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2.2.2双曲线几何性质3


例1.若直线l : y ? kx ? 1与双曲线x ? y ? 4
2 2

只有1个公共点, 求k的值.
y ? kx ? 1 代入双曲线方程 x 2 ? y 2 ? 4 解:将直线 化简整理得 (1 ? k 2 ) x 2 ? 2kx ? 5 ? 0 (※)

注意:
不能忽视了1 ? k ? 0 , 即
2

l 与双曲线的渐近线

平行时, l与双曲线只有一个交点也符合

y 练 习 :已 知 双 曲 线 ? 1 x ? 1, 过 点P 4 的 直 线 与 双 曲 线 只 有 一 个 公 点, 则 l 共
2

2

直 线l共 有 _________ . 条 (1) P (1,1) ( 2) P (0,0) ( 3) P ( 2,1) (4) P ( 2,4)

y ? kx ? 1 与双曲线 x 2 ? y 2 ? 4 有 变题1: 若直线 两个相异公共点,求 k 的范围.

解:将直线 y ? kx ? 1 代入双曲线方程 x 2 ? y 2 ? 4 化简整理得 (1 ? k 2 ) x 2 ? 2kx ? 5 ? 0 (※)
1? k 2 ? 0

??0

5 5 解得 : ? ? k ? 且k ? ?1 2 2

k 的取值范围
5 5 5 (? ,?1) ? ( ?1, ) ? (1, ) 2 2 2

y ? kx ? 1 与双曲线 x 2 ? y 2 ? 4 的右 变题2: 若直线 支有两个相异公共点,求 k 的范围.
2 ?y ? 解:将直线 y ? kx ? 1 代入双曲线方程 xx2 - 2y24= 4 化简整理得 (1 ? k 2k2 )x22kx ? 5 ? 0 = (※) ) x 2 ? + 2kx- 5 0 (1-

? 1? k2 ? 0 ? 1? k ? 0 ? ? ? ??0 ??0 ? ?? ? ( x1 ? 2 ) ? ( x 2 ? 2 ) ? 0 ? x 1 ? x 2 ? 0 ? ? x1 x 2 ? 0 ? ( x1 ? 2)( x 2 ? 2) ? 0 ? ?
2

5 解得 1 ? k ? 2

注: 直线与 双曲线的右支 有两个交点,实际上给出了 方程 解的范围,涉及到二 次方程的根的分布问题.解 题时需要注意!

变题3: 若直线 y ? kx ? 1 与双曲线 x 2 ? y 2 ? 4 没 有公共点,求 k 的范围.

y ? kx ? 1 代入双曲线方程 x 2 ? y 2 ? 4 解:将直线 化简整理得 (1 ? k 2 ) x 2 ? 2kx ? 5 ? 0 (※) 1? k 2 ? 0

??0

例1.若直线l : y ? kx ? 1与双曲线x ? y ? 4
2 2

只有1个公共点, 求k的值.
变题1: 若直线 y ? kx ? 1 与双曲线 x 2 ? y 2 ? 4 有 两个相异公共点,求 k 的范围.

y ? kx ? 1 与双曲线 x 2 ? y 2 ? 4 的右 变题2: 若直线 支有两个相异公共点,求 k 的范围.
变题3: 若直线 y ? kx ? 1 与双曲线 x 2 ? y 2 ? 4 没 有公共点,求 k 的范围.

位置关系
Y

公共点个数 两个公共点 一个公共点

相交: 相切:
O X

相离:

0个公共点

特别的
Y

相交:一个公共点
O X

直线与双曲线的公共点从形上观察得出: 公共点个 数 两个公共点 一个公共点 0 个公共点

相交

相 切

相 交

相离

y 例2 :已知双曲线x ? ? 1与点P (1,2), 过P作直线l 2 与双曲线交于A, B两点, 若P为A, B中点.
2

2

(1)求直线AB的方程.

( 2)若P的坐标为(1,1), 这样的直线是否存在 , 如存在, 求直线方程, 若不存在, 说明理由.

x2 y2 ? 1 的右焦点F2,倾斜角 例3:如图所示,过双曲线 ? 3 6

为30°的直线交双曲线于A,B两点,求|AB|
y 设直线AB的方程为
3 y? ( x ? 3) 3

与双曲线方程联立消y得5x2+6x-27=0 设A、B的坐标为(x1,y1) 、(x2,y2),则
6 27 x1 ? x2 ? ? , x1 ? x2 ? ? 5 5 由弦长公式得

F1

O

A

B

F2 x

AB ? 1 ? k 2 x1 ? x 2 ? 1? k
2

16 ( x 1 ? x 2 ) ? 4x 1 x 2 ? 3 5
2

作业1:
1.若直线 : y ? k ( x ? 1)与双曲线 ? y ? 4 l x
2 2

有两个不同的交点 k的取值范围 ,求 .
2.双曲线x2-y2=1,过点(0,1)作直线,有几条 与双曲线只有一个交点?求直线方程。

3.点P(8,1)平分双曲线x2-4y2=4的一条弦AB,
求直线AB方程。 4.点P(1,1/2)平分双曲线x2-4y2=4的一条弦AB, 求直线AB方程。
5.已知双曲线3 x 2 ? y 2 ? 3,直线l过右焦点F2,且倾斜角为45?, 与双曲线交于A、B两点,试问A、B两点是否在双曲线同一 支上?并求弦AB的长。


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