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【优化方案】2012高中数学 第2章2.4.1等比数列的概念及通项公式课件 新人教A版必修5


2.4 等比数列 . 2.4.1 等比数列的概念及通项公式 .

学习目标 1.掌握等比数列的定义,理解等比中项的概念. 掌握等比数列的定义,理解等比中项的概念. 掌握等比数列的定义 2.掌握等比数列的通项公式及推导过程. .掌握等比数列的通项公式及推导过程. 3.能应用等比数列的定义及通项公式解决问题. .能应用等比数列的定义及通项公式解决问题.

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2. 4.1 等 比 数 列 的 概 念 及 通 项 公 式

课前自主学案

课堂互动讲练

知能优化训练

课前自主学案

温故夯基 1.如果一个数列从__________起,每一项与它 .如果一个数列从 第二项 起 的前一项的差都等于__________, 的前一项的差都等于 同一常数 ,那么这个数列 叫做等差数列. 叫做等差数列. a1+(n-1)d 是关 - 2.等差数列的通项公式:an=___________是关 .等差数列的通项公式: 的一次函数式(或常函数 于n的一次函数式 或常函数 . 的一次函数式 或常函数).

知新盖能 1.等比数列的定义 . 如果一个数列从______起 如果一个数列从 第2项 起,每一项与它的前一项 项 的比都等于___________, 的比都等于 同一常数 ,那么这个数列叫做等 比数列,这个常数叫做等比数列的 公比 , 比数列,这个常数叫做等比数列的_____,公比 通常用字母q(q≠0)表示. 表示. 通常用字母 表示

思考感悟 1.常数列一定为等比数列吗? .常数列一定为等比数列吗? 提示:不一定,当常数列为非零数列时, 提示:不一定,当常数列为非零数列时,此数列 为等比数列,否则不是. 为等比数列,否则不是.

2.等比数列的递推公式与通项公式 . 已知等比数列{a 的首项为 的首项为a 公比为q(q≠0),填 已知等比数列 n}的首项为 1,公比为 , 表:

递推公式 an = an-1 q(n≥2) ≥

通项公 式 an= - a1·qn-1 _______

3.等比中项 等比中项 如果在a与 中间插入一个数 中间插入一个数G, 如果在 与b中间插入一个数 ,使a,G,b成 , , 成 等比数列,那么 叫做 ________,那么G叫做 ,b的等比中项,这三个 叫做a, 的等比中项 的等比中项, 数满足关系式_________ 数满足关系式 G2=ab. 思考感悟 2.若G2=ab,则a,G,b一定成等比数列吗? . 一定成等比数列吗? , , , 一定成等比数列吗 提示:不一定, 提示:不一定,若a=G=b=0时,不满足. = = = 时 不满足.

课堂互动讲练

考点突破 等比数列的通项公式
- (1)在已知 1和q的前提下,利用公式 n=a1qn-1, 在已知a 的前提下, 在已知 的前提下 利用公式a

可求出等比数列中的任意一项. 可求出等比数列中的任意一项. (2)在通项公式中知道 1、q、n、an四个量中的任 在通项公式中知道a 在通项公式中知道 、 、 意三个,可求得另一个量. 意三个,可求得另一个量.

例1

下列各等比数列的通项公式: 求 下列各等比数列的通项公式: 关键是确定等比数列的首项和公比. 关键是确定等比数列的首项和公比.

(1)a1=3,a3=27;(2)a1=1,an+1=2an(n≥1). , ; , + . 【思路点拨】 思路点拨】 【解】 (1)a3=a1q2,∴q2=9,∴q=±3. , = - ∴an=a1qn-1=3×3n-1=3n × - - 或an=a1qn-1=3×(-3)n-1=(-1)n-13n. ×- - - - ∴an=3n或(-1)n-13n. - -

an+1 (2)由题意知 由题意知 =2(n≥1). ≥ . an 数列{a 是公比为 的等比数列, ∴数列 n}是公比为 2 的等比数列,且首项为 a1=1. - - - ∴通项公式为 an=a1qn 1=1×2n 1=2n 1. ×

等比中项

G b 由等比中项的定义可知: 由等比中项的定义可知 : a = G ? G2 = ab? G= ? = 这表明:只有同号的两项才有等比中项, ± ab.这表明:只有同号的两项才有等比中项,并 这表明 且这两项的等比中项有两个, 它们互为相反数. 且这两项的等比中项有两个, 它们互为相反数. 异 G 号的两数没有等比中项 反之, 有等比中项. 号的两数没有等比中项.反之,若 G =ab,则 a = ,
2

b ,即 a,G,b 成等比数列.所以 a,G,b 成等 , , 成等比数列. , , G 比数列? 比数列?G2=ab(ab≠0). ≠ .

求出下列等比数列中的未知项: 求出下列等比数列中的未知项: 1 (1)2,a,8;(2)-4,b,c, . , ; - , , , 2 思路点拨】 利用等比中项满足G 【思路点拨】 利用等比中项满足 2=ab.
例2

【 解】 (1)由题意得 a2=2×8, 由题意得 × , =-4. ∴a=4 或 a=- = =- ?b2=- =-4c ?b=2 ?b=0 ? = = (2)由题意得? 2 1 由题意得 ,解得? 或? =-1 =- = ?c = b ?c=- ?c=0 2 ?
?b=2 = (舍去 .∴? 舍去). . 舍去 =-1 =- ?c=-

等比数列的判定与证明

判断一个数列是等比数列的常用方法 (1)定义法 定义法 an+1 q(q 为常数且不为零 ?{an}为等比数列. 为常数且不为零)? 为等比数列. 为等比数列 an = (2)等比中项法 等比中项法 a2 +1=anan+2(n∈N*且 an≠0)?{an}为等比数列. 为等比数列. ∈ ? 为等比数列 n (3)通项公式法 通项公式法 n-1 an=a1q (a1≠0 且 q≠0)?{an}为等比数列. 为等比数列. ≠ ? 为等比数列

例3

已知数列{a 满足 满足a 已知数列 n}满足 1=1,an+1=2an+1. , +

(1)求证:数列{an+1}是等比数列; 求证:数列 是等比数列; 求证 是等比数列 (2)求数列 n}的通项公式. 求数列{a 的通项公式 的通项公式. 求数列 【思路点拨】 思路点拨】 将递推公式变形, 将递推公式变形,然后利用等比 数列的定义判定. 数列的定义判定. 证明: 【解】 (1)证明:因为 an+1=2an+1, 证明 , 所以 an+1+1=2(an+1). = . , ≠ , ≠ 由 a1=1,知 a1+1≠0,可得 an+1≠0. an+1+1 * 所以 =2(n∈N ). ∈ . an+1 所以数列{a 是等比数列. 所以数列 n+1}是等比数列. 是等比数列

(2)由(1)知, 由 知 {an+1}是以 1+1为首项,2为公比的等比数列. 是以a 为首项, 为公比的等比数列 为公比的等比数列. 是以 为首项
- 所以a 所以 n+1=2·2n-1=2n, =

即an=2n-1. 【名师点评】 已知数列的递推关系求通项公式 名师点评】 时,要先判断该数列是否为等差数列或等比数列, 要先判断该数列是否为等差数列或等比数列, 若是等差或等比数列, 若是等差或等比数列,则按等差或等比数列的通 项公式求解;若不是等差或等比数列, 项公式求解;若不是等差或等比数列,一般先将 递推公式变形,构造一个等差或等比数列, 递推公式变形,构造一个等差或等比数列,从而 求出通项公式. 求出通项公式.

1 已知数列{a 的前 变式训练 已知数列 n}的前 n 项和为 Sn,Sn= 3 (an-1)(n∈N*). ∈ . (1)求 a1,a2; 求 (2)求证:数列 n}是等比数列. 求证: 是等比数列. 求证 数列{a 是等比数列 1 解:(1)由 S1= (a1-1), 由 , 3 1 1 得 a1= (a1-1),∴a1=- . , 3 2 1 又 S2= (a2-1), , 3 1 1 即 a1+a2= (a2-1),得 a2= . , 3 4

(2)证明:当 n≥2 时, 证明: 证明 ≥ 1 1 由 an=Sn-Sn-1= (an-1)- (an-1-1), - , 3 3 an 1 a2 1 得 =- ,又 =- , 2 a1 2 an - 1 1 1 所以{a 是首项为 是首项为- 公比为- 所以 n}是首项为- , 公比为- 的等 2 2 比数列. 比数列.

方法感悟 1.对等比数列定义的理解应注意 . (1)注意定义中 从第2项起 这一条件的两层含 注意定义中“从第 项起”这一条件的两层含 注意定义中 从第 项起 其一, 项前面没有项, 义.其一,第1项前面没有项,无法与后续条件中 项前面没有项 与前一项的比”相吻合 的“与前一项的比 相吻合;其二,等比数列的定 与前一项的比 相吻合;其二, 义包括了首项这一基本量,且必须从第2项起使数 义包括了首项这一基本量,且必须从第 项起使数 列中各项均与其前面一项作商. 列中各项均与其前面一项作商. (2)注意定义中 每一项与它的前一项的比”这一运 注意定义中“每一项与它的前一项的比 这一运 注意定义中 每一项与它的前一项的比 算要求,它的含义也有两个.其一, 算要求,它的含义也有两个.其一,强调作商的 顺序,即后面的项比前面的项;第二, 顺序,即后面的项比前面的项;第二,强调这两 项必须相邻. 项必须相邻. (3)注意定义中的 同一常数 这一要求,否则这个 注意定义中的“同一常数 这一要求, 注意定义中的 同一常数”这一要求 数列不能称为等比数列. 数列不能称为等比数列.

2.用函数的观点看等比数列的通项公式 . - 等比数列{a 的通项公式 等比数列 n}的通项公式 an=a1qn 1, 还可以改写 a1 n 当 > , ≠ = 为 an= q q .当 q>0,且 q≠1 时,y=qx 是一个指 a1 n 数函数, 数函数,而 y= q ·q 是一个不为 0 的常数与指数 = 函数的积.因此等比数列{a 的图象是函数 = 函数的积.因此等比数列 n}的图象是函数 y= a1 x ·q 图象上的一些孤立的点. 图象上的一些孤立的点. q


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