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上海市黄浦区2013年高考一模数学(理科)试题


黄浦区 2012 学年度第一学期高三年级期终考试 数学试卷(理科)(一模)
17 日 2013 年 1 月

考生注意: 1.每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料,解答必须在答题卷上进行,写在试卷 上的解答一律无效; 2.答卷前,考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚; 3.本试卷共 23 道试题,满分 150 分;考试时间 120

分钟. 一、填空题(本大题满分 56 分) 本大题共有 14 题,考生应在答题卷的相应编号的空格内直 接填写结果,每题填对得 4 分,否则一律得零分. 1.已知集合 A ? {x | 0 ? x ? 3} , B ? {x | x2 ? 4} ,则 A ? B ? .

2.若 z ? (1 ? 2i)(a ? i) ( i 为虚数单位)为纯虚数,则实数 a 的值为 . a ? a2 ? ? ? an 3. 若数列 {an } 的通项公式为 an ? 2n ? 1(n ? N*) ,则 lim 1 ? n→? nan 4. 已知直线 l1 : x ? ay ? 2 ? 0 和 l2 : (a ? 2) x ? 3 y ? 6a ? 0 , l1 ∥ l2 的充要条件是 a = 则 5. ( x ? )9 的展开式中 x5 的系数是

. .

1 x

(用数字作答) .
开始 输入 p n←1,S←0 1 S←S+ n(n+1) n←n+1 是

6.盒中装有形状、大小完全相同的 7 个球,其中红色球 4 个, 黄色球 3 个.若从中随机取出 2 个球,则所取出的 2 个球 颜色不同的概率等于 .

1 ? cos 2? 1 7.已知 ? 1 , tan(? ? ? ) ? ? ,则 tan( ? ? 2? ) 的值 sin ? cos ? 3
为 . .

8.执行右边的程序框图,若 p ? 10 ,则输出的 S =

?log2 x ( x ? 0) 9.已知函数 f ( x) ? ? x ,且函数 F ( x) ? f ( x) ? x ? a ( x ? 0) ?3

n<p
否 输出 S 结束

有且仅有两个零点,则实数 a 的取值范围是 10.已知函数 y ? sin(? x ?



?
3

)(? ? 0) 的最小正周期为 ? ,若将

该函数的图像向左平移 m ( m ? 0) 个单位后,所得图像关于 原点对称,则 m 的最小值为 .

(第 8 题图)

11.已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上一点 M (1, m) 到其焦点 F 的距离为 5,该抛物线的顶点到 直线 MF 的距离为 d,则 d 的值为 .

12. 已知函数 f ( x) ? a x ( a ? 0 且 a ? 1 )满足 f (2) ? f (3) , y ? f ?1 ( x) 是 y ? f ( x) 的反函数, 若

1 . x x2 y 2 13. 已知 F 是双曲线 C : 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点, 是双曲线 C 的中心, O 直线 y ? a b
则关于 x 的不等式 f ?1 (1 ? ) ? 1 的解集是

mx 是双曲线 C 的一条渐近线.以线段 OF 为边作正三角形 MOF,若点 M 在双曲线 C
上, 则 m 的值为 .

14.已知命题“若 f ( x) ? m2 x2 , g ( x) ? mx2 ? 2m ,则集合 {x | f ( x) ? g ( x), 是假命题,则实数 m 的取值范围是 .

1 ? x ?1 } ? ? ” 2

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在 答题卷的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否 则一律得零分. ??? ???? ? ???? ???? BD 15. 在四边形 ABCD 中,AB ? DC , AC · =0, 且 则四边形 ABCD 是 ( ) A.菱形 B.矩形 C.直角梯形 D.等腰梯形 ( )

16.若 z ? cos ? ? i sin ? ( ? ? R ,i 是虚数单位) | z ? 2 ? 2i | 的最小值是 ,则 A. 2 2 B. 2 C. 2 2 ? 1

D. 2 2 ? 1

17.若 f ( x ) 是 R 上的奇函数,且 f ( x) 在 [0, ??) 上单调递增,则下列结论:①y ?| f ( x) | 是 偶函数;② 对任意的 x ? R 都有 f (? x)? | f ( x) |? 0 ;③ y ? f (? x) 在 (??,0] 上单调递增; ④ y ? f ( x) f (? x) 在 (??,0] 上 单 调 递 增 . 其 中 正 确 结 论 的 个 数 为 ( )A.1 B.2 C.3 D.4

? a1 18. 若矩阵 ? ? b1
[来源:Z_xx_k.Com]

a2 b2

a3 b3

a4 ? ① ? 满足下列条件: 每行中的四个数所构成的集合均为 {1, 2,3, 4} ; b4 ?

② 四列中至少有两列的上下两数是相同的. 则这样的不同矩阵的个数为 A.48 B.72 C.168 D.312





三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题卷相应的编号 规定区域内写出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. 如图所示,在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E , F 分别为线段 DD1 , BD 的 中点.
A1 E D1 B1 C1

D F

C

(1)求异面直线 EF 与 BC 所成的角; (2)求三棱锥 C ? B1 D1 F 的体积.

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 6 分. 在△ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c,且 A, B, C 成等差数列. ( 1)若 AB ? BC ? ?3, 且 b ? 3 2 ,求 a ? c 的值; (2)若 M ?

??? ??? ? ?

2 sin C ,求 M 的取值范围. 1 sin A

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 6 分. 如图所示, ABCD 是一个矩形花坛,其中 AB= 6 米,AD = 4 米.现将矩形花坛 ABCD 扩建成一个更大的矩形花园 AMPN ,要求:B 在 AM 上,D 在 AN 上,对角线 MN 过 C 点, 且矩形 AMPN 的面积小于 150 平方米. (1)设 AN 长为 x 米,矩形 AMPN 的面 积为 S 平方米,试用解析式将 S 表示成 x 的函 数,并写出该函数的定义域;
[来源:Zxxk.Com]

(2)当 AN 的长度是多少时,矩形 AMPN 的面积最小?并求最小面积.
N

[来源:学#科#网]

P

D

C

A

B

M

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 题满分 6 分. 给定椭圆 C: 的 “准圆” .已知椭圆 C 的一个焦点为 F ( 2,0) ,其短轴的一个端点到点 F 的距离为 3 .

x2 y 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) ,称圆心在原点 O、半径是 a2 ? b2 的圆为椭圆 C 2 a b

(1)求椭圆 C 和其“准圆”的方程; (2)若点 A 是椭圆 C 的“准圆”与 x 轴正半轴的交点, B, D 是椭圆 C 上的两相异点, ??? ???? ? 且 BD ? x 轴,求 AB ? AD 的取值范围; (3)在椭圆 C 的“准圆”上任取一点 P ,过点 P 作直线 l1 , l2 ,使得 l1 , l2 与椭圆 C 都只 有一个交点,试判断 l1 , l2 是否垂直?并说明理由.

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 7 分,第 3 小题满分 8 分. 对于函数 y ? f ( x) 与常数 a , b ,若 f (2 x) ? af (x) ?b 恒成立,则称 ( a, b) 为函数 f (x) 的

2) a 一个 “P 数对” 若 f ( x ?f (x) b? 恒成立, ; 则称 ( a, b) 为函数 f (x) 的一个 “类 P 数对” 设 .
函数 f (x) 的定义域为 R ? ,且 f (1) ? 3 . (1)若 (1,1) 是 f ( x) 的一个“P 数对” ,求 f (2n )(n? N*) ; (2)若 (?2,0) 是 f ( x) 的一个“P 数对” ,且当 x ?[1,2) 时 f ( x) ? k ? 2 x ? 3 ,求 f ( x) 在 区间 [1, 2n ) (n ? N*) 上的最大值与最小值; (3)若 f ( x) 是增函数,且 (2, ?2) 是 f ( x) 的一个“类 P 数对” ,试比较下列各组中两个 式子的大小,并说明理由. ① f (2? n ) 与 2 ? n +2 (n ? N*) ;② f ( x) 与 2 x ? 2 ( x ? (0,1]) .
[来源:Zxxk.Com]

黄浦区 2012 学年度第一学期高三年级期终考试

数学试卷(理科)参考答案
一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 小题,考生应在答题卷相应编号的空格内 直接填写结果,每题填对得 4 分,否则一律得零分.

1 4 9 ; 4.3; 5.36; 6. ; 7. ?1; 8. ; 2 7 10 ? 16 1 9. (??,1] ; 10. ; 11. ; 12. (1, ) ; 13. 3 ? 2 3 ; 14. (?7,0) . 3 5 1? a
1. [2,3) ; 2.2; 3. 二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在 答题卷的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.A 16.D 17.B 18. C

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题卷相应的编号 规定区域内写出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. 解: (1)连 BD1 ,由 E 、 F 分别为线段 DD1 、 BD 的中点, 可得 EF ∥ BD1 ,故 ?D1 BC 即为异面直线 EF 与 BC 所成的角. 在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,∵ BC ? 平面 CDD1C1 , ???????2 分
D1 A1 E B1 C1

CD1 ? 平面 CDD1C1 ,∴ BC ? CD1 , ?
在 Rt △ BCD1 中, BC ? 2 , CD1 ? 2 2 , ∴ tan ?D1BC ?

D1C ? 2 ,∴ ?D1BC ? arctan 2 . BC
A

D F B

C

所以异面直线 EF 与 BC 所成的角为 arctan 2 .??? 6 分

(2)在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,由 BB1 ? 平面 ABCD , CF ? 平面 ABCD , ? 可知 BB1 ? CF ,∵ CB ? CD , F 是 BD 中点, ∴ CF ? BD ,又 BB1 与 BD 相交,∴ CF ? 平面 BDD1 B1 , ??????????9 分

1 1 B1D1 ? BB1 ? ? 2 2 ? 2 ? 2 2 , 2 2 1 1 4 故 VC ? B1D1F ? S?B1D1F ? CF ? ? 2 2 ? 2 ? , 3 3 3 4 所以三棱锥 C ? B1 D1 F 的体积为 . 3
又 S?B1D1F ? 解: (1)? A、B、C 成等差数列,∴ 2 B ? A ? C , 又 A ? B ? C ? ? ,∴ B ?

??????????????12 分

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 6 分.

?

3

, ①

??????????2 分 ?????????4 分

??? ??? ? ? 2? 由 AB ? BC ? ?3 得, c ? a cos ? ?3 ,∴ ac ? 6

3

又由余弦定理得 b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos ∴ 18 ? a 2 ? c 2 ? ac ,∴ a 2 ? c 2 ? 24 由①、②得, a ? c ? 6 (2)由(1)得 B ?

?
3

,
② ?????????6 分

?

3 2 sin C 2? 故M ? ? 2sin A ? sin C = 2sin( ? C ) ? sin C 1 sin A 3
? 2(

,∴ A ? C ? ? ? B ?

2? 2? ,即 A ? ?C, 3 3

??????????????8 分

???????????10 分

3 1 cos C ? sin C ) ? sin C = 3 cosC , ??????????12 分 2 2 2? 2? 1 由 A? ,∴ ? ? cos C ? 1 , ? C ? 0 且 C ? 0 ,可得 0 ? C ? 3 3 2 3 3 , 3) ,∴ M 的取值范围为 ( ? , 3) . 即 M ? (? ??????????14 分 2 2
21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 6 分. 解: (1)由△NDC∽△NAM,可得 ∴

DN DC , ? NA AM

N

P

x?4 6 6x C ,即 AM ? ,????????3 分 ? D x AM x?4 6x2 故 S ? AN ? AM ? , ?????????5 分 x?4 A M B 2 6x ? 150 且 x ? 4 ,可得 x 2 ? 25 x ? 100 ? 0 , 解得 5 ? x ? 20 , 由S ? x?4 6x2 故所求函数的解析式为 S ? ,定义域为 (5, 20) . ?????????????8 分 x?4
(2)令 x ? 4 ? t ,则由 x ? (5,20) ,可得 t ? (1,16) ,

6 x2 6(t ? 4) 2 16 ? ? 6(t ? ? 8) ??????????10 分 x?4 t t 16 ? 6(2 t ? ? 8) ? 96 , ? ?????????12 分 t 16 当且仅当 t ? ,即 t ? 4 时 S ? 96 .又 4 ? (1,16) ,故当 t ? 4 时, S 取最小值 96. t
故S ? 故当 AN 的长为 8 时,矩形 AMPN 的面积最小,最小面积为 96 平方米. ????14 分 22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. 解: (1)由题意知 c ? 2 ,且 a ? b2 ? c2 ? 3 ,可得 b ? 1 ,

x2 ? y 2 ? 1 ,其“准圆”方程为 x2 ? y 2 ? 4 . ??????4 分 3 m2 ? n2 ? 1, (2)由题意,可设 B(m, n), D(m, ?n) (? 3 ? m ? 3) ,则有 3 ??? ? ???? 又 A 点坐标为 (2,0) ,故 AB ? (m ? 2, n), AD ? (m ? 2, ?n) , ??? ???? ? m2 ) 故 AB ? AD ? (m ? 2) 2 ? n 2 ? m 2 ? 4m ? 4 ? (1 ? 3
故椭圆 C 的方程为

4 4 3 ? m2 ? 4m ? 3 ? (m ? )2 , 3 3 2 4 3 又 ? 3 ? m ? 3 ,故 (m ? )2 ?[0,7 ? 4 3) , 3 2 ??? ???? ? 所以 AB ? AD 的取值范围是 [0,7 ? 4 3) .
(3)设 P(s, t ) ,则 s 2 ? t 2 ? 4 .

??????????8 分

??????????10 分

当 s ? ? 3 时, t ? ? 1 ,则 l1 , l2 其中之一斜率不存在,另一斜率为 0,显然有 l1 ? l2 . 当 s ? ? 3 时,设过 P( s, t ) 且与椭圆有一个公共点的直线 l 的斜率为 k , 则 l 的方程为 y ? t ? k ( x ? s ) ,代入椭圆 C 方程可得

x2 ? 3[kx ? (t ? ks)2 ] ? 3 ,即 (3k 2 ? 1) x2 ? 6k (t ? ks) x ? 3(t ? ks)2 ? 3 ? 0 ,
由 ? ? 36k 2 (t ? ks)2 ? 4(3k 2 ? 1)[3(t ? ks)2 ? 3] ? 0 , 可得 (3 ? s 2 )k 2 ? 2stk ? 1 ? t 2 ? 0 ,其中 3 ? s 2 ? 0 , 设 l1 , l2 的斜率分别为 k1 , k2 ,则 k1 , k2 是上述方程的两个根, 1 ? t 2 1 ? (4 ? s 2 ) ? ? ?1 ,即 l1 ? l2 . 故 k1k 2 ? 3 ? s2 3 ? s2 综上可知,对于椭圆 C 上的任意点 P ,都有 l1 ? l2 . 小题满分 8 分. 解: (1)由题意知 f (2 x) ? f ( x) ? 1 恒成立,令 x ? 2k (k ? N*) , 可得 f (2k ?1 ) ? f (2k ) ? 1 ,∴ { f (2k )} 是公差为 1 的等差数列, 故 f (2n ) ? f (20 ) ? n ,又 f (20 ) ? 3 ,故 f (2n ) ? n ? 3 . ????????????3 分 (2)当 x ?[1,2) 时, f ( x) ? k ? | 2 x ? 3 | ,令 x ? 1 ,可得 f (1) ? k ? 1 ? 3 , 解得 k ? 4 ,即 x ?[1,2) 时, f ( x) ? 4? | 2 x ? 3 | , 故 f ( x) 在 [1, 2) 上的取值范围是 [3, 4] . 又 (?2,0) 是 f ( x) 的一个“P 数对” ,故 f (2 x) ? ?2 f ( x) 恒成立, 当 x ?[2k ?1 ,2k ) (k ? N*) 时, ?????????4 分 ?? ??????????16 分 ??????????13 分

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 7 分,第 3

x 2
k ?1

?[1,2) ,
???????6 分

x x x f ( x) ? ?2 f ( ) ? 4 f ( ) ? ? ? (?2)k ?1 f ( k ?1 ) , 2 4 2
故 k 为奇数时, f ( x) 在 [2k ?1 ,2k ) 上的取值范围是 [3 ? 2k ?1 ,2k ?1 ] ;

当 k 为偶数时, f ( x) 在 [2k ?1 ,2k ) 上的取值范围是 [?2k ?1 , ?3 ? 2k ?1 ] . ???????8 分 所以当 n ? 1 时, f ( x) 在 [1, 2n ) 上的最大值为 4 ,最小值为 3; 当 n 为不小于 3 的奇数时, f ( x) 在 [1, 2n ) 上的最大值为 2 n ?1 ,最小值为 ? 2 n ; 当 n 为不小于 2 的偶数时, f ( x) 在 [1, 2n ) 上的最大值为 2n ,最小值为 ?2 n?1 .???10 分 (3)由 (2, ?2) 是 f ( x) 的一个“类 P 数对” ,可知 f (2 x) ? 2 f ( x) ? 2 恒成立,

1 1 1 1 1 f (2 x) ? 1 恒成立,令 x ? k (k ? N*) ,可得 f ( k ) ? f ( k ?1 ) ? 1 , 2 2 2 2 2 1 1 1 即 f ( k ) ? 2 ? [ f ( k ?1 ) ? 2] 对一切 k ? N * 恒成立, 2 2 2
即 f ( x) ?
[来源:Z+xx+k.Com]

所以 f (

1 1 1 1 1 1 1 ) ? 2 ? [ f ( n?1 ) ? 2] ? [ f ( n?2 ) ? 2] ? ? ? n [ f (1) ? 2] ? n , n 2 2 2 4 2 2 2
?????????????14 分

故 f (2? n ) ? 2? n ? 2 (n ? N*) . 若 x ? (0,1] ,则必存在 n ? N * ,使得 x ? ( 由 f ( x) 是增函数,故 f ( x) ? f ( 又 2x ? 2 ? 2 ?

1 1 , ], 2n 2n?1

1 1 ) ? n?1 ? 2 , n ?1 2 2

1 1 ? 2 ? n?1 ? 2 ,故有 f ( x) ? 2 x ? 2 .?????????????18 分 n 2 2


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