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广西桂林市2014-2015学年高二数学上学期期末试卷


广西桂林市 2014-2015 学年高二上学期期末数学试卷(理科)
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.若实数 a,b,c,d 满足 a>b,c>d,则下列不等式成立的是( A. a﹣c>b﹣d B. a+c>b+d C. ac>bd ) D. >

2. (5 分)命题“对任意实数 x,都有 x>1”的否定是( ) A

. 对任意实数 x,都有 x<1 B. 不存在实数 x,使 x≤1 C. 对任意实数 x,都有 x≤1 D. 存在实数 x,使 x≤1 3.若 p 是真命题,q 是假命题,则( ) A. p∧q 是真命题 B. p∨q 是假命题 C. ﹁p 是真命题 D. ﹁q 是真命题 4.已知等差数列{an}中,a2+a3+a4+a5+a6=100,则 a1+a7 等于( ) A. 20 B. 30 C. 40 D. 50 5.设 a,b∈R,那么“ >1”是“a>b>0”的( )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6.△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 a=4,b=4 ,∠A=30°,那么∠B=( A. 30° B. 60° C. 120° D. 60°或 120°
2



7. 已知 F 是抛物线 y =x 的焦点, A, B 是该抛物线上的两点. 若线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 , 则|AF|+|BF|= ( A. 2 ) B. C. 3 D. 4

8.已知变量 x,y 满足约束条件

,则 z=2x+y 的最大值为(



A. 3

B. 4

C. 6

D. 8 ,A、B、C 成等差数列,则角 C=( D. 或 )

9.△ABC 中,已知 a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且 A. B. C. 或

10.给出下列命题: 2 2 ①“若 a <b ,则 a<b”的逆命题; ②“全等三角形面积相等”的否命题; ③“若方程 =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则实数 k 的取值范围是(1,2)”的逆否命题;

④“若 x(x≠0)为有理数,则 x 为无理数” 其中正确的命题的序号是( ) A. ③④ B. ①③ C. ①②

D. ②④

11.已知各项均为正数的等比数列{an}满足 a7=a6+2a5,若存在两项 am,an 使得 小值为( A. ) B. C. D.

的最

12.已知双曲线



=1,以右顶点为圆心,实半轴长为半径的圆被双曲线的一条渐近线分为弧长为 1: ) C. D.

2 的两部分,则双曲线的离心率为( A. B.

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) n 13.已知 Sn 是数列{an}的前 n 项和,若 Sn=2 +1,则 a3= . 2 2 14.双曲线 x ﹣my =1(m>0)的实轴长是虚轴长的 2 倍,则 m 的值为
2 2



15. 在圆 x +y =9 上任取一点 P, 过点 P 作 x 轴的垂线段 PD, D 为垂足, 若点 M 在线段 PD 上, 且满足 DM= DP, 则当点 P 在圆上运动时,点 M 的轨迹方程是 16.若关于 x 的不等式 .
*

≥0 对任意 n∈N 在 x∈(﹣∞,λ ]恒成立,则实常数 λ 的取值

范围是 . 三、解答题(共 6 小题,满分 70 分) 17. (10 分)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边 分别为 a,b,c,已知 b=3,c=8,角 A 为锐角,△ABC 的面 积为 6 . (1)求角 A 的大小; (2)求 a 的值.

18. (12 分)已知等差数列{an}满足 a3=5,a4﹣2a2=3,又等比数列{bn}中,b1=3 且公比 q=3. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)若 cn=an+bn,求数列{cn}的前 n 项和 Sn.

19. (12 分)给定两个命题,P:对任意实数 x 都有 ax +ax+1>0 恒成立;Q:关于 x 的方程 x ﹣x+a=0 有实 数根;如果 P 与 Q 中有且仅有一个为真命题,求实数 a 的取值范围.

2

2

20. (12 分)某公司今年 3 月欲抽调一批销售员推销 A 产品,根据过去的经验,每月 A 产品销售数量 y(万 件)与销售员的数量 x(人)之间的函数关系式为:y= (x>0) .

(1)若要求在该月 A 产品的销售量大于 10 万件,销售员的数量应在什么范围内? (2)在该月内,销售员数量为多少时,销售的数量最大?最大销售量为多少?(精确到 0.1 万件)

21. (12 分)已知数列{bn}(n∈N )是递增的等比数列,且 b1,b3 为方程 x ﹣5x+4=0 的两根. (Ⅰ)求数列{bn}的通项公式; (Ⅱ)若 an=log2bn+3,求证:数列{an}是等差数列; * (Ⅲ)若 cn=an?bn(n∈N ) ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn.

*

2

22. (12 分)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的离心率为 ,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆

与直线 x﹣y+ =0 相切,直线 l:x=my+4 与椭圆 C 相交于 A、B 两点. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)求 ? 的取值范围.

广西桂林市 2014-2015 学年高二上学期期末数学试卷(理科) 参考答案与试题解析
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.B. 2.D. 3. D. 4.C 5.B. 7.C. 8.C 9. D. 10.A. 11.A. 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.6. 14.4. 15. . 6.D. 12.B.

16. (﹣∞,﹣1].

三、解答题(共 6 小题,满分 70 分) 17.解答: 解: (1)∵S△ABC= bcsinA= ×3×8×sinA=6 ∴sinA= ,∵A 为锐角,∴A= . = =7. ,

(2)由余弦定理知 a=

18.解答: 解: (1) 设等差数列{an}的公差为 d, 则由题意得 所以,an=1+2(n﹣1)=2n﹣1, n 因为{bn}是以 b1=3 且公比 q=3 的等比数列,所以 bn=3 ; n (2)由(1)得 cn=an+bn=(2n﹣1)+3 , 则 Sn=1+3+5+?+(2n﹣1)+(3+3 +3 +?+3 )=
2 3 n

, 解得



+

=n +

2



19.解答: 解:对任意实数 x 都有 ax +ax+1>0 恒成立

2

?0≤a<4;

关于 x 的方程 x ﹣x+a=0 有实数根 如果 P 正确,且 Q 不正确,有 如果 Q 正确,且 P 不正确,有 所以实数 a 的取值范围为 20.解答: 解: (1)由条件可知
2

2

; ; . . >10,

整理得:x ﹣89x+1600<0.即(x﹣25) (x﹣64)<0,解得 25<x<64. 该月月饼的销售量不少于 10 万件,则销售员的数量应在(25,64) .

(2)依题意 y=

=



∵x+ ∴ymax=

≥2

=80,当且仅当 x=

,即 x=40 时,上式等号成立.

≈11.1(万件) .

∴当 x=40 时,销售的数量最大,最大销售量为 11.1 万件. 2 21.解答: (Ⅰ)解:∵b1,b3 为方程 x ﹣5x+4=0 的两根, * 数列{bn}(n∈N )是递增的等比数列, 2 解方程 x ﹣5x+4=0,得 x1=1,x2=4, ∴b1=1,b3=4,∴ ∴ . =n﹣1+3=n+2, =4,解得 q=2 或 q=﹣2(舍)

(Ⅱ)证明:∵an=log2bn+3=

∴数列{an}是首项为 3,公比为 1 的等差数列. n﹣1 (Ⅲ)解:cn=an?bn=(n+2)?2 , ∴
2 3 n

,①

2Tn=3?2+4?2 +5?2 +?+(n+2)?2 ,② 2 3 n﹣1 n ①﹣②,得:﹣Tn=3+2+2 +2 +?+2 ﹣(n+2)?2 =3+ =1﹣(n+1)?2 , ∴ .
n

22.解答: 解: (Ⅰ)由题意知
2

,∴
2

= ,



,又 b=

,解得 a =4,b =3,

∴椭圆方程为

. (4 分)

(Ⅱ)由

,得(3m +4)y +24my+36=0, (6 分)

2

2

由△>0 得(24m) ﹣4×36(3m +4)>0,解得 m >4, 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 , , (8 分)

2

2

2



=(m +1)y1y2+4m(y1+y2)+16

2

=
2 2

, (10 分)

∵m >4,∴3m +4>16,∴ ∴ ? 的取值范围是(﹣4, ) .




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