坐标轴不垂直,故可设直线 AP 的方程为 y=kx+1, 1 直线 AQ 的方程为 y=- x+1, k 将 y=kx+1 代入椭圆 C 的方程, 整理得(1+3k2)x2+6kx=0, -6k 解得 x=0 或 x= , 1+3k2 -6k 1-3k2 故点 P 的坐标为( , ). 1+3k2 1+3k2 k2-3 6k 同理,点 Q 的坐标为( 2 , 2 ). k +3 k +3 k2-3 1-3k2 - k2+3 1+3k2 k2-1 所以直线 l 的斜率为 = . 4k -6k 6k - k2+3 1+3k2 k2-1 k2-3 6k 则直线 l 的方程为 y= (x- 2 )+ 2 , 4k k +3 k +3 k2-1 1 即 y= x- . 4k 2 1 所以直线 l 过定点(0,- ). 2 22. (1)当 a>0,b>0 时,f(x1)-f(x2)<0,f(x)为增函数; 当 a<0,b<0 时,f(x1)-f(x2)>0,f(x)为减函数. a 3 a (2)当 a>0,b<0 时,- >( )x,得 x<log3 (- ); 2b 2 2b 2

a 3 a 当 a<0,b>0 时,- <( )x,得 x>log3 (- ). 2b 2 2 b 2


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