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高二下学期期末复习综合训练5


沙洲中学 2013-2014 学年第二学期高二数学理科

期末复习综合训练 5
1.已知复数 z 满足 z ? i ? 1 ? i ( i 是虚数单位) ,则 z ? 2. 袋中有 2 个红球, 2 个蓝球, 1 个白球, 从中一次取出 2 个球, 则取出的球颜色相同的概率为 3. (3x+ )6 的展开式中常数项为 (用数字作答) . . 条件。 源: .

4.平面 ? 截半径为 2 的球 O 所得的截面圆的面积为 π ,则球心 O 到平面 ? 的距离为 5.已知直线 l ? 平面 ? ,直线 m ∥平面 ? ,则“ ? / / ? ”是“ l ? m ”的 6.有 10 件产品, 其中 3 件是次品, 从中任取两件, 若? 表示取到次品的个数, 则 E? 为

7 . 在平 面直 角坐 标系 xOy 中 , 曲线 C 的 离 心 率为 2 , 且 过点 (1, 2) , 则 曲线 C 的 标 准 方 程 为 .

y2 2 8.已知椭圆 C 的方程为 + 2 =1(m>0), 如果直线 y = x 与椭圆的一个交点 M 在 x 轴上的射影恰 16 m 2
好是椭圆的右焦点 F,则 m 的值为 。

x2

9.有 5 名男性驴友到某旅游风景区游玩,晚上入住一家宾馆,宾馆有 3 间客房可选,一间客房为 3 人间, 其余为 2 人间,则 5 人入住两间客房的不同方法有 种(用数字作答)。 ____种.

10.从 6 双不同颜色的手套中选取 4 只,其中恰有一双同色的取法数有__

? a 0? 11.若矩阵 M ? ? ? 把直线 l : x ? y ? 2 ? 0 变换为另一条直线 l ? : x ? y ? 4 ? 0 ,则实数 a 为 ? ?1 2 ?

12.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 经过点 P (0,1) ,曲线 C 的方程为 x2 ? y 2 ? 2 x ? 0 ,若直线
l 与曲线 C 相交于 A , B 两点,则 PA ? PB 的值为



13. 在平面直角坐标系 xOy 中, 圆 C 的方程为 x2 ? y 2 ? 4 x ? 0 .若直线 y ? k ( x ? 1) 上存在一点 P , 使过 P 所作的圆的两条切线相互垂直,则实数 k 的取值范围是 .

1 1 14.已知函数 f ( x)满足f ( x) ? 2 f ( ), 当 x ?[1,3], f ( x) ? ln x , 若在区间[ ,3] 内, 函数 g ( x) ? f ( x) ? ax 3 x
有三个不同零点,则实数 a 的取值范围是 .

15.如图,在五面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是矩形,DE ⊥平面 ABCD. (1)求证:AB ∥EF ; (2)求证:平面 BCF ⊥平面 CDEF . D C E F

A

(第 15 题)

B

16.某风景区在一个直径 AB 为 100 米的半圆形花园中设计一条观光线路(如图所示) .在点 A 与圆 弧上的一点 C 之间设计为直线段小路,在路的两侧 边缘种植绿化带;从点 C 到点 B 设计为沿弧 ..
BC 的弧形小路,在路的一侧 边缘种植绿化带. (注:小路及绿化带的宽度忽略不计) ..

(1)设 ?BAC = q (弧度) ,将绿化带总长度表示为 q 的函数 s(? ) ; (2)试确定 q 的值,使得绿化带总长度最大. A
?

C

(第 16 题)

O

B

17. 如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A B C D 中, P 是棱 BC 的中点, 1 1 1 1 (1)求 C1P 与平面 BDD1B1 所成角的正弦值。 (2)若点 Q 在棱 CD 上, DQ ? A B
1 1

2 DC ,求二面角 P ? C1Q ? C 的余弦值。 3

D C
1 1

A B Q P C

D

18. 在一个盒子中,放有大小相同的红、白、黄三个小球,现从中任意摸出一球,若是红球记 1 分, 白球记 2 分,黄球记 3 分.现从这个盒子中,有放回地先后摸出两球,所得分数分别记为 x 、 y , 设 O 为坐标原点,点 P 的坐标为 ( x ? 2, x ? y ) ,记 ? ? OP . (I)求随机变量 ? 的最大值,并求事件“ ? 取得最大值”的概率; (Ⅱ)求随机变量 ? 的分布列和数学期望.
2

2 y2 19.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 x 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 1 ,过椭圆右焦点 F 作 2 a b

两条互相垂直的弦 AB 与 CD .当直线 AB 斜率为 0 时, AB ? CD ? 7 . (1)求椭圆的方程; (2)求 AB ? CD 的取值范围.

y
B
O C

D F
A
x

20.已知函数 f ( x) ? ( x ? a)2 ex 在 x ? 2 时取得极小值. (1)求实数 a 的值; (2)是否存在区间 ? m, n ? , 使得 f ( x) 在该区间上的值域为 [e4 m,e4 n] ?若存在,求出 m , n 的值;若不存在,说明理由.

综合 5 答案: 1.已知复数 z 满足 z ? i ? 1 ? i ( i 是虚数单位) ,则 z ? . 【答案】1 ? i
1 . 5

2. 袋中有 2 个红球, 2 个蓝球, 1 个白球, 从中一次取出 2 个球, 则取出的球颜色相同的概率为 3. (3x+ ) 的展开式中常数项为
6

(用数字作答) .135. . 3

4.平面 ? 截半径为 2 的球 O 所得的截面圆的面积为 π ,则球心 O 到平面 ? 的距离为

5.已知直线 l ? 平面 ? ,直线 m ∥平面 ? ,则“ ? / / ? ”是“ l ? m ”的 条件。充分不必要条件 6.有 10 件产品,其中 3 件是次品,从中任取两件,若? 表示取到次品的个数,则 E? 为 7.在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的离心率为 2 ,且过点 (1, 2) ,则曲线 C 的标准方程为 【答案】 y 2 ? x2 ? 1

3 源: 5


x2 y2 2 8.已知椭圆 C 的方程为 + 2 =1(m>0), 如果直线 y = x 与椭圆的一个交点 M 在 x 轴上的射影恰 16 m 2
好是椭圆的右焦点 F,则 m 的值为 2 2

9.有 5 名男性驴友到某旅游风景区游玩,晚上入住一家宾馆,宾馆有 3 间客房可选,一间客房为 3 人间, 其余为 2 人间,则 5 人入住两间客房的不同方法有 种(用数字作答).20

10.从 6 双不同颜色的手套中选取 4 只,其中恰有一双同色的取法数有______种. 240
? a 0? 11.若矩阵 M ? ? ? 把直线 l : x ? y ? 2 ? 0 变换为另一条直线 l ? : x ? y ? 4 ? 0 ,则实数 a 为 ? ?1 2 ?

3

12.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 经过点 P (0,1) ,曲线 C 的方程为 x2 ? y 2 ? 2 x ? 0 ,若直线
l 与曲线 C 相交于 A , B 两点,则 PA ? PB 的值为

.1

13. 在平面直角坐标系 xOy 中, 圆 C 的方程为 x2 ? y 2 ? 4 x ? 0 .若直线 y ? k ( x ? 1) 上存在一点 P , 使过 P 所作的圆的两条切线相互垂直,则实数 k 的取值范围是
? . 【答案】 ? ? ?2 2, 2 2 ?

1 1 14.已知函数 f ( x)满足f ( x) ? 2 f ( ), 当 x ?[1,3], f ( x) ? ln x , 若在区间[ ,3] 内, 函数 g ( x) ? f ( x) ? ax 3 x
有三个不同零点,则实数 a 的取值范围是 ▲ . [

ln 3 1 , ) 3 e
E F

15.如图,在五面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是矩形,DE ⊥平面 ABCD. (1)求证:AB ∥EF ; (2)求证:平面 BCF ⊥平面 CDEF . 【证】 (1)因为四边形 ABCD 是矩形,所以 AB ∥CD, D C

A

(第 15 题)

B

因为 AB ? 平面 CDEF , CD ? 平面 CDEF , 所以 AB ∥平面 CDEF .????????? 4 分 因为 AB ? 平面 ABFE ,平面 ABFE 所以 AB ∥EF . (2)因为 DE ⊥平面 ABCD, BC ? 平面 ABCD, 所以 DE ⊥BC. 因为 BC⊥CD, CD
DE ? D , CD, DE ? 平面 CDEF ,

平面 CDEF ? EF , ??????????? 7 分

??????????? 9 分

所以 BC⊥平面 CDEF . 因为 BC ? 平面 BCF ,平面 BCF ⊥平面 CDEF .

??????????? 12 分 ??????????? 14 分

16.某风景区在一个直径 AB 为 100 米的半圆形花园中设计一条观光线路(如图所示) .在点 A 与圆 弧上的一点 C 之间设计为直线段小路,在路的两侧 边缘种植绿化带;从点 C 到点 B 设计为沿弧 ..
BC 的弧形小路,在路的一侧 边缘种植绿化带. (注:小路及绿化带的宽度忽略不计) ..

(1)设 ?BAC = q (弧度) ,将绿化带总长度表示为 q 的函数 s(? ) ; (2)试确定 q 的值,使得绿化带总长度最大. 【解】 (1)如图,连接 BC ,设圆心为 O ,连接 CO . 在直角三角形 ABC 中, AB ? 100 , ?BAC ? ? , 所以 AC ? 100 cos ? . A
?

C

(第 17 题)

O

B

由于 ?BOC ? 2?BAC ? 2? ,所以弧 BC 的长为 50 ? 2? ? 100? . ????????3 分 所以 s(? ) ? 2 ? 100cos? ? 100? , 即 s(? ) ? 200cos ? ? 100? , ? ? (0, π ) . 2 (2) s?(? ) ? 100(?2sin ? ? 1) , 令 s?(q ) = 0 ,则 ? ? π , 6 列表如下: ???????????7 分 ???????????9 分 ???????????11 分

q
s?(q ) s(q )

π (0, ) 6
+

π 6
0 极大值

π π ( , ) 6 2
?

所以,当 ? ? π 时, s(? ) 取极大值,即为最大值. 6 答:当 ? ? π 时,绿化带总长度最大. 6

???????????13 分 ???????????14 分

17. 如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A B C D 中, P 是棱 BC 的中点, 1 1 1 1 (1)求 C1P 与平面 BDD1B1 所成角的正弦值。

10 10

(2)若点 Q 在棱 CD 上, DQ ? A B
1 1

D C
1 1

2 14 DC ,求二面角 P ? C1Q ? C 的余弦值。 3 7

A B Q

D

C P 18. 在一个盒子中,放有大小相同的红、白、黄三个小球,现从中任意摸出一球,若是红球记 1 分, 白球记 2 分,黄球记 3 分.现从这个盒子中,有放回地先后摸出两球,所得分数分别记为 x 、 y , 设 O 为坐标原点,点 P 的坐标为 ( x ? 2, x ? y ) ,记 ? ? OP . (I)求随机变量 ? 的最大值,并求事件“ ? 取得最大值”的概率; (Ⅱ)求随机变量 ? 的分布列和数学期望. 18. 【解析】(I)? x 、 y 可能的取值为 1 、 2 、 3 ,???????1 分
2

? x ? 2 ? 1, y ? x ? 2 ,
?? ? ( x ? 2)2 ? ( x ? y)2 ? 5 ,且当 x ? 1 , y ? 3 或 x ? 3 , y ? 1 时, ? ? 5 .
因此,随机变量 ? 的最大值为 5 ??????????4 分
?

有放回摸两球的所有情况有 3 ? 3 ? 9 种

? P(? ? 5) ?

2 ???6 分 9

(Ⅱ) ? 的所有取值为 0 , 1, 2 , 5 .

? ? ? 0 时,只有 x ? 2 , y ? 2 这一种情况.

? ? 1 时,有 x ? 1 , y ? 1或 x ? 2 , y ? 1 或 x ? 2 , y ? 3 或 x ? 3 , y ? 3 四种情况,
? ? 2 时,有 x ? 1 , y ? 2 或 x ? 3 , y ? 2 两种情况.

? P (? ? 0) ?

1 4 2 , P (? ? 1) ? , P (? ? 2) ? ??????????8 分 9 9 9

则随机变量 ? 的分布列为: ??

?
P

0
1 9

1

2

5

10 分

4 2 2 9 9 9 1 4 2 2 因此,数学期望 E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 5 ? ? 2 ???????12 分 9 9 9 9
2 y2 19.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 x 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 1 ,过椭圆右焦点 F 作 2 a b

两条互相垂直的弦 AB 与 CD .当直线 AB 斜率为 0 时, AB ? CD ? 7 . (1)求椭圆的方程; (2)求 AB ? CD 的取值范围. 【解】 (1)由题意知, e ? c ? 1 , CD ? 7 ? 2a , a 2 所以 a2 ? 4c2 , b2 ? 3c2 . ???????????2 分

y
B
O C

D F
A
x

2 因为点 (c, 7 ? 4c ) 在椭圆上,即 c 2 ? 2 4c

( 7 ? 4c )2 2 ? 1, 3c2

(第 18 题)

所以 c ? 1 .
2 y2 ?1. 所以椭圆的方程为 x ? 4 3

???????????6 分

(2)① 当两条弦中一条斜率为 0 时,另一条弦的斜率不存在, 由题意知 AB ? CD ? 7 ; ???????????7 分

② 当两弦斜率均存在且不为 0 时,设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 且设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1) , 则直线 CD 的方程为 y ? ? 1 ( x ? 1) . k 将直线 AB 的方程代入椭圆方程中,并整理得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 ,
4k 2 ? 6 k 2 ? 1 x ? 4k 2 ? 6 k 2 ? 1 所以 x1 ? , 2 , 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

所以 AB ? k 2 ? 1 | x1 ? x2 |?

12(k 2 ? 1) . 3 ? 4k 2

???????????10 分

12( 12 ? 1) 12(k 2 ? 1) k 同理, CD ? . ? 3k 2 ? 4 3 ? 42 k

所以 AB ? CD ?

12(k 2 ? 1) 12(k 2 ? 1) 84(k 2 ? 1)2 ? ? , 2 2 3 ? 4k 3k ? 4 (3 ? 4k 2 )(3k 2 ? 4)

?????????12 分

令 t ? k 2 ? 1 ,则 t ? 1 , 3 ? 4k 2 ? 4t ? 1 , 3k 2 ? 4 ? 3t ? 1 , 设 f (t ) ?

(4t ? 1)(3t ? 1) ?? 1 ? 1 ? 12 ? ?(1 ? 1 )2 ? 49 , t 2 4 t2 t2 t

因为 t ? 1 ,所以 1 ? (0,1) , t 所以 f (t ) ? (12, 49 ] , 4 所以 AB ? CD ? 84 ?[ 48 ,7) . f (t ) 7 综合①与②可知, AB ? CD 的取值范围是 [ 48 ,7] . 7 20.已知函数 f ( x) ? ( x ? a)2 ex 在 x ? 2 时取得极小值. (1)求实数 a 的值; (2) 是否存在区间 ? m, n ? , 使得 f ( x) 在该区间上的值域为 [e4 m,e4 n] ?若存在, 求出 m ,n 的值; 若不存在,说明理由. 【解】 (1) f ?( x) ? e x ( x ? a)( x ? a ? 2) , 由题意知 f ?(2) ? 0 ,解得 a ? 2 或 a ? 4 . 当 a ? 2 时, f ?( x) ? e x x( x ? 2) , 易知 f ( x) 在 (0, 2) 上为减函数,在 (2, ??) 上为增函数,符合题意; 当 a ? 4 时, f ?( x) ? e x ( x ? 2)( x ? 4) , 易知 f ( x) 在 (0, 2) 上为增函数,在 (2, 4) , (4, ??) 上为减函数,不符合题意. 所以,满足条件的 a ? 2 . (2)因为 f ( x) ≥ 0 ,所以 m ≥ 0 . ??????????? 5 分 ??????????? 7 分 ????? 9 分 ??????????? 2 分 ???????????16 分

① 若 m ? 0 ,则 n ≥ 2 ,因为 f (0) ? 4 ? e4 n ,所以 (n ? 2)2 en ? e4 n . 设 g ( x) ?
? x 2 ? 4 ( x ? 2)2 ? x ( x ? 2)2 x e ( x ≥ 2) ,则 g ?( x) ? ? 2 ? ?e ≥0 , x ? x ? x

所以 g ( x) 在 [2, ??) 上为增函数.

由于 g (4) ? e4 ,即方程 (n ? 2)2 en ? e4 n 有唯一解为 n ? 4 .??????????? 11 分 ② 若 m ? 0 ,则 2 ? ? m, n? ,即 n ? m ? 2 或 0 ? m ? n ? 2 .
? f (m) ? (m ? 2) 2 e m ? e 4 m (Ⅰ) n ? m ? 2 时, ? , 2 n 4 ? f (n) ? (n ? 2) e ? e n

由①可知不存在满足条件的 m, n .

??????????? 13 分

?(m ? 2)2 em ? e4 n (Ⅱ) 0 ? m ? n ? 2 时, ? ,两式相除得 m(m ? 2)2 em ? n(n ? 2)2 en . 2 n 4 ( n ? 2) e ? e m ?

设 h( x) ? x( x ? 2)2 e x (0 ? x ? 2) , 则 h?( x) ? ( x3 ? x2 ? 4x ? 4)e x ? ( x ? 2)( x ? 1)( x ? 2)e x ,
h( x) 在 (0,1) 递增,在 (1, 2) 递减,由 h(m) ? h(n) 得 0 ? m ? 1 , 1 ? n ? 2 ,

此时 (m ? 2)2 em ? 4e ? e4 n ,矛盾. 综上所述,满足条件的 m, n 值只有一组,且 m ? 0, n ? 4 .???????????16 分


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