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数列求和的常用方法.34019249


知识要点: 数列求和的常用方法 1.公式法; 2.倒序相加法; 3.错位相减法; 4.分组转化法; 5.裂项相消法.

1.公式法;
(1)等差数列{an }的前项n和S n ? n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d; 2 2

(q ? 1) ? na1    ? n (2)等比数列{an }的前项n和? a1 (1 ? q ) a1 ? an q ; ?    ? 1) (q ? 1? q 1? q ?

1 (3)12 ? 22 ? 32 ? ? ? n 2 ? n(n ? 1)( 2n ? 1); 6 1 (4)13 ? 23 ? 33 ? ? ? n3 ? n 2 (n ? 1) 2 . 4

2.倒序相加法.
利用等差数列求和的方法,将一个数列倒过来排序,它与原数列相加.
如:等差数列 an }前n项和公式的推导: {

?S n ? a1 ? a2 ? ? ? an ?S ? a ? a ? ? ? a ? 2S n ? n(a1 ? an ) n n ?1 1 ? n n(n ? 1) ? Sn ? . 2

3.错位相减法.
利用等比数列求和公式的推导方法求解,一般可解决形如一个等差数列和一个等比 数列对应项相乘所得数列的求和.
如:等比数列 an }前n项和公式的推导: {

?S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ?qS ? a ? a ? ? ? a ? a ? (1 ? q) S n ? a1 ? an ?1 2 3 n n ?1 ? n
(q ? 1) ? na1    ? n ? ? a1 (1 ? q ) a1 ? an q . ?    ? 1) (q ? 1? q 1? q ?
1

4.分组转化法.
通项虽不是等差或等比数列,但通项是由等差或等比数列的和的形式,则可 进行拆分,分别利用基本数列的和公式求和.
如求{n(n ? 1)}前n项的和:

? n(n ? 1) ? n 2 ? n] ? Sn ? (12 ? 1) ? (22 ? 2) ? ? ? (n 2 ? n) ? (12 ? 22 ? 32 ? ? n 2 ) ? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n) 1 1 ? n(n ? 1)( 2n ? 1) ? n(n ? 1) 6 2 1 ? n(n ? 1)( n ? 2) 3
5.裂项相消法.

把数列和式中的各项分别裂开后,消去一部分从而计算和的方法,适用于通 1 1 1 1 1 项为 的前n项和,其中 an }为等差数列, { ? ( ? ). an ? an ?1 an ? an ?1 d an an ?1

常见的拆项方法有:

1 1 1 ? ? ; n(n ? 1) n n ? 1 1 1 1 1 (2) ? ( ? ); (2n ? 1)( 2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 1 (3) ? [ ? ]; n(n ? 1)( n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)( n ? 2) 1 1 (4) ? ( a ? b ); a ? b a ?b m m m (5)Cn ?1 ? Cn ?1 ? Cn ; (6)n ? n!? (n ? 1)!?n!; (7)an ? Sn ? Sn ?1 (n ? 2). (1)
习题讲解

例1:)等差数列 an }的通项an ? 2n ? 1,bn ? (1 {

a1 ? a2 ? ? ? an 求数列{bn }的前n项和. n

2

解: 差数列{an }中,an ? 2n ? 1, ? [3 ? (2n ? 1)] ? n ? Sn ? ? n(n ? 2), 2 S ? bn ? n ? n ? 2, n [3 ? (n ? 2)] ? n 1 ?Tn ? ? n(n ? 5). 2 2
(2)已知等比数列 an }的公比为2,且前4项之和等于 ,那么前8项之和是多少. { 1

解: a5 ? a6 ? a7 ? a8 ? q 4 (a1 ? a2 ? a3 ? a4 ) ? 24 ? 1 ? 16, ? ? a1 ? a2 ? ? ? a8 ? 1 ? 16 ? 17.

12 22 32 10 2 (3)求和:2 ? 2 ? 2 2 ??? 2 2 . 1 ? 10 2 2 ? 9 2 3 ? 8 10 ? 1

12 22 32 10 2 ? 2 ? 2 2 ??? 2 2 ① 12 ? 10 2 2 ? 92 3 ? 8 10 ? 1 10 2 92 82 12 S? 2 2? 2 ? ??? 2 ② 10 ? 1 9 ? 22 82 ? 32 1 ? 10 2 ? ① ? ②得:S=5. 解: S ? ?
(4)求数列{n ? 3n }前n项和.

解:令Sn ? 1? 3 ? 2 ? 32 ? ? ? n ? 3n ① 2 3 n ?1 则3Sn ? 1? 3 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 3 ② 2 3 由①-②得:-2Sn ? 3 ? 3 ? 3 ? ? ? 3n ? n ? 3n ?1 3 n ? Sn ? (1 ? 3n ) ? ? 3n ?1. 4 2
(5)求和 : S n ? 1 ? 3a ? 5a 2 ? ? ? (2n ? 1) ? a n ?1 (a ? 0).

[1 ? (2n ? 1)] ? n ? n2 . 2 当a ? 1,a ? 0时,Sn ? 1 ? 3a ? 5a 2 ? ? ? (2n ? 1)a n ?1 ① aSn ? a ? 3a 2 ? 5a 3 ? ? ? (2n ? 3)a n ?1 ? (2n ? 1)a n ② 2 n ?1 ① ? ②得(1 ? a ) Sn ? 1 ? 2(a ? a ? ? ? a ) ? (2n ? 1)a n 2a(1 ? a n ?1 ) n ? 1 ? (2n ? 1)a ? , 1? a 1 ? (2n ? 1) ? a n 2a (1 ? a n ?1 ) ? Sn ? ? . 1? a (1 ? a ) 2 解:当a ? 1时,Sn ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ?
?1, n为正奇数, (6)an ? ? 求数列{an }前n项的和S n . ?? 4,n为正偶数,

3

解:当n ? 2k (k ? N * )时,Sn ? (1 ? 4) ? (1 ? 4) ? ? ? (1 ? 4) ? ?3k, 当n ? 2k ? 1(k ? N * )时,Sn ? S2 k ? 4 ? ?3k ? 4, ? 3n ?? , n为偶数, 故Sn ? ? 2 n ?1 ?? 3 ? ? 4, n为奇数. 2 ?

1 1 1 (7)求数列1, , ,, ? 的前n项和. 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ??? n
1 1 2 1 1 ? ? ? 2( ? ), 1 ? 2 ? ? ? n n(n ? 1) n(n ? 1) n n ?1 2 ? Sn ? a1 ? a1 ? ? ? an 1 1 1 1 1 ? 2[(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] 2 2 3 n n ?1 1 ? 2(1 ? ) n ?1 2n ? . 1 n ?1 解: an ? ?
1 1 1 ? ??? . 1? 3 3? 5 2n ? 1 ? 2n ? 1

(8)求和 : Sn ?

解: ak ? ?

1 1 ? ( 2k ? 1 ? 2k ? 1)( k ? 1,2,?, n) 2k ? 1 ? 2k ? 1 2

1 1 ? S n ? [( 3 ? 1) ? ( 5 ? 3 ) ? ? ? ( 2n ? 1 ? 2n ? 1)] ? ( 2n ? 1 ? 1). 2 2
练习 求下列各项的和 (1)Sn=1+(3+4)+(5+6+7)+…+(2n – 1+2n+…+3n –2) (2)Sn=12–22+32– 42+…+(– 1n–1·n2
5 3 【解析】 (1)∵an=(2n–1)+2n+(2n+1)+…+[(2n – 1)+ n – 1] = n2 ? n , 2 2 5 3 ∴Sn= (12 ? 22 ? 32 ? …+n2)– (1+2+…+n) 2 2

= n(n ? 1)(5n ? 2) . (2)当 n 是偶数时,

1 6

4

Sn ? (12 ? 22 ) ? (32 ? 42 ) ? ? ? [(n–1) –n ]
2 2

= –3–7…–(2n+1) = 当 n 是奇数时,

?n(n ? 1) . 2

Sn=1+(32–22)+(52– 42)+…+ [n2– (n–1)] =1 + 5 + 9 +…+(2n–1)= 故 Sn= (?1)n ?1
n(n ? 1) . 2 n(n ? 1) . 2

小结

数列求和中的错位相减法是近几年高考题中常考内容,往往和解析几 何、函数、不等式等知识联系较多,且涉及分类讨论等思想方法,考生熟 练掌握,“错位”是为了对齐同类项,最后一项符号易错,求和时,只有 部分成等比(差)数列.
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