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椭圆与双曲线性质有关性质推论归纳共92条


椭圆与双曲线的对偶性质 92 条 椭
1. | PF 1 | ? | PF 2 |? 2a 2.标准方程: 3.



x2 y 2 ? ?1 a 2 b2

| PF1 | ? e ?1 d1

4.点 P 处的切线 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的外角. 5.PT 平分△PF1F2 在点 P 处的外角,则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的 圆,除去长轴的两个端点. 6.以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 7.以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 8.设 A1、A2 为椭圆的左、右顶点,则△PF1F2 在边 PF2(或 PF1)上的旁切圆,必与 A1A2 所在 的直线切于 A2(或 A1).

x2 y 2 ? ? 1(a>b>o)的两个顶点为 A1 (?a, 0) , A2 (a,0) ,与 y 轴平行的直线交椭圆 a 2 b2 x2 y 2 于 P1、P2 时 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是 2 ? 2 ? 1 . a b 2 2 x0 x y0 y x y ? 2 ? 1. 10.若 P 0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1 上,则过 P 0 的椭圆的切线方程是 a2 b a b 2 2 x y 11.若 P 0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1 外 ,则过 Po 作椭圆的两条切线切点为 P1、P2,则切点 a b xx y y 弦 P1P2 的直线方程是 02 ? 02 ? 1 . a b 2 2 x y 12 . AB 是 椭 圆 2 ? 2 ? 1 的 不 平 行 于 对 称 轴 且 过 原 点 的 弦 , M 为 AB 的 中 点 , 则 a b 2 b kOM ? k AB ? ? 2 . a x2 y 2 ? ? 1 内 , 则 被 Po 所 平 分 的 中 点 弦 的 方 程 是 13 . 若 P 0 ( x0 , y0 )在 椭 圆 a 2 b2 x0 x y0 y x0 2 y0 2 ? 2 ? 2 ? 2 . a2 b a b x2 y 2 x 2 y 2 x0 x y0 y ? ? 1 ? ? 2 ? 2 . 14. 若P 在椭圆 内, 则过 Po 的弦中点的轨迹方程是 x ( , y ) 0 0 0 a 2 b2 a 2 b2 a b 2 2 x y 15 . 若 PQ 是 椭 圆 2 ? 2 ? 1 ( a > b > 0 ) 上 对 中 心 张 直 角 的 弦 , 则 a b 1 1 1 1 ? ? ? (r1 ?| OP |, r2 ?| OQ |) . r12 r2 2 a 2 b2
9.椭圆 16. 若椭圆

x2 y 2 ? ?1 (a>b>0) 上中心张直角的弦 L 所在直线方程为 Ax ? By ? 1 ( AB ? 0) , a 2 b2

1

则(1)

1 1 2 a 4 A2 ? b4 B2 2 2 ? ? A ? B ;(2) . L ? a 2 b2 a 2 A2 ? b2 B2
2 2 2 2

a 2 ? b2 ab)2 ,则(i) 2 2 a ?b 对 C1 上 任 意 给 定 的 点 P , 它 的 任 一 直 角 弦 必 须 经 过 C2 上 一 定 点 0 ( x0 , y0 )
17.给定椭圆 C1 : b2 x2 ? a2 y 2 ? a2b2 (a>b>0), C2 : b x ? a y ? ( M( (

a 2 ? b2 a 2 ? b2 x , ? y0 ) . 0 a 2 ? b2 a 2 ? b2 ' ' ' (ii)对 C2 上任一点 P'0 ( x0' , y0' ) 在 C1 上存在唯一的点 M ,使得 M 的任一直角弦都经过 P 0 点.
18.设 P 0 ( x0 , y0 ) 为椭圆(或圆)C:

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,. b>0)上一点,P1P2 为曲线 C 的动弦, a 2 b2 且弦 P0P1, P0P2 斜率存在,记为 k1, k 2, 则直线 P1P2 通过定点 M (mx0 , ?my0 ) ( m ? 1) 的充要条件是 1 ? m b2 ? . 1 ? m a2 x2 y 2 19.过椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>0, b>0)上任一点 A( x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆 a b b2 x 于 B,C 两点,则直线 BC 有定向且 kBC ? 2 0 (常数). a y0 k1 ? k2 ? ?
20. 椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)的左右焦点分别为 F1, F 2, 点 P 为椭圆上任意一点 ?F 1PF2 ? ? , a 2 b2

则椭圆的焦点角形的面积为

2 x2 y 2 21. 若 P 为椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0) 上异于长轴端点的任一点,F1, F 2 是焦点, ?PF1F2 ? ? , a b a?c ? ? ? tan co t . ?PF2 F1 ? ? ,则 a?c 2 2 2 2 x y 22.椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的焦半径公式: a b | MF1 |? a ? ex0 , | MF2 |? a ? ex0 ( F1 (?c,0) , F2 (c,0) M ( x0 , y0 ) ).

S?F1PF2 ? b 2 tan

?

, P(

a 2 2 ? b2 ? c ? b tan 2 , tan ) . c 2 c 2

x2 y 2 23.若椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,左准线为 L,则当 a b 0<e≤ 2 ? 1 时,可在椭圆上求一点 P,使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项. x2 y 2 24 . P 为椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a > b > 0 )上任一点 ,F1,F2 为二焦点, A 为椭圆内一定点,则 a b 2a? | AF2 |?| PA | ? | PF1 |? 2a? | AF1 | ,当且仅当 A, F2 , P 三点共线时,等号成立. x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)上存在两点关于直线 l : y ? k ( x ? x0 ) 对称的充要条件是 a 2 b2 (a 2 ? b 2 ) 2 x0 2 ? 2 . a ? b2k 2
25.椭圆 26.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点 的连线必与切线垂直.

2

27.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径 互相垂直. 28.P 是椭圆 ?

? x ? a cos ? (a>b>0)上一点,则点 P 对椭圆两焦点张直角的充要条件是 ? y ? b sin ?

e2 ?

1 . 1 ? sin 2 ? x2 y 2 x2 y 2 ? ? k ( k ? 0, k ? 1) ? ? 1 相交于 上两点,其直线 AB 与椭圆 a 2 b2 a 2 b2

29.设 A,B 为椭圆

P, Q ,则 AP ? BQ .
2 2

x2 y 2 ? ) x y 2 a 2 b2 , 30. 在椭圆 2 ? 2 ? 1 中, 定长为 2m (o<m≤a) 的弦中点轨迹方程为 m ? a b cos 2 ? sin 2 ? ? 2 a2 b 2 2 b x ? 其中 tan ? ? ? 2 2 ,当 y ? 0 时, ? ? 90 . a y x2 y 2 31.设 S 为椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的通径,定长线段 L 的两端点 A,B 在椭圆上移动, a b c a2 l 2 2 2 ? 记|AB|= l , M ( x0 , y0 ) 是 AB 中点,则当 l ? ? S 时,有 ( x0 ) max ? (c ? a ? b , e ? );当 a c 2e a l ? ? S 时,有 ( x0 ) max ? 4b 2 ? l 2 , ( x0 )min ? 0 . 2b 2 2 x y 2 2 2 2 2 32.椭圆 2 ? 2 ? 1 与直线 Ax ? By ? C ? 0 有公共点的充要条件是 A a ? B b ? C . a b ( x ? x0 )2 ( y ? y0 )2 ? ? 1 与 直 线 Ax ? By ? C ? 0 有 公 共 点 的 充 要 条 件 是 33 . 椭 圆 a2 b2 A2a2 ? B2b2 ? ( Ax0 ? By0 ? C)2 . 1? (
x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)的两个焦点为 F1、F2,P(异于长轴端点)为椭圆上任意 a 2 b2 sin ? c ? ?e. 一点,在△PF1F2 中,记 ?F1PF2 ? ? , ?PF1F2 ? ? , ?F 1F2 P ? ? ,则有 sin ? ? sin ? a 2 2 2 2 2 2 35.经过椭圆 b x ? a y ? a b (a>b>0)的长轴的两端点 A1 和 A2 的切线,与椭圆上任
34.设椭圆
2 一点的切线相交于 P1 和 P2,则 | PA 1 | ? | PA 2 |? b .

x2 y 2 36.已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a>b>0) ,O 为坐标原点,P、Q 为椭圆上两动点,且 OP ? OQ . a b 4a 2 b 2 1 1 1 1 2 2 ? ? ? ;(2)|OP| +|OQ| 的最大值为 2 2 ;(3) S?OPQ 的最小值是 (1) a ?b | OP |2 | OQ |2 a 2 b2 a 2b 2 . a 2 ? b2
37.MN 是经过椭圆 b x ? a y ? a b (a>b>0)过焦点的任一弦,若 AB 是经过椭圆中
2 2 2 2 2 2

心 O 且平行于 MN 的弦,则 | AB | ? 2a | MN | .
2

38.MN 是经过椭圆 b x ? a y ? a b (a>b>0)焦点的任一弦,若过椭圆中心 O 的半弦
2 2 2 2 2 2

3

OP ? MN ,则
39.设椭圆

2 1 1 1 ? ? 2? 2. 2 a | MN | | OP | a b x2 y 2 ? ? 1(a>b>0),M(m,o) 或(o, m)为其对称轴上除中心,顶点外的任一点, a 2 b2

过 M 引一条直线与椭圆相交于 P、Q 两点,则直线 A1P、A2Q(A1 ,A2 为对称轴上的两顶点)的交点 N

a2 b2 在直线 l : x ? (或 y ? )上. m m
40.设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M、N 两点,则 MF⊥NF. 41.过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q, A1、A2 为椭圆长轴上的顶点,A1P 和 A2Q 交于点 M,A2P 和 A1Q 交于点 N,则 MF⊥NF.

x2 y 2 42.设椭圆方程 2 ? 2 ? 1 ,则斜率为 k(k≠0)的平行弦的中点必在直线 l : y ? kx 的共轭直 a b b2 ' 线 y ? k ' x 上,而且 kk ? ? 2 . a x2 y 2 43.设 A、B、C、D 为椭圆 2 ? 2 ? 1 上四点,AB、CD 所在直线的倾斜角分别为 ? , ? ,直线 a b | PA | ? | PB | b2 cos 2 ? ? a 2 sin 2 ? AB 与 CD 相交于 P,且 P 不在椭圆上,则 . ? | PC | ? | PD | b2 cos 2 ? ? a 2 sin 2 ? x2 y 2 44.已知椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0),点 P 为其上一点 F1, F 2 为椭圆的焦点, ?F 1PF 2 的外 a b (内)角平分线为 l ,作 F1、F2 分别垂直 l 于 R、S,当 P 跑遍整个椭圆时,R、S 形成的轨迹方程 是 x2 ? y 2 ? a2 ( {b2 y 2 ? [(a ? ce)( x ? c)]2}? ( x2 ? y 2 ? cx)2 ? [ce( x ? c)]2 ). 45.设△ABC 内接于椭圆 ? ,且 AB 为 ? 的直径, l 为 AB 的共轭直径所在的直线, l 分别交 直线 AC、BC 于 E 和 F,又 D 为 l 上一点,则 CD 与椭圆 ? 相切的充要条件是 D 为 EF 的中点. x2 y 2 46.过椭圆 2 ? 2 ? 1(a>b>0)的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于 M,N 两点,弦 MN 的 a b | PF | e ? . 垂直平分线交 x 轴于 P,则 | MN | 2 x2 y 2 b 2 x1 47.设 A(x1 ,y1)是椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)上任一点,过 A 作一条斜率为 ? 2 的直 a b a y1
线 L,又设 d 是原点到直线 L 的距离, r1 , r2 分别是 A 到椭圆两焦点的距离,则 r1r2 d ? ab . 48.已知椭圆

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 ? ? ?(0 ? ? ?1 ) ( a > b > 0 )和 ,一直线顺次与它们相 a 2 b2 a 2 b2

交于 A、B、C、D 四点,则│AB│=|CD│.

x2 y 2 49.已知椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a>b>0) ,A、B、是椭圆上的两点,线段 AB 的垂直平分线与 a b a 2 ? b2 a 2 ? b2 ? x0 ? x 轴相交于点 P( x0 ,0) , 则 ? . a a x2 y 2 50.设 P 点是椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a>b>0)上异于长轴端点的任一点 ,F1、F2 为其焦点记 a b

4

?F1PF2 ? ? ,则(1) | PF1 || PF2 |?

? 2b2 2 .(2) S ?PF1F2 ? b tan . 2 1 ? cos ?

51.设过椭圆的长轴上一点 B(m,o)作直线与椭圆相交于 P、Q 两点,A 为椭圆长轴的左顶 点 , 连 结 AP 和 AQ 分 别 交 相 应 于 过 B 点 的 直 线 MN : x ? n 于 M , N 两 点 , 则

a?m a2 . ? 2 a ? m b (n ? a) 2 x2 y 2 52.L 是经过椭圆 2 ? 2 ? 1( a>b>0)长轴顶点 A 且与长轴垂直的直线,E、F 是椭圆两 a b 个焦点,e 是离心率,点 P ? L ,若 ?EPF ? ? ,则 ? 是锐角且 sin ? ? e 或 ? ? arc sin e (当且 ab 仅当 | PH |? 时取等号). c x2 y 2 53.L 是椭圆 2 ? 2 ? 1( a>b>0)的准线,A、B 是椭圆的长轴两顶点,点 P ? L ,e 是离 a b ?EPF ? ? , 心率, H 是 L 与 X 轴的交点 c 是半焦距, 则 ? 是锐角且 sin ? ? e 或 ? ? arc sin e (当 ab 且仅当 | PH |? 时取等号). c x2 y 2 54.L 是椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a>b>0)的准线,E、F 是两个焦点,H 是 L 与 x 轴的交点,点 a b P ? L , ?EPF ? ? ,离心率为 e,半焦距为 c,则 ? 为锐角且 sin ? ? e2 或 ? ? arc sin e2 (当且 b 2 2 a ? c 时取等号). 仅当 | PH |? c x2 y 2 55.已知椭圆 2 ? 2 ? 1( a>b>0) ,直线 L 通过其右焦点 F2,且与椭圆相交于 A、B 两点, a b (2a 2 ? b2 ) 2 2 将 A、B 与椭圆左焦点 F1 连结起来,则 b ?| F1 A | ? | F1 B |? (当且仅当 AB⊥x 轴时右 a2
?MBN ? 90? ?
边不等式取等号,当且仅当 A、F1、B 三点共线时左边不等式取等号).

x2 y 2 ? ? 1( a>b>0) 的长轴两端点, P 是椭圆上的一点,?PAB ? ? , a 2 b2 2ab2 | cos ? | ?PBA ? ? , ?BPA ? ? , c、 e 分别是椭圆的半焦距离心率,则有 (1) | PA |? 2 2 .(2) a ? c co s2 ? 2a 2 b 2 2 S ? cot ? . .(3) tan ? tan ? ? 1 ? e ?PAB b2 ? a 2 x2 y 2 57.设 A、B 是椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a>b>0)长轴上分别位于椭圆内(异于原点) 、外部的 a b 2 两点,且 xA 、 xB 的横坐标 xA ? xB ? a , (1)若过 A 点引直线与这椭圆相交于 P、Q 两点,则
56. 设 A、 B 是椭圆
? ?PBA ? ?QBA ; (2)若过 B 引直线与这椭圆相交于 P、Q 两点,则 ?PBA ? ?QBA ? 180 .

58.设 A、B 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ( a>b>0)长轴上分别位于椭圆内(异于原点) ,外部的 a 2 b2
2

两点, (1)若过 A 点引直线与这椭圆相交于 P、Q 两点, (若 B P 交椭圆于两点,则 P、Q 不关于 x 轴对称) ,且 ?PBA ? ?QBA ,则点 A、B 的横坐标 xA 、 xB 满足 xA ? xB ? a ; (2)若过 B 点引 直线与这椭圆相交于 P、Q 两点,且 ?PBA ? ?QBA ? 180 ,则点 A、B 的横坐标满足 xA ? xB ? a .
?

2

5

x2 y 2 ? 2 ? 1 的长轴的两个端点, QQ' 是与 AA' 垂直的弦,则直线 AQ 与 2 a b x2 y 2 ' ' 的交点 P 的轨迹是双曲线 2 ? 2 ? 1 . AQ a b 2 2 x y 60 . 过 椭 圆 2 ? 2 ? 1 ( a > b > 0 ) 的 左 焦 点 F 作 互 相 垂 直 的 两 条 弦 AB 、 CD 则 a b 2 8ab 2(a 2 ? b2 ) ? | AB | ? | CD | ? . a 2 ? b2 a a?c x2 y 2 61.到椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a>b>0)两焦点的距离之比等于 (c 为半焦距)的动点 M b a b 的轨迹是姊妹圆 ( x ? a)2 ? y 2 ? b2 .
59.设 A, A' 是椭圆

a?c x2 y 2 ? 2 ? 1 ( a>b>0)的长轴两端点的距离之比等于 (c 为半焦距)的 2 b a b a 2 b 2 2 动点 M 的轨迹是姊妹圆 ( x ? ) ? y ? ( ) . e e 2 2 a?c x y 63.到椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a>b>0)的两准线和 x 轴的交点的距离之比为 (c 为半焦 b a b a 2 b 2 2 距)的动点的轨迹是姊妹圆 ( x ? 2 ) ? y ? ( 2 ) (e 为离心率). e e 2 2 x y 64.已知 P 是椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a> b > 0)上一个动点, A' , A 是它长轴的两个端点 ,且 a b x2 b2 y 2 ' ' AQ ? AP , AQ ? A P ,则 Q 点的轨迹方程是 2 ? 4 ? 1 . a a
62.到椭圆 65.椭圆的一条直径(过中心的弦)的长,为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和长轴之长 的比例中项. 66.设椭圆 为?

x2 y 2 ? 2 ? 1( a>b>0)长轴的端点为 A, A' , P( x1 , y1 ) 是椭圆上的点过 P 作斜率 2 a b

b 2 x1 的直线 l ,过 A, A' 分别作垂直于长轴的直线交 l 于 M , M ' ,则 a 2 y1 ' ' (1) | AM || A' M ' |? b2 .(2)四边形 MAA M 面积的最小值是 2ab .

x2 y 2 67.已知椭圆 2 ? 2 ? 1( a>b>0)的右准线 l 与 x 轴相交于点 E ,过椭圆右焦点 F 的直 a b 线与椭圆相交于 A、B 两点,点 C 在右准线 l 上,且 BC ? x 轴,则直线 AC 经过线段 EF 的中点. ( x ? a) 2 y 2 ? 2 ? 1 ( a>0,b>0)的两条互相垂直的弦,O 为坐标原点, 68.OA、OB 是椭圆 a2 b 2ab 2 ( , 0) .(2) 以 O A、O B 为直径的两圆的另一个交点 Q 的轨 则(1)直线 AB 必经过一个定点 2 a ? b2 ab2 2 2 ab2 2 迹方程是 ( x ? 2 2 ) ? y ? ( 2 2 ) ( x ? 0) . a ?b a ?b ( x ? a) 2 y 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)上一个定点,P A、P B 是互相垂直的弦, 69. P(m, n) 是椭圆 a2 b

6

则(1)直线 AB 必经过一个定点 ( 圆的另一个交点 Q 的轨迹方程是

2ab 2 ? m(a 2 ? b 2 ) n(b 2 ? a 2 ) , 2 ) .(2)以 P A、P B 为直径的两 a 2 ? b2 a ? b2

(x ?

ab2 ? a 2 m 2 b2 n 2 a 2 [b4 ? n2 (a 2 ? b2 )] ( x ? m 且 y ? n ). ) ? ( y ? ) ? a 2 ? b2 a 2 ? b2 (a 2 ? b 2 ) 2
70. 如果一个椭圆短半轴长为 b, 焦点 F1、 F2 到直线 L 的距离分别为 d1、 d2, 那么 (1) d1d2 ? b2 ,

且 F1、F 2 在 L 同侧 ? 直线 L 和椭圆相切.(2) d1d2 ? b2 ,且 F1、F2 在 L 同侧 ? 直线 L 和椭圆 相离, (3) d1d2 ? b2 ,或 F1、F2 在 L 异侧 ? 直线 L 和椭圆相交.

x2 y 2 ? ? 1(a>b>0)的长轴, N 是椭圆上的动点,过 N 的切线与过 A、B a 2 b2 的切线交于 C 、 D 两点,则梯形 ABDC 的对角线的交点 M 的轨迹方程是 x2 ? 4a2 y 2 ? 1( y ? 0) .
71.AB 是椭圆 72.设点 P( x0 , y0 ) 为椭圆

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 ? ? 1过 ( a > b > 0 )的内部一定点, AB 是椭圆 a 2 b2 a 2 b2

定 点 P( x0 , y0 ) 的 任 一 弦 , 当 弦 AB 平 行 ( 或 重 合 ) 于 椭 圆 长 轴 所 在 直 线 时

(| PA | ? | PB |)max ? (| PA | ? | PB |) min

a 2b2 ? (a 2 y0 2 ? b 2 x0 2 ) . 当 弦 AB 垂 直 于 长 轴 所 在 直 线 时 , b2 a 2b 2 ? (a 2 y0 2 ? b 2 x0 2 ) ? . b2

73.椭圆焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切. 74.椭圆焦三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点. 75.椭圆两焦点到椭圆焦三角形旁切圆的切线长为定值 a+c 与 a-c. 76.椭圆焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值 a-c. 77. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率). 注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点. 78.椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e. 79.椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项. 80.椭圆焦三角形中,椭圆中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同 侧焦点的距离成比例. 81.椭圆焦三角形中,半焦距、外点与椭圆中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同 侧焦点连线段成比例. 82.椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足连线必 与另一焦半径所在直线平行. 83.椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足的距离 为椭圆长半轴的长. 84.椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径 为直径的圆和椭圆长轴为直径的圆的切点. 85.椭圆焦三角形中,非焦顶点的外角平分线与焦半径、长轴所在直线的夹角的余弦的比为 定值 e. 86.椭圆焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的内角平分线. 87.椭圆焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的外角平分线. 88.椭圆焦三角形中,过非焦顶点的切线与椭圆长轴两端点处的切线相交,则以两交点为直径 的圆必过两焦点. 89. 已 知 椭 圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) ( 包 括 圆 在 内 ) 上 有 一 点 P , 过 点 P 分 别 作 直 线 a 2 b2

7

b b x 及 y ? ? x 的平行线,与直线 OP 分别交于 R, Q , O 为原点,则:. a a (1) | OM |2 ? | ON |2 ? a2 ; (2) | OQ |2 ? | OR |2 ? b2 . b b 90. 过平面上的 P 点作直线 l1 : y ? x 及 l2 : y ? ? x 的平行线, 分别交 x 轴于 M , N , 交y a a x2 y 2 轴于 R, Q . ( 1 )若 | OM |2 ? | ON |2 ? a2 ,则 P 的轨迹方程是 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) .(2) 若 a b 2 2 x y | OQ |2 ? | OR |2 ? b2 ,则 P 的轨迹方程是 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) . a b 2 2 x y 91. 点 P 为椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) (包括圆在内)在第一象限的弧上任意一点,过 P 引 a b b x 轴、 y 轴的平行线,交 y 轴、 x 轴于 M , N ,交直线 y ? ? x 于 Q, R ,记 ?OMQ 与 ?ONR a ab 的面积为 S1 , S2 ,则: S1 ? S 2 ? . 2 92. 点 P 为第一象限内一点,过 P 引 x 轴、 y 轴的平行线,交 y 轴、 x 轴于 M , N ,交直线 b ab y ? ? x 于 Q, R ,记 ?OMQ 与 ?ONR 的面积为 S1 , S2 ,已知 S1 ? S 2 ? ,则 P 的轨迹方程 a 2 x2 y 2 是 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) . a b y?

双曲线
1. || PF 1 | ? | PF2 ||? 2a

x2 y 2 2.标准方程: 2 ? 2 ? 1 a b | PF1 | 3. ? e ?1 d1
4.点 P 处的切线 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的内角. 5.PT 平分△PF1F2 在点 P 处的内角,则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的 圆,除去长轴的两个端点. 6.以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 7.以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切. 8.设 A1、A2 为双曲线的左、右顶点,则△PF1F2 在边 PF2(或 PF1)上的旁切圆,必与 A1A2 所 在的直线切于 A2(或 A1).

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的两个顶点为 A1 (?a, 0) , A2 (a,0) ,与 y 轴平行的直线交 a 2 b2 x2 y 2 双曲线于 P1、P2 时 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是 2 ? 2 ? 1 . a b 2 2 x y 10 .若 P 0 ( x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 ? 1 ( a > 0,b > 0 )上,则过 P 0 的双曲线的切线方程是 a b x0 x y0 y ? 2 ? 1. a2 b
9.双曲线

8

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)外 ,则过 Po 作双曲线的两条切线切点 a 2 b2 xx y y 为 P1、P2,则切点弦 P1P2 的直线方程是 02 ? 02 ? 1 . a b 2 2 x y 12. AB 是双曲线 2 ? 2 ? 1(a>0,b>0) 的不平行于对称轴且过原点的弦, M 为 AB 的中点, a b b2 则 kOM ? k AB ? 2 . a x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)内,则被 Po 所平分的中点弦的方程是 13.若 P 在双曲线 ( x , y ) 0 0 0 a 2 b2 x0 x y0 y x0 2 y0 2 ? 2 ? 2 ? 2 . a2 b a b x2 y 2 ? ? 1 ( a> 0,b> 0 )内,则过 Po 的弦中点的轨迹方程是 14 .若 P 在双曲线 ( x , y ) 0 0 0 a 2 b2 x 2 y 2 x0 x y0 y ? ? 2 ? 2 . a 2 b2 a b x2 y 2 15 . 若 PQ 是 双 曲 线 2 ? 2 ? 1 ( b > a > 0 ) 上 对 中 心 张 直 角 的 弦 , 则 a b 1 1 1 1 ? ? ? (r1 ?| OP |, r2 ?| OQ |) . r12 r2 2 a 2 b2
11.若 P 0 ( x0 , y0 ) 在双曲线 16 . 若 双 曲 线

x2 y 2 ? ?1 ( b > a > 0 ) 上 中 心 张 直 角 的 弦 L 所 在 直 线 方 程 为 a 2 b2
1 1 2 a4 A2 ? b4 B2 2 2 ? ? A ? B ;(2) . L ? a 2 b2 | a2 A2 ? b2 B2 |
2 2 2 2

Ax ? By ? 1 ( AB ? 0) ,则(1)

a 2 ? b2 ab)2 ,则 2 2 a ?b (i) 对 C1 上 任 意 给 定 的 点 P , 它 的 任 一 直 角 弦 必 须 经 过 ( x , y ) C 0 0 0 2 上 一 定 点
2 2 2 2 2 2 17.给定双曲线 C1 : b x ? a y ? a b (a>b>0), C2 : b x ? a y ? (

M( (

a 2 ? b2 a 2 ? b2 x , ? y0 ) . 0 a 2 ? b2 a 2 ? b2 ' ' ' (ii)对 C2 上任一点 P'0 ( x0' , y0' ) 在 C1 上存在唯一的点 M ,使得 M 的任一直角弦都经过 P 0 点.
18.设 P 0 (x0 , y0 ) 为双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a>0,b>0)上一点,P1P2 为曲线 C 的动弦,且弦 P0P1, a 2 b2 P0P2 斜 率 存 在 , 记 为 k1, k 2, 则 直 线 P1P2 通 过 定 点 M (mx0 , ?my0 ) ( m ? 1) 的 充 要 条 件 是 1 ? m b2 ? . 1 ? m a2 x2 y 2 19.过双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>o)上任一点 A( x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交 a b b2 x 双曲线于 B,C 两点,则直线 BC 有定向且 kBC ? ? 2 0 (常数). a y0 k1 ? k2 ?

9

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>o)的左右焦点分别为 F1,F 2,点 P 为双曲线上任意一点 a 2 b2 ? , ?F1PF2 ? ? , 则 双 曲 线 的 焦 点 角 形 的 面 积 为 S?F1PF2 ? b 2 co t 2 a ? b2 ? P( c 2 ? b2 tan 2 , cot ) . c 2 c 2 2 2 x y 21.若 P 为双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F1, F 2 是焦点, a b c?a ? ? c?a ? ? ? tan co t (或 ? tan co t ). ?PF1F2 ? ? , ?PF2 F1 ? ? ,则 c?a 2 2 c?a 2 2 2 2 x y 22.双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>o)的焦半径公式:( F1 (?c,0) , F2 (c,0) a b 当 M ( x0 , y0 ) 在右支上时, | MF 1 |? ex0 ? a , | MF 2 |? ex0 ? a .
20.双曲线 当 M ( x0 , y0 ) 在左支上时, | MF1 |? ?ex0 ? a , | MF2 |? ?ex0 ? a . 23.若双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,左准线为 L,则当 a 2 b2

1<e≤ 2 ? 1 时,可在双曲线上求一点 P,使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项.

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)上任一点,F1,F2 为二焦点,A 为双曲线内一定点,则 a 2 b2 | AF2 | ?2a ?| PA | ? | PF1 | ,当且仅当 A, F2 , P 三点共线且 P 和 A, F2 在 y 轴同侧时,等号成立.
24.P 为双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)上存在两点关于直线 l : y ? k ( x ? x0 ) 对称的充要条件 a 2 b2 (a 2 ? b 2 )2 2 是 x0 ? 2 . a ? b2k 2
25.双曲线 26.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应 焦点的连线必与切线垂直. 27.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦 半径互相垂直. 28.P 是双曲线 ? 条件是 e ?
2

? x ? a sec ? (a>0,b>0)上一点,则点 P 对双曲线两焦点张直角的充要 ? y ? b tan ?

1 . 1 ? tan 2 ? x2 y 2 ? ? k (a>0,b>0, k ? 0, k ? 1 )上两点,其直线 AB 与双曲线 a 2 b2

29.设 A,B 为双曲线

x2 y 2 ? ? 1 相交于 P, Q ,则 AP ? BQ . a 2 b2

x2 y 2 1? ( 2 ? 2 ) x2 y 2 2 a b 30. 在双曲线 2 ? 2 ? 1 中, 定长为 2m (m) 0) 的弦中点轨迹方程为 m ? , 2 cos ? sin 2 ? a b ? 2 a2 b

10

b2 x 2 ? ,当 y ? 0 时, ? ? 90 . 2 2 a y x2 y 2 31.设 S 为双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>o)的通径,定长线段 L 的两端点 A,B 在双曲线上 a b c a2 l 2 2 2 ? 移动, 记|AB|= l , 则当 l ? ? S 时, 有 ( x0 ) min ? M ( x0 , y0 ) 是 AB 中点, (c ? a ? b , e ? ); a c 2e a 4b 2 ? l 2 . 当 l ? ? S 时,有 ( x0 ) min ? 2b 2 2 x y 32 .双曲线 2 ? 2 ? 1 ( a > 0,b > 0 )与直线 Ax ? By ? C ? 0 有公共点的充要条件是 a b 2 2 2 2 A a ? B b ? C2 . ( x ? x0 )2 ( y ? y0 )2 ? ? 1(a>0,b>0)与直线 Ax ? By ? C ? 0 有公共点的充要 33.双曲线 a2 b2 条件是 A2a2 ? B2b2 ? ( Ax0 ? By0 ? C)2 .
其中 tan ? ? ?

x2 y 2 ? ? 1(a>0,b>0)的两个焦点为 F1、F2,P(异于长轴端点)为双曲线上 a 2 b2 任 意 一 点 , 在 △ PF1F2 中 , 记 ?F1PF2 ? ? , ?PF1F2 ? ? , ?F 1F2 P ? ? , 则 有 s i? n c ? ?e. ?( s i? n ? ? s i na )
34.设双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a>0,b>0)的实轴的两端点 A1 和 A2 的切线,与双曲线上任一 a 2 b2 2 点的切线相交于 P1 和 P2,则 | PA 1 | ? | PA 2 |? b .
35.经过双曲线

x2 y 2 ? ?1 (b>a >0) , O 为坐标原点, P、 Q 为双曲线上两动点, 且 OP ? OQ . a 2 b2 4a 2b 2 1 1 1 1 2 2 ? ? ? (1) ; ( 2 ) |OP| +|OQ| 的最小值为 ;(3) S?OPQ 的最小值是 b2 ? a2 | OP |2 | OQ |2 a 2 b 2
36. 已知双曲线

a 2b 2 . b2 ? a2 x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)过焦点的任一弦(交于两支),若 AB 是经过 a 2 b2 2 双曲线中心 O 且平行于 MN 的弦,则 | AB | ? 2a | MN | .
37.MN 是经过双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a>b>0)焦点的任一弦(交于同支),若过双曲线中心 O a 2 b2 2 1 1 1 ? ? 2? 2. 的半弦 OP ? MN ,则 2 a | MN | | OP | a b
38.MN 是经过双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a>0,b>0),M(m,o)为实轴所在直线上除中心,顶点外的任一点, a 2 b2 过 M 引一条直线与双曲线相交于 P、Q 两点,则直线 A1P、A2Q(A1 ,A2 为两顶点)的交点 N 在直线 l : a2 x ? 上. m
39.设双曲线 40.设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、Q 两点,A 为双曲线长轴上一个顶点,连结

11

AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M、N 两点,则 MF⊥NF. 41.过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P、Q, A1、A2 为双曲线实轴上的顶点,A1P 和 A2Q 交于点 M,A2P 和 A1Q 交于点 N,则 MF⊥NF.

x2 y 2 ? ? 1 ,则斜率为 k(k≠0)的平行弦的中点必在直线 l : y ? kx 的共轭 a 2 b2 b2 ' 直线 y ? k ' x 上,而且 kk ? 2 . a x2 y 2 43.设 A、B、C、D 为双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>o)上四点,AB、CD 所在直线的倾斜角分 a b | PA | ? | PB | b2 cos 2 ? ? a 2 sin 2 ? 别为 ? , ? ,直线 AB 与 CD 相交于 P,且 P 不在双曲线上,则 . ? | PC | ? | PD | b2 cos 2 ? ? a 2 sin 2 ? x2 y 2 44.已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a>0,b>0),点 P 为其上一点 F1, F 2 为双曲线的焦点, ?F 1PF 2 a b 的外(内)角平分线为 l ,作 F1、F2 分别垂直 l 于 R、S,当 P 跑遍整个双曲线时,R、S 形成的轨
42.设双曲线方程 迹方程是

x2 ? y 2 ? a2 ( {a3b( x ? c)[(a2 ? b2 ) x ? b2c]}2 ? [a4c2 ( x ? c) y]2 ? (ab3c2 y 2 )2 ). 45.设△ABC 三顶点分别在双曲线 ? 上,且 AB 为 ? 的直径,l 为 AB 的共轭直径所在的直线, l 分别交直线 AC、BC 于 E 和 F,又 D 为 l 上一点,则 CD 与双曲线 ? 相切的充要条件是 D 为 EF 的
中点.

x2 y 2 46.过双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的右焦点 F 作直线交该双曲线的右支于 M,N 两点, a b | PF | e ? . 弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于 P,则 | MN | 2
47.设 A(x1 ,y1)是双曲线

x2 y 2 b 2 x1 ? ? 1 ( a > 0,b > 0 )上任一点,过 A 作一条斜率为 的 a 2 b2 a 2 y1

直线 L,又设 d 是原点到直线 L 的距离, r1 , r2 分别是 A 到双曲线两焦点的距离,则 r1r2 d ? ab . 48.已知双曲线

x2 y 2 x2 y2 ? ? 1 ? ? ? (0 ? ? ?1 ) ( a > 0,b > 0 )和 ,一条直线顺次与 a 2 b2 a 2 b2

它们相交于 A、B、C、D 四点,则│AB│=|CD│.

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0),A、B 是双曲线上的两点,线段 AB 的垂直平分线 a 2 b2 a 2 ? b2 a 2 ? b2 与 x 轴相交于点 P( x0 ,0) , 则 x0 ? 或 x0 ? ? . a a x2 y 2 50.设 P 点是双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)上异于实轴端点的任一点,F1、F2 为其焦点记 a b ? 2b2 2 .(2) S ?PF1F2 ? b cot . ?F1PF2 ? ? ,则(1) | PF1 || PF2 |? 2 1 ? cos ?
49.已知双曲线 51.设过双曲线的实轴上一点 B(m,o)作直线与双曲线相交于 P、Q 两点,A 为双曲线实轴 的 左 顶 点 , 连 结 AP 和 AQ 分 别 交 相 应 于 过 B 点 的 直 线 MN : x ? n 于 M , N 两 点 , 则

a?m a2 ?MBN ? 90 ? . ?? 2 a?m b (n ? a) 2
?

12

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)焦点 F 且与实轴垂直的直线,A、B 是双曲线 a 2 b2 1 1 实轴的两个焦点, e 是离心率,点 P ? L , 若 ?EPF ? ? , 则 ? 是锐角且 sin ? ? 或 ? ? arc sin e e ab (当且仅当 | PH |? 时取等号). c x2 y 2 53.L 是经过双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的实轴顶点 A 且与 x 轴垂直的直线,E、F 是 a b 双曲线的准线与 x 轴交点,点 P ? L ,e 是离心率,?EPF ? ? ,H 是 L 与 X 轴的交点 c 是半焦距, 1 1 ab 则 ? 是锐角且 sin ? ? 或 ? ? arc sin (当且仅当 | PA |? 时取等号). e e c x2 y 2 54.L 是双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)焦点 F1 且与 x 轴垂直的直线,E、F 是双曲线准线 a b 与 x 轴交点,H 是 L 与 x 轴的交点,点 P ? L , ?EPF ? ? ,离心率为 e,半焦距为 c,则 ? 为锐 1 1 b 2 2 a ? c 时取等号). 角且 sin ? ? 2 或 ? ? arc sin 2 (当且仅当 | PF1 |? e e c x2 y 2 55.已知双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0) ,直线 L 通过其右焦点 F2,且与双曲线右支交于 A、 a b (2a 2 ? b 2 )2 B 两点,将 A、B 与双曲线左焦点 F1 连结起来,则 | F1 A | ? | F1B |? (当且仅当 AB⊥x a2
52.L 是经过双曲线 轴时取等号).

x2 y 2 ?PAB ? ? , ? ?1 (a>0,b>0) 的长轴两端点, P 是双曲线上的一点, a 2 b2 2ab2 | cos ? | ?PBA ? ? , ?BPA ? ? ,c、e 分别是双曲线的半焦距离心率,则有(1) | PA |? 2 2 .(2) | a ? c co s2 ? | 2a 2 b 2 cot ? . tan ? tan ? ? 1 ? e2 .(3) S?PAB ? 2 b ? a2 x2 y 2 57.设 A、B 是双曲线 2 ? 2 ? 1(a>0,b>0)实轴上分别位于双曲线一支内(含焦点的区 a b 域) 、外部的两点,且 xA 、 xB 的横坐标 xA ? xB ? a 2 , (1)若过 A 点引直线与双曲线这一支相交于 P、 Q 两点,则 ?PBA ? ?QBA ; (2)若过 B 引直线与双曲线这一支相交于 P、 Q 两点,则
56. 设 A、 B 是双曲线

?PBA ? ?QBA ? 180? .
58.设 A、B 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a>0,b>0)实轴上分别位于双曲线一支内(含焦点的区 a 2 b2

域) ,外部的两点, (1)若过 A 点引直线与双曲线这一支相交于 P、Q 两点, (若 B P 交双曲线这 一支于两点,则 P、Q 不关于 x 轴对称) ,且 ?PBA ? ?QBA ,则点 A、B 的横坐标 xA 、 xB 满足
? (2)若过 B 点引直线与双曲线这一支相交于 P、Q 两点,且 ?PBA ? ?QBA ? 180 , xA ? xB ? a 2 ;

则点 A、B 的横坐标满足 xA ? xB ? a .
2

59.设 A, A 是双曲线

'

x2 y 2 ? 2 ? 1 的实轴的两个端点, QQ' 是与 AA' 垂直的弦,则直线 AQ 2 a b

13

' ' 与 AQ 的交点 P 的轨迹是双曲线

x2 y 2 ? ? 1. a 2 b2

60 . 过双曲线

x2 y 2 ? ? 1 ( a > 0,b > 0 )的右焦点 F 作 互相垂直的两条 弦 AB 、 CD, 则 a 2 b2

8ab2 ?| AB | ? | CD | . | a 2 ? b2 | c?a x2 y 2 61.到双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)两焦点的距离之比等于 (c 为半焦距)的动点 b a b M 的轨迹是姊妹圆 ( x ? ec)2 ? y 2 ? (eb)2 .
c?a x2 y 2 62.到双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的实轴两端点的距离之比等于 (c 为半焦距) b a b 2 2 2 的动点 M 的轨迹是姊妹圆 ( x ? a) ? y ? b . c?a x2 y 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的两准线和 x 轴的交点的距离之比为 (c 为半 2 b a b b 2 2 2 焦距)的动点的轨迹是姊妹圆 ( x ? a ) ? y ? ( ) (e 为离心率). e 2 2 x y ' 64.已知 P 是双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)上一个动点, A , A 是它实轴的两个端点,且 a b x2 b2 y 2 ' ' AQ ? AP , AQ ? A P ,则 Q 点的轨迹方程是 2 ? 4 ? 1 . a a
63.到双曲线 65.双曲线的一条直径(过中心的弦)的长,为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和实轴之 长的比例中项. 66.设双曲线 作斜率为

x2 y 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)实轴的端点为 A, A' , P( x1 , y1 ) 是双曲线上的点过 P 2 a b

b 2 x1 的直线 l ,过 A, A' 分别作垂直于实轴的直线交 l 于 M , M ' ,则 a 2 y1 ' ' ' ' 2 (1) | AM || A M |? b .(2)四边形 MAA M 面积的最小值是 2ab .

x2 y 2 67.已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a>0,b>0)的右准线 l 与 x 轴相交于点 E ,过双曲线右焦点 F a b 的直线与双曲线相交于 A、B 两点,点 C 在右准线 l 上,且 BC ? x 轴,则直线 AC 经过线段 EF 的
中点.

( x ? a) 2 y 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0,且 a ? b )的两条互相垂直的弦,O 为 68.OA、OB 是双曲线 a2 b 2ab 2 , 0) .(2) 以 O A、O B 为直径的两圆的另一个 坐标原点,则(1)直线 AB 必经过一个定点 ( 2 b ? a2 ab2 2 2 ab2 2 交点 Q 的轨迹方程是 ( x ? 2 2 ) ? y ? ( 2 2 ) ( x ? 0) . b ?a b ?a 2 ( x ? a) y2 ? ? 1 (a>0,b>0)上一个定点,P A、P B 是互相垂直的 69. P(m, n) 是双曲线 a2 b2 2ab 2 ? m(b 2 ? a 2 ) n(a 2 ? b 2 ) , 2 ) .(2)以 P A、P B 为直径 弦,则(1)直线 AB 必经过一个定点 ( b2 ? a 2 b ? a2

14

的两圆的另一个交点 Q 的轨迹方程是

(x ?

ab2 ? a 2 m 2 b2 n 2 a 2 [b4 ? n2 (a 2 ? b2 )] ( x ? m 且 y ? n ). ) ? ( y ? ) ? b2 ? a 2 b2 ? a 2 (b2 ? a 2 )2 70.如果一个双曲线虚半轴长为 b,焦点 F1、F2 到直线 L 的距离分别为 d1、d2,那么(1) d1d2 ? b2 ,且 F1、F 2 在 L 同侧 ? 直线 L 和双曲线相切,或 L 是双曲线的渐近线.(2) d1d2 ? b2 ,

且 F1、F2 在 L 同侧 ? 直线 L 和双曲线相离, (3) d1d2 ? b2 ,或 F1、F2 在 L 异侧 ? 直线 L 和双 曲线相交.

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的实轴, N 是双曲线上的动点,过 N 的切线与 a 2 b2 过 A 、 B 的 切 线 交 于 C 、 D 两 点 , 则 梯 形 ABDC 的 对 角 线 的 交 点 M 的 轨 迹 方 程 是 x2 ? 4a2 y 2 ? 1( y ? 0) .
71.AB 是双曲线

x2 y 2 72.设点 P( x0 , y0 ) 为双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的内部((含焦点的区域))一定点, a b AB 是双曲线过定点 P( x0 , y0 ) 的任一弦. (1) 如 a ? b , 则 当 弦 AB 垂 直 于 双 曲 线 实 轴 所 在 直 线 时 (b2 x0 2 ? a 2 y0 2 ) ? a 2b 2 (| PA | ? | PB |) min ? . a2 (2) 如 a ? b , 则 当 弦 AB 平 行 ( 或 重 合 ) 于 双 曲 线 实 轴 所 在 直 线 时 , (b2 x0 2 ? a 2 y0 2 ) ? a 2b 2 (| PA | ? | PB |) min ? . b2
73.双曲线焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以双曲线实轴为直径的圆相外切. 74.双曲线焦三角形的内切圆必切长轴于非焦顶点同侧的实轴端点. 75.双曲线两焦点到双曲线焦三角形内切圆的切线长为定值 a+c 与 a-c. 76.双曲线焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值 a-c. 77.双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心 率). 注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点. 78.双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比 e. 79.双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项. 80.双曲线焦三角形中,双曲线中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点 到同侧焦点的距离成比例. 81.双曲线焦三角形中,半焦距、外点与双曲线中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点 与同侧焦点连线段成比例. 82.双曲线焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的内角平分线引垂线,则双曲线中心与垂足连 线必与另一焦半径所在直线平行. 83.双曲线焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点内角平分线引垂线,则双曲线中心与垂足的距 离为双曲线实半轴的长. 84.双曲线焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的内角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半 径为直径的圆和双曲线实轴为直径的圆的切点. 85.双曲线焦三角形中,非焦顶点的内角平分线与焦半径、实轴所在直线的夹角的余弦的比 为定值 e. 86.双曲线焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的外角平分线. 87.双曲线焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的内角平分线. 88.双曲线焦三角形中,过非焦顶点的切线与双曲线实轴两端点处的切线相交,则以两交点为 直径的圆必过两焦点.

15

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 上有一点 P ,过 P 分别引其渐近线的平行线,分别 a 2 b2 交 x 轴于 M , N ,交 y 轴于 R, Q , O 为原点,则:
89. 已知双曲线 (1) | OM | ? | ON |? a2 ; (2) | OQ | ? | OR |? b2 .

b b x 及 l2 : y ? ? x 的平行线, 分别交 x 轴于 M , N , 交y a a x2 y 2 2 轴 于 R, Q . ( 1 ) 若 | OM |? | ON ? , 则 P 的 轨 迹 方 程 是 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) .(2) 若 | a a b 2 2 x y | OQ | ? | OR |? b2 ,则 P 的轨迹方程是 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) . a b 2 2 x y 91. 点 P 为双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 在第一象限的弧上任意一点,过 P 引 x 轴、 y 轴 a b b 的平行线,交 y 轴、 x 轴于 M , N ,交直线 y ? ? x 于 Q, R ,记 ?OMQ 与 ?ONR 的面积为 a ab . S1 , S2 ,则: | S1 ? S 2 |? 2 92. 点 P 为第一象限内一点,过 P 引 x 轴、 y 轴的平行线,交 y 轴、 x 轴于 M , N ,交直线 b ab y ? ? x 于 Q, R ,记 ?OMQ 与 ?ONR 的面积为 S1 , S2 ,已知 | S1 ? S 2 |? ,则 P 的轨迹方 a 2 x2 y 2 y 2 x2 程是 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 或 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) . a b b a
90. 过平面上的 P 点作直线 l1 : y ?

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