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已打印高一数学必修2第一章 空间几何体及其表面积与体积测试题(一)


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高一数学必修 2 第一章 空间几何体及其表面积与体积
一、填空题 1. (2010·南京三模)已知圆锥的母线长为 2,高为 3,则该圆锥的侧面积是________. 2. 各棱长为 1 的正三棱锥的全面积为________. 3. 长方体的一个顶点上三条棱的长分别为 2,4,6, ,且它的八个顶点都在同一个球面 上,这个球的表面积为________. 4. 一个正三棱柱的侧面展开图是一个边长为 9 的正方形,则此三棱柱的体积为 ________. 5. 一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为 3,则这个圆锥的全面积是________. 6. (2010·湖北)圆柱形容器内部盛有高度为 8 cm 的水,若放入三个相同的球(球的半 径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图所示),则球的半径是 ________cm.

7. (2010·宁夏)设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱长都为 a,顶点都在一个球面上, 则该球的表面积为________. 8. 在如图所示的斜截圆柱中,已知圆柱底面的直径为 40 cm,母线长最短 50 cm,最长 2 80 cm,则斜截圆柱侧面面积 S=________cm .

9. 已知正四棱锥 S?ABCD 中, =2 3, SA 那么当该棱锥的体积最大时, 它的高为________. 二、解答题 10. 已知正三棱柱形木桶,底面边长为 2,侧棱长为 3,这样的桶里能否放进一个体积 π 为 的小球(桶壁厚度忽略不计)? 3

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11. 如图, 某养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用). 已 建的仓库的底面直径为 12 m,高 4 m,养路处拟建一个更大的圆锥形仓库,以存放更多的食 盐, 现有两个方案: 一是新建仓库的底面直径比原来的大 4 m(高不变), 二是高度增加 4 m(底 面直径不变). (1)分别计算按这两个方案所建仓库的体积; (2)分别计算按这两个方案所建仓库的侧面积; (3)哪一个方案更经济些?

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12. 正六棱锥 P?ABCDEF 中,G 为 PB 的中点,求三棱锥 D?GAC 与三棱锥 P?GAC 的体积之 比.

参考答案 1. 2? 解析:圆锥的底面半径为 r= 2 -3=1,则圆锥的侧面积为 S 侧=2?. 3 3 2. 3 解析:每个正三角形的面积为 ,全面积为 ?4= 3. 4 4 3. 56? 解析:长方体的外接球的直径即为长方体的体对角线.设球半径为 R,由题 2 2 2 2 意知 2R= 2 +4 +6 =2 14,则 R= 14.所以球的表面积为 S=4?R =56?. 81 3 3 4. 解 析 : 该 正 三 棱 柱 的 底 面 边 长 为 3 , 高 为 9 , 则 其 体 积 为 V=Sh= 4 4 81 3 2 ?3 ?9= . 4 5. 3? 解析:设圆锥的底面半径为 r,母线长为 l,则 l=2r. 3 2 2 由题意知,轴截面面积 S= (2r) = 3r = 3,∴r=1. 4 2 故圆锥的全面积 S=?r?l+?r =3?. 4 3 2 2 6. 4 解析:设球半径为 r,则由 3V 球+V 水=V 柱可得 3? ?r +?r ?8=?r ?6r,解得 3 r=4. 7.
2

7 2 2 3 3 1 ?a 解析:如图,P 为三棱柱底面中心,O 为球心,易知 AP= ? a= a,OP= a, 3 3 2 3 2

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所以球的半径 R 满足:R =?
2

? 3 ?2 ?1 ?2 7 2 a? +? a? = a , ? 3 ? ?2 ? 12

2 7 2 故 S 球=4?R = ?a . 3 8. 2 600? 解析:S=(50+80)?20?=2 600?.

9. 2 解析:设底面边长为 a,则高 h=

SA2-?

? 2 ?2 a? = ?2 ?

a 1 2 1 12- ,所以体积为 V= a h= 2 3 3

2

a2

1 2 12- a = 2

1 4 1 6 4 1 6 3 5 12a - a , y=12a - a , y′=48a -3a , y′=0 解得 a=0 或 4, 设 则 令 易得当 a=4 时, 3 2 2 V 最大,此时 h=2. 4 3 3 3 ? 3 1 10. 设球的半径为 R, ?R = , 则 解得 R = , 而正三棱柱底面内切圆半径 r= ?2= , 3 3 4 6 3 ? 6 1 6 1 6 6 则 R = ,r = ,则 R >r ,即 R>r,故这样的桶里不能放进一个体积为 的小球. 16 27 3 1 11. (1)当仓库底面直径比原来大 4 m 时,底面半径为 8 m,高为 4 m,体积 V1= 3 256 2 3 ??8 ?4= ? m ; 3 1 2 2 当仓库的高比原来大 4 m 时,底面半径为 6 m,高为 6 m,体积为 V2= ??6 ?8=96? m . 3 (2)当仓库底面直径比原来大 4 m 时,底面半径为 8 m,高为 4 m, 2 2 3 侧面积为 S1=??8? 8 +4 =32 5? m . 当仓库高度比原来大 4 m 时,底面半径为 6 m,高为 8 m, 2 2 2 侧面积为 S2=??6? 8 +6 =60? m . V1 8 V2 8 8 8 (3)∵ = , = ,且 < . S1 3 5 S2 5 3 5 5 所以第二个方案更经济一些.

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