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2015-2016学年北京海淀区高三数学(理)第一学期期中考试试卷及答案


海淀区高三年级第二学期期中练习 数 学 (理科) 2015.11

本试卷共4页,150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.已知集合 A.1 B.2 C.3 D.4 2.下列函数中为偶函数的是 ,则集合 中元素的个数为

3.在△ABC中, A.1 4.数列 A.1 B.-1 的前n项和为 B.3 C.5 D.6 ,下列结论错误的是 B.函数 的最小正周期为 ? D. C.

的值为

1 2

D. -

1 2
,则 的值为

5.已知函数 A. C.

的图象关于直线x=0对称 的值域为

6.“x>0 ”是“ A.充分不必要条件 C.充分必要条件

”的 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 且 )的

7.如图,点O为坐标原点,点A(1,1).若函数 图象与线段OA分别交于点M,N,且M,N恰好是线段OA的两个三等分点,则a,b满足

-1-

8. 已知函数

函数

.若函数

恰好有2个不同零点,

则实数a的取值范围是

二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分) 9.

10.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a ,b,c.若 c=4,



11.已知等差数列 12. 已知向量 13.已知函数

的公差

,且 a3 ? a9 ? a10 ? a8 .若 an =0 ,则n=

, 点A (3,0), 点B为直线y=2x 上的一个动点. 若 AB ? a , 则点B的坐标为 ,若 的最小值为 ,都有 为常数)成立,则称数列 的图象向左平移 个单位所得的图象与

??? ? ?

. 的图象向右

平移 个单位所得的图象重合,则 14.对于数列 质 . 的通项公式为 的通项公式为

具有性

⑴ 若数列 ⑵ 若数列

,且具有性质

,则t的最大值为



,且具有性质

,则实数a的取值范围是

三、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 15.(本小题满分13分) 已知等比数列 的公比 ,其n前项和为

(Ⅰ)求公比q和a5的值; (Ⅱ)求证: 16.(本小题满分13分) 已知函数.

-2-

(Ⅰ)求

的值; (Ⅱ)求函数

的最小正周期和单调递增区间.

17.(本小题满分13分) 如图,在四边形ABCD中,AB=8,BC=3,CD=5, (Ⅰ)求BD的长; (Ⅱ)求证:

18.(本小题满分13分) 已知函数 ,曲线 在点(0,1)处的切线为l 的单调区间;

(Ⅰ)若直线l的斜率为-3,求函数 (Ⅱ)若函数是

区间[-2,a]上的单调函数,求a的取值范围.

19.(本小题满分14分) 已知由整数组成的数列 (Ⅰ)求 (Ⅱ)求 的值; 的通项公式; 各项均不为0,其前n项和为 ,且

(Ⅲ)若=15时,Sn取得最小值,求a的值. 20.(本小题满分14分) 已知x为实数,用表示不超过x的最大整数,例如 对于函数f(x),若存在 (Ⅰ)判断函数 ,使得 是否是 ,则称函数 函数.

函数;(只需写出结论) 函数,求T的最小值.

(Ⅱ)设函数f(x)是定义R在上的周期函数,其最小正周期为T,若f(x)不是 (Ⅲ)若函数 是 函数,求 a 的取值范围.

?

-3-

海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案 数
阅卷须知: 1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。 2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。

学 (理科)

2015.11

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.
1. B 2. B 3. A 4. C 5. D 6. C 7. A 8. D

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.
9. 3 10. 2 ; 15 14. 2; [36, ??) 11. 5 12. ( ?3, ?6)

13. 4

说明;第 10,14 题第一空 3 分,第二空 2 分

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.
15.解:(Ⅰ) 法一:因为 {an } 为等比数列, 且 4a3 ? a2a4 , 所以 4a3 ? a32 ,所以 a3 ? 4 , 因为 q 2 ?

a3 a3 ? ? 4 ,所以 q ? ?2 . a1 1
---------------------------3 分 --------------------------6 分

因为 an ? 0 ,所以 q ? 0 ,即 q ? 2 所以 a5 ? a1q4 ? 16 . 法二:因为 {an } 为等比数列,且 4a3 ? a2a4 , 所以 4a1q2 ? a1q4 ,所以 q2 ? 4 ,所以 q ? ?2 , 因为 an ? 0 ,所以 q ? 0 ,即 q ? 2 所以 a5 ? a1q4 ? 16 . 一: 因为 q ? 2 ,所以 an ? a1qn?1 ? 2n?1 ,

---------------------------3 分 --------------------------6 分(Ⅱ)法

--------------------------8分

-4-

因为 Sn ?

a1 (1 ? q n ) ? 2n ? 1 , 1? q

--------------------------10 分

所以

Sn 2 n ? 1 1 ? n ?1 ? 2 ? n ?1 , an 2 2

因为

S 1 1 ? 0 ,所以 n ? 2 ? n ?1 ? 2 . n ?1 a 2 2 n

--------------------------13 分

法二:因为 q ? 2 ,所以 an ? a1qn?1 ? 2n?1 , 所以 Sn ?

--------------------------8分

a1 (1 ? q n ) ? 2n ? 1 , 1? q

--------------------------10 分

所以

Sn 1 S ? 2 ? ? n ?1 ? 0 ,所以 n ? 2 . an 2 an

--------------------------13 分

法三:因为 q ? 2 ,所以 an ? a1qn?1 ? 2n?1 , 所以 Sn ?

--------------------------8分

a1 (1 ? q n ) ? 2n ? 1 . 1? q

--------------------------10 分

要证

Sn ? 2 ,只需 Sn ? 2an , 只需 2n ? 1 ? 2 n an
--------------------------13 分

上式显然成立,得证. 16.解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? 3sin(2 x ? ) ? cos(2 x ? ) ,

π 3

π 3

所以 f ( ) ? 3sin(2 ?

π 6

π π π π ? ) ? cos(2 ? ? ) , 6 3 6 3
--------------------------4 分

? 3sin(

2π 2π 3 1 ) ? cos( ) ? ? ? 1. 3 3 2 2

(Ⅱ)因为 f ( x) ? 3sin(2 x ? ) ? cos(2 x ? ) ,

π 3

π 3

所以

3 f ( x )? 2 [ 2

π 1 s i nx(?2 ? ) 3 2

π cx o? s(2 3

)]

-5-

π s ix n? (2 ? 3 π π ? 2sin[(2 x ? ) ? ] 3 6 π ? 2sin(2 x ? ) 2
? 2 cos 2 x ,
所以周期 T ?

π ?2[cos 6

π π ) s i n x ?c o s ( 2 6 3

)]

--------------------------7 分 --------------------------9 分 --------------------------11 分 --------------------------12 分

2π ?π . 2

令 2 k π ? π ? 2 x ? 2k π , 解得 kπ ?

π ? x ? kπ , k ? Z , 2
--------------------------13 分

π 所以 f ( x ) 的单调递增区间为 (kπ ? , kπ), k ? Z . 2
法二:因为 f ( x) ? 3sin(2 x ? ) ? cos(2 x ? ) ,

π 3 π π π π 所以 f ( x) ? 3(sin2 xcos ?cos2 xsin ) ?(cos2 xcos ?sin2 x sin ) -------------------7 分 3 3 3 3
1 3 1 3 ? 3( sin 2 x ? cos 2 x ) ? ( cos 2 x ? sin 2 x ) 2 2 2 2
? 2 cos 2 x
--------------------------9 分 --------------------------11 分 --------------------------12 分

π 3

所以周期 T ?

2π ?π . 2

令 2 k π ? π ? 2 x ? 2k π , 解得 kπ ?

π ? x ? kπ , k ? Z , 2
--------------------------13 分

π 所以 f ( x ) 的单调递增区间为 (kπ ? , kπ), k ? Z . 2

17.解: (Ⅰ)法一: 在 ?ABD 中,因为 cos ?ADB ? 所以 sin ?ADB ?

1 , ?ADB ? (0, π) , 7
--------------------------3 分

4 3 , 7

BD AB , ? sin ?A sin ?ADB ? 代入 AB ? 8, ?A ? , 3
根据正弦定理,有
-6-

--------------------------6 分

解得 BD ? 7 . 法二:作 BE ? AD 于 E .

--------------------------7 分

π π ,所以在 ?ABD 中, BE ? AB ? sin ? 4 3 . 3 3 1 在 ?BDE 中,因为 cos ?ADB ? , ?ADB ? (0, π) , 7
因为 AB ? 8, ?A ? 所以 sin ?ADB ? 所以 BD ?

--------------------------3 分

4 3 , 7

--------------------------6 分 --------------------------7 分

BE ?7. sin ?BDE
2 2 B C2 ? C D ? BD , 2 B C? C D

(Ⅱ)法一: 在 ?BCD 中,根据余弦定理

cos ?C ?

--------------------------10 分

代入 BC ? 3, CD ? 5 ,得 cos ?C ? ?

1 , 2
--------------------------12 分

?C ? (0, π) ,所以 ?C ?

2π . 3

所以 ?A ? ?C ? π ,而在四边形 ABCD 中 ?A ? ?ABC ? ?C +?ADC ? 2 π 所以 ?ABC ? ?ADC ? π . 法二:在 ?ABD 中, cos ?ABD ? --------------------------13 分

5 3 11 , , 所以 sin ?ABD ? 14 14

cos ?ADB ?
在 ?BCD 中, cos ?DBC ?

4 3 1 , 所以 sin ?ADB ? . 7 7

--------------------------8 分

5 3 11 , , 所以 sin ?ABD ? 14 14

cos ?BDC ?

3 3 13 , 所以 sin ?ADB ? . 14 14

--------------------------9 分

所以 cos ?ABC ? cos(?ABD ? ?DBC ) ,

? cos ?ABD cos ?DBC ? sin ?ABD sin ?DBC ?
cos ?A D C ? c o s ?( A D B ? ? BD C) ,

23 98 23 98

--------------------------11 分

? cos ?ADB cos ?BDC ? sin ?ADB sin ?BDC ? ?
即 cos ?ABC ? ? cos ?ADC , 18.解 (Ⅰ)因为 f (0) ? 1 ,所以曲线 y ? f ( x ) 经过点 (0,1) , 所以 ?ABC ? ?ADC ? π .

--------------------------12 分 --------------------------13 分

-7-

又 f '( x) ? x ? 2 x ? a ,
2

--------------------------2 分 --------------------------3 分

所以 f '(0) ? a ? ?3 , 所以 f '( x) ? x ? 2 x ? 3 .
2

当 x 变化时, f '( x) , f ( x) 的变化情况如下表:

x
f '( x )

( ??, ?3)

?3

( ?3,1)

(1, +?)

1
?
0

?

0

?

f ( x) ?
极大值

?

极小值

?

--------------------------5 分 所以函数 f ( x) 的单调递增区间为 ( ??, ?3) , (1, +?) , 单调递减区间为 ( ?3,1) . (Ⅱ) 因为函数 f ( x ) 在区间 [?2, a ] 上单调, 当函数 f ( x ) 在区间 [?2, a ] 上单调递减时, f '( x ) ? 0 对 x ? [?2, a ] 成立, 即 f '( x) ? x ? 2 x ? a ? 0 对 x ? [?2, a ] 成立,
2

--------------------------7 分

根据二次函数的性质,只需要 ? 又 ?2 ? a ,所以 ?2 ? a ? 0 .

? f '( ?2) ? 0 , 解得 ?3 ? a ? 0 . ? f '(a ) ? 0
--------------------------9 分

当函数 f ( x ) 在区间 [?2, a ] 上单调递增时, f '( x ) ? 0 对 x ? [?2, a ] 成立, 只要 f '( x) ? x ? 2 x ? a 在 [?2, a ] 上的最小值大于等于 0 即可,
2

因为函数 f '( x) ? x ? 2 x ? a ? 0 的对称轴为 x ? ?1 ,
2

当 ?2 ? a ? ?1 时, f '( x) 在 [?2, a ] 上的最小值为 f '(a ) , 解 f '(a)=a ? 3a ? 0 ,得 a ? 0 或 a ? ?3 ,所以此种情形不成立.
2

--------------------------11 分

-8-

当 ?1 ? a 时, f '( x) 在 [?2, a ] 上的最小值为 f '( ?1) , 解 f '( ?1) ? 1 ? 2 ? a ? 0 得 a ? 1 ,所以 a ? 1 , 综上,实数 a 的取值范围是 ?2 ? a ? 0 或 a ? 1 . --------------------------13 分

19.解: (Ⅰ)因为 2Sn ? an an?1 ,所以 2 S1 ? a1a2 ,即 2a1 ? a1a2 , 因为 a1 ? a ? 0 ,所以 a2 ? 2 , (Ⅱ)因为 2Sn ? an an?1 , 所以 2Sn ?1 ? an ?1an (n ? 2) ,两式相减, 得到 2an ? an (an ?1 ? an ?1 ) , 因为 an ? 0 ,所以 an ?1 ? an ?1 ? 2 , 所以 {a2 k ?1},{a2 k } 都是公差为 2 的等差数列, 当 n ? 2 k ? 1 时, an ? a1 ? 2(k ? 1) ? n ? a ? 1 , 当 n ? 2k 时, --------------------------6 分 --------------------------4 分 --------------------------2 分

an ? 2 ? 2(k ? 1) ? 2k ? n ,
--------------------------8 分

?n ? a ? 1, n为奇数, 所以 an ? ? n为偶数. ?n ,
(Ⅲ)

?n ? a ? 1, n为奇数, 法一:因为 2Sn ? an an?1 ,由(Ⅱ)知道 an ? ? n为偶数, ?n ,

?1 (n ? a ? 1)(n ? 1), n为奇数, ? ?2 所以 Sn ? ? ? 1 n( n ? a ) , n为偶数, ? ?2

--------------------------10 分

注意到所有奇数项构成的数列是一个单调递增的,所有偶数项构成的数列是一个单调递增的, 当 n 为偶数时, an ? 0 ,所以此时 Sn ? Sn ?1 , 所以 S15 为最小值等价于 S13 ? S15 , S15 ? S17 , 所以 a14 ? a15 ? 0, a16 ? a17 ? 0 , 所以 14 ? 15 ? a ? 1 ? 0, 16 ? 17 ? a ? 1 ? 0 ,
-9-

--------------------------12 分

解得 ?32 ? a ? ?28 . 因为数列 {an } 是由整数组成的,所以 a ?{?32, ?31, ?30, ?29, ?28} . 又因为 an ? 0 ,所以对所有的奇数 n , an ? n ? a ? 1 ? 0 , 所以 a 不能取偶数,所以 a ? ?31, a ? ?29 .

--------------------------13 分

--------------------------14 分

法二:

?n ? a ? 1, n为奇数, 因为 2Sn ? an an?1 , 由(Ⅱ)知道 an ? ? n为偶数, ?n ,

?1 (n ? a ? 1)(n ? 1), n为奇数, ? ?2 所以 Sn ? ? ? 1 n( n ? a ) , n为偶数, ? ?2
因为 S15 为最小值,此时 n 为奇数,

--------------------------10 分

1 (n ? a ? 1)(n ? 1) , 2 a 根据二次函数的性质知道,有 14 ? ? ? 16 ,解得 ?32 ? a ? ?28 , 2
当 n为奇数 时, Sn ? 因为数列 {an } 是由整数组成的,所以 a ?{?32, ?31, ?30, ?29, ?28} . 又因为 an ? 0 ,所以对所有的奇数 n , an ? n ? a ? 1 ? 0 , 所以 a 不能取偶数,所以 a ? ?31, a ? ?29 . 经检验,此时 S n 为最小值,所以 a ? ?31, a ? ?29 . 20. 解: (Ⅰ) f ( x) ? x 2 ? x 是 ? 函数,

--------------------------12 分

--------------------------13 分 --------------------------14 分

1 3

--------------------------2 分 --------------------------4 分 --------------------------6 分

g ( x ) ? sin πx 不是 ? 函数.
(Ⅱ) T 的最小值为 1. 因为 f ( x ) 是以 T 为最小正周期的周期函数,所以 f (T ) ? f (0) . 假设 T ? 1 ,则 [T ] ? 0 ,所以 f ([T ]) ? f (0) ,矛盾. 所以必有 T ? 1 , 而函数 l ( x ) ? x ? [ x ] 的周期为 1,且显然不是是 ? 函数, 综上, T 的最小值为 1.

--------------------------8 分

--------------------------9 分

- 10 -

(Ⅲ) 当函数 f ( x) ? x ?

a 是 ? 函数时, x
--------------------------10 分

若 a ? 0 ,则 f ( x ) ? x 显然不是 ? 函数,矛盾. 若 a ? 0 ,则 f '( x) ? 1 ?

a ?0, x2

所以 f ( x ) 在 ( ??,0),(0, ??) 上单调递增, 此时不存在 m ? ( ??,0) ,使得 f (m) ? f ([m]) , 同理不存在 m ? (0, ?) ,使得 f (m) ? f ([m]) , 又注意到 m[m] ? 0 ,即不会出现 [m ] ? 0 ? m 的情形, 所以此时 f ( x) ? x ?

a 不是 ? 函数. x

--------------------------11 分

当 a ? 0 时,设 f (m) ? f ([m]) ,所以 m ? 当 m ? 0 时,

a a ? [m ] ? ,所以有 a ? m[m ] ,其中 [m ] ? 0 , m [m ]

因为 [m] ? m ? [m] ? 1 ,所以 [m]2 ? m[m] ? [m]([m] ? 1) , 所以 [m]2 ? a ? [m]([m] ? 1) . 当 m ? 0 时, [m ] ? 0 , 因为 [m] ? m ? [m] ? 1 ,所以 [m]2 ? m[m] ? [m]([m] ? 1) , 所以 [m]2 ? a ? [m]([m] ? 1) . 记 k ? [m ] , 综上,我们可以得到 “ a ? 0 且 ?k ? N* , a ? k 2 且 a ? k (k ? 1) ”. --------------------------14 分 --------------------------13 分 --------------------------12 分

- 11 -


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