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2014华附三模理科数学试题


2014 年华南师大附中高三综合测试 数学(理科)
2014.5 本试卷共 4 页,21 小题, 满分 150 分. 考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题 卡上.用 2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项

的答案信息点涂黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位 置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上 要求作答的答案无效. 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏涂、错涂、多涂的, 答案无效. 5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 5 ,则复数 z 的共轭复数 z = ( * ) 1.已知复数 z = 2?i A. ?1 + 2i B. ?1 ? 2i C. ? 2 + i

D. 2 ? i

2.已知集合 A = x x 2 ? x ? 2 ≤ 0, x ∈ R , B = x x ? 2 ≤ 1, x ∈ R ,则 A I B =( * ) A. [1, 2] A.4 B. ( ?1,1] U [ 2,3) B.5 C. [ ?2,1) U (1,3] C.6 D .7 D. [ ?1,1) U ( 2,3]

{

}

{

}

( * ) 3. 某程序框图如图所示, 该程序运行后输出的 k 的值是 4.函数 y = sin x ? cos x 的图象可由函数 y = sin x + cos x 的图 象经过下列哪种变换得到( * ) π π A.向右平移 个单位 B.向右平移 个单位 4 2 π π C.向左平移 个单位 D.向左平移 个单位 4 2 5.已知圆 C1 : ( x + 1) 2 + ( y ? 1) 2 =1,圆 C2 与圆 C1 关于直线 x ? y ? 1 = 0 对称,则圆 C2 的方程为( * ) A. ( x + 2) 2 + ( y ? 2) 2 =1 C. ( x + 2) 2 + ( y + 2) 2 =1 B. ( x ? 2)2 + ( y + 2) 2 =1 D. ( x ? 2)2 + ( y ? 2) 2 =1
1

第 3 题图

6.设非零向量 a 、 b 、 c 满足 | a |=| b |=| c |, a + b = c ,则向量 a 、 b 的夹角为 < a , b >= ( * ) A.30° B.60° C.120° D.150°

7. 已知直线 l1 : 4 x ? 3 y + 6 = 0 和直线 l2 : x = ?1 , 抛物线 y 2 = 4 x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的 距离之和的最小值是( * ) A. 11 5 B. 37 16 C.2 D.3

8. 若函数 f ( x ) 满足:存在非零常数 T ,对任意 x ∈ R ,有 f ( x + T ) = Tf ( x ) 成立,则称 f ( x) 为 “ T 周期函数” .以下说法中: ①对任意的 0 < a < 1 ,函数 f ( x) = a x 必是“ T 周期函数” ; ②对任意的 a > 1 ,函数 f ( x) = a x 必是“ T 周期函数” ; ; ③存在 k ∈ R 且 k ≠ 0 ,使函数 f ( x) = sin ( kx ) 是“ T 周期函数” ④存在 a ≠ 0 ,使函数 f ( x) = ax 是“ T 周期函数” ; 正确的说法有( * )个 A.1 B.2 C.3 D.4

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9. 式子 ?2Cn1 + 4Cn2 ? 8Cn3 + L + (?2)n Cnn 等于__▲__. ?x + y ≥ 3 ? ,则 z = 3 ? x 2 ? y 2 10.已知实数 x、y 满足约束条件 ? x ≤ 3 ?y ≤ 3 ? 的最大值为 ▲ . ▲_.
1
俯视图 第11题图

1 2
正视图

2

侧视图

11.某几何体的三视图如图所示,则它的表面积为

12.三个不同的实数 a, b, c 成等差数列,且 a, c, b 成等比数列, 则a :b:c = ▲__.

13.若 x ∈ A 则 ∈ A ,就称 A 是伙伴关系集合,集合 M = ?0, , ,1, 2,3, 4 ? 的所有非空子集 中,具有伙伴关系的集合的个数为 ▲__.

1 x

? 1 1 ? 3 2

? ?

2

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) ? x = 4 ? 2t 14. (坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ? ? y = 2t (t 为参数),在极坐标系 (与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点, 以 x 轴正半轴为极轴)中,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ = 4 cos θ ,则 C1 与 C2 的两个交点 之间的距离等于 ▲ . ▲ .
A O P C B D

15. (几何证明选做题)如图,AB,CD 是半径为 3 的圆 O 的两条弦,它们相交于 AB 的中 点 P,PD = 2,∠OAP = 30°,则 CP = 三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、 证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分12分)

x x 已知 sin ? 2 cos = 0. 2 2
(Ⅰ)求 tan x 的值; (Ⅱ)求
cos 2 x 的值. ?π ? 2 cos ? + x ? ? sin x ?4 ?

17. (本小题满分12分) 在某批次的某种灯泡中,随机地抽取 200 个样品,并对其寿命进行追踪调查,将结果列 成频率分布表如下.根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级,其中寿命大于或等 于 500 天的灯泡是优等品,寿命小于 300 天的灯泡是次品,其余的灯泡是正品.
寿命(天) 频数 20 30 70 频率

[100, 200)

0.10

[200,300)
[300, 400)
[400,500)

a
0.35 0.15 0.25 1

b
50 200

[500, 600)
合计

(Ⅰ)根据频率分布表中的数据,写出 a,b 的值; (Ⅱ)某人从灯泡样品中随机地购买了 n(n ∈ N? ) 个,如果这 n 个灯泡的等级比例恰好与 按 三 个等级分 层抽样所得的结果相同,求 n 的最小值; . .. ...... (Ⅲ)某人从这个批次的灯泡中随机地购买了 3 个进行使用,若以上述频率作为概率, 用 X 表示此人所购买的灯泡中次品的个数,求 X 的分布列和数学期望.
3

18. (本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是菱形, ∠BAD = 60° , AB = 2 , PA = 1 , PA ⊥平面 ABCD , E 是 PC 的中点, F 是 AB 的中点. (Ⅰ)求证: BE ∥平面 PDF ; (Ⅱ)求证:平面 PDF ⊥平面 PAB ; (Ⅲ)求平面 PAB 与平面 PCD 所成锐二面角的大小.

19. (本小题满分14分) 已知函数 f ( x ) =

x2 ? a ( a + 2) x x +1

( a ≥ 0) .

(Ⅰ)当 a = 1 时,求 f ( x ) 在点 ( 3, f ( 3) ) 处的切线方程; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在 [0, 2] 上的最小值. 20. (本小题满分14分) y2 = 1 的左右顶点为 A 、 B ,过其上焦 已知椭圆 x + 2
2

点 F 的直线 l (非 y 轴)与椭圆交于 C 、 D 两点(位置如 图) ,并与 x 轴交于点 P . 直线 AC 与直线 BD 交于点 Q .

uuu r uuu r (Ⅰ)若 CF = 2FD ,求直线 l 的方程;
(Ⅱ)当点 P 异于 A 、 B 两点时,求证: uuu r uuur OP g OQ 为定值( O 为坐标原点).

21. (本小题满分14分)
2 ? 已知数列 {an } 满足 a1 = 3 , an +1 = an ? nan + λ n ∈ Z , λ ∈ R .

(

)

(Ⅰ)若 an ≥ 2n 对 n ∈ N * 恒成立,求 λ 的取值范围; (Ⅱ)若 λ = ?2 ,证明:对 n ∈ N * 都有

1 1 1 + +L+ < 2. a1 ? 2 a2 ? 2 an ? 2

4


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