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江苏省南京师大附中2015届高三数学模拟考试试卷1


2015 高考数学模拟题(1)
南师大《数学之友》
一. 填空题
1. 在 ?ABC 中,已知 AC ? 2 , BC ? 3 , cos A ? ?

4 ? ,则 sin( 2 B ? ) ? 5 6



.

2.已知中心为 O 的正方形 ABCD 的边长为 2,点 M 、 N 分别为线段 BC 、 CD 上的两个 不同点,若 MN ? 1 ,则 OM ? ON 的取值范围是 ▲ .

x 2 3. 若函数 f(x)= 2 (a>0)在[1,+∞)上的最大值为 ,则 a 的值为___▲_____. x +a 2 4.设 x 、y 均为正实数,且

3 3 ? ? 1 ,以点 ( x, y ) 为圆心, R ? xy 为半径的圆的 2? x 2? y
▲ .

面积最小时圆的标准方程为

?ab, ab ? 0 ? 5. 任给实数 a , b ,定义 a ? b ? ? a ,设函数 f ( x) ? ln x ? x . ?an ? 是公比大于 0 的 , ab ? 0 ? ?b
等比数列,且 a5 ? 1 , f ?a1 ? ? f ?a2 ? ? f ?a3 ? ? ? ? f ?a7 ? ? f ?a8 ? ? a1 ,则 a1 ? ▲ .

6. 已知函数 f ? x ? ? x ? 1 ? 1 ,如果关于 x 的方程 f ?x ? ? m ?m ? R? 恰有 4 个互不相等的实 数根 x1 , x2 , x3 , x4 ,则 x1 x2 x3 x4 的取值范围是 ▲ .

二、解答题
7. 某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示的抛物线一段.已知跳水板 AB 长 为 2 m ,跳水板距水面 CD 的高 BC 为 3m, CE ? 5m , CF ? 6 m .为安全和空中姿态优美, 训练时跳水曲线应在离起跳点 A 处水平距 h m( h ? 1 )时达到距水面最大高度 4m.规定: 以 CD 为横轴,BC 为纵轴建立直角坐标系. (1)当 h=1 时,求跳水曲线所在的抛物线方程; (2)若跳水运动员在区域 EF 内入水时才能达到压水花的训练 要求,求达到压水花的训练要求时,h 的取值范围.
3 2 2+h

B

A

C
5 6 m m m m

E ·

F ·

D

8. 已知椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,点 A、B 分别是椭圆 C 的左顶点和上顶点,直线 a 2 b2 c2 ( c 是椭圆的半焦距)相离,P 是直线 AB 上一动点,过点 P 4

2 2 AB 与圆 G: x ? y ?

作圆 G 的两切线,切点分别为 M、N. (1)若椭圆 C 经过点 (1,

5 4 2 ,求椭圆 C 的方程; ) ,离心率 e ? 3 3

(2)若存在点 P 使得△PMN 为正三角形,试求椭圆离心率 e 的取值范围.

9. 已知等比数列 {a n } 的首项 a1 ? 2015,公比 q ? ? (1)证明: S2 ? Sn ? S1 ;

1 ,数列 {a n } 前 n 项和记为 S n . 2

(2)证明:若数列 {a n } 中的任意相邻三项按从小到大排列,则总可以使其成等差数列;若 所有这些等差数列的公差按从大到小的顺序依次记为 d1 , d 2 ,?, d n ,则数列 {d n } 为等 比数列.

10.对于函数 y ? f ( x) ,若存在开区间 D ,同时满足: ①存在 a ? D ,当 x ? a 时,函数 f ( x) 单调递减,当 x ? a 时,函数 f ( x) 单调递增; ②对任意 x ? 0 ,只要 a ? x, a ? x ? D ,都有 f (a ? x) ? f (a ? x) . 则称 y ? f ( x) 为 D 内的“勾函数” . (1)证明:函数 y ? ln x 为 (0,??) 内的“勾函数” . (2)对于给定常数 ? ,是否存在 m ,使函数 h( x) ?

1 3 1 2 2 ?x ? ? x ? 2?3 x ? 1 在 (m,??) 3 2

内为“勾函数”?若存在,试求出 m 的取值范围,若不存在,说明理由.

理科加试
11. 如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, ?BAC ? 90? , AB ? AC ? AA1 ? 2 , E 是 BC 的中点. (1)若棱 AA1 上存在一点 M ,满足 B1M ? C1 E ,求 AM 的长; (2)求平面 AEC1 与平面 ABB1 A1 所成锐二面角的余弦值.

A1 B1 A B E

C1

C

12.在数列 {a n } 和 {bn } 中, an ? a , bn ? (a ? 1)n ? b , n ? 1,2,3,?,其中 a ? 2 且 a ? N ,
n
*

b ? R .设 A ? {a1 , a2 , a3 ,?} , B ? {b1 , b2 , b3 ,?} ,试问在区间 [1, a] 上是否存在实数 b 使
得 C ? A ? B ? ? .若存在,求出 b 的一切可能的取值及相应的集合 C ;若不存在,试说明 理由.

参考答案 一、填空题
1. 答案:

12 7 ? 17 . 50
2

解:在 ?ABC 中, sin A ? 1 ? cos A ? 1 ? (? ) ?
2

4 5

3 . 5

BC AC AC 2 3 2 ? , 所以 sin B ? ? sin A ? ? ? . sin A sin B BC 3 5 5 4 又因为 cos A ? ? ,所以 ? A 为钝角,从而 ? B 为锐角, 5
由正弦定理, 于是 cos B ? 1 ? sin B ? 1 ? ( ) ?
2 2

2 5

21 , 5

cos 2 B ? 2 cos2 B ? 1 ? 2 ? (

21 2 17 ) ?1 ? , 5 25

2 21 4 sin 2 B ? 2 sin B cos B ? 2 ? ? ? 21. 5 5 25

? ? ? 4 21 3 17 1 12 7 ? 17 sin (2 B ? ) ? sin 2 B cos ? cos 2 B sin ? ? ? ? ? . 6 6 6 25 2 25 2 50
2 . 2. 答案: ? ?2 ? 2,
解:以 O 为原点,平行于 AB 的直线为 x 轴作平面直角坐标系(如图 1) ,不妨设 M (1, y) 、
2 2 ? ?( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 1 N ( x,1) .由题意知 MN ? 1 ,故 ? ,其中 0 ? x ? 1 , 0 ? y ? 1 . ? ON ? OM ? x ? y ? 1 在 圆 PRQ 中找一点 ( x, y ) 使 x ? y 取最大最小.设目标函数为 z ? x ? y . 4 1 ①由图 2 可知, 当直线 x ? y ? z ? 0 与在 圆 PRQ 相切于点 R 时,z 取得最小值, 即x ? y, 4

?

得 2( x ? 1) 2 ? 1 , ( x ? 1) ?
2

1 2 ?1. ,由于 0 ? x ? 1 ,故 x ? ? 2 2

因此 z min ? 2(?

2 ? 1) ? 2 ? 2 . 2

?由图 2 可知,当直线 x ? y ? z ? 0 经过点 C 时,即 x ? y ? 1 , z 取得最大值,最大值为

z ? 1 ? 1 ? 2 ,但是由题意知 M 、 N 是两个不同点,故最大值 2 取不到.
???? ? ???? 2 . 综上可得, OM ? ON 的取值范围是 ? ?2 ? 2,

?

图 1 3. 答案: 2 ? 1 . x 1 解:f (x)= 2 = (x≥1), a x +a x+ x 当 a≥1 时,f (x)的最大值为 1 2 a =

图 2

1 2 ,得 a= <1(舍去); 2 2

当 0<a<1 时,f (x)的在[1,+∞)上单调递减,其最大值为

2 1 = ,得 a= 2 ? 1 . 1+a 2

所以 a 的值为
2

2 ?1 .
2

4. 答案: ( x ? 4) ? ( y ? 4) ? 256. 解:由 2 ? x ? 2 ? y ? 1 得: x ? y ? 1 .

3

3

8? y

? xy ?

y2 ? 8y z ? y ? 1 ,则 y ? z ? 1 . y ? 1 .令

z 2 ? 2 z ? 1 ? 8z ? 8 ? xy ? z ? z 2 ? 10z ? 9 ? 9? ? ? z ? ? ? 10 . z z? ?

?z ?

9 9 9 ? 2 z ? ? 6 ,当且仅当 z ? 时,等号成立. z z z

此时 xy 最小,即圆的面积最小,此时 z ? 3 , y ? 4 , x ? 4 ,

? 圆的标准方程: ( x ? 4) 2 ? ( y ? 4) 2 ? 256.
5. 答案: e . 解: f (a5 ) ? f (1) ? 0 ,设数列 ?an ? 公比为 q ,

f (a5?i ) ? f (a5?i ) ? f (

1 ) ? f (q i ) ? 0 , qi

所以 f (a2 ) ? f (a8 ) ? f (a3 ) ? f (a7 ) ? f (a4 ) ? f (a6 ) ? 0 , 因此 f (a1 ) ? a1 . 当 a1 ? 1 时, ln a1 ? a1 ? a1 , a1 ? e , 当 a1 ? 1 时,

ln a1 ? a1 无解. a1

6. 答案: ?? 3,0? . 解:函数 f ( x ) ? x ? 1 ? 1 的图像如右图所示: 由图可知,若 f ?x ? ? m 的四个互不相等的实数根,则

m ? ?0,1? ,且 x1 , x2 , x3 , x4 分别为: x1 ? m , x2 ? 2 ? m , x3 ? m ? 2 , x4 ? ?m ,
所以, x1 x2 x3 x4 ? ?m ?2 ? m??m ? 2?
2

? m 2 ? 2 ? 4 ? ?? 3,0? .
2

?

?

2+h 2

二、解答题
7.解:由题意可知最高点为 (2 ? h,4)(h ? 1) .
3

B

A

可设抛物线方程为 y ? a[ x ? (2 ? h)] ? 4 .
2

C (1)当 h ? 1 时,最高点为 (3,4) ,方程为 y ? a( x ? 3) ? 4 .
2

5

E ·
6 m m m m

F ·

D

将 A(2,3) 代入,得抛物线方程为 y ? ? x 2 ? 6 x ? 5 . (2)将点 A(2,3) 代入 y ? a[ x ? (2 ? h)]2 ? 4 ,得 ah ? ?1 .
2

由题意,得方程 a[ x ? (2 ? h)]2 ? 4 ? 0 在区间 [5,6] 内有一解. 令 f (x) ? a[ x ? (2 ? h)]2 ? 4 ? ?

1 1 2 [ x ? (2 ? h)]2 ? 4 ,则 f (5) ? ? 2 (3 ? h) ? 4 ? 0 ,且 2 h h

f (6) ? ?

4 1 (4 ? h)2 ? 4 ? 0 ,解得 1 ? h ? . 2 h 3
4 3

所以要达到压水花的训练要求 h 的取值范围为 [1, ] .

8. 解: (1)椭圆为

x2 y2 ? ? 1. 9 4
2 2

(2)由直线 AB 与圆 G: x ? y ?

c2 ( c 是椭圆的焦半距)相离, 4



ab a 2 ? b2

?

c 2 2 2 2 2 ,即 4a b ? c (a ? b ) , 4a2 (a2 ? c2 ) ? c2 (2a2 ? c2 ) , 2
2

4 2 得 e ? 6e ? 4 ? 0 因为 0 ? e ? 1 , 所以 0 ? e ? 3 ? 5 ,①

连接 ON , OM , OP, 若存在点 P 使 ?PMN 为正三角形,则在 Rt ?OPN 中,

OP ? 2ON ? 2r ? c ,所以,点 O 到直线 AB 的距离不大于 c 即

ab a 2 ? b2

? c,

2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 ∴ a b ? c (a ? b ) , a (a ? c ) ? c (2a ? c ) ,得 e ? 3e ? 1 ? 0

因为 0 ? e ? 1 ,所以

3? 5 ? e 2 ? 1 ,② 2

由①②,

3? 5 5 ?1 10 ? 2 ?e? . ? e2 ? 3 ? 5 ,所以 2 2 2

1 a2 [1 ? (? )n ?1 ] 1 1 2 9.(1)证明: Sn ? S1 ? ? S1 ? a1[1 ? (? )n ?1 ] ? S1 ,当 n ? 1 时,等号成立. 1 3 2 1 ? (? ) 2 1 a3 [1 ? (? )n ? 2 ] 1 1 2 Sn ? S2 ? ? S2 ? a1[1 ? (? )n ? 2 ] ? S2 ,当 n ? 2 时,等号成立. 1 6 2 1 ? (? ) 2

? S2 ? Sn ? S1 .
(2)证明:? an ? 2015 ( ? ) 均负. ?当 k 是奇数时, {a n } 中的任意相邻三项按从小到大排列为 ak ?1 , ak ? 2 , a k , 则 ak ?1 ? ak ? a1 (? ) ? a1 (? )
k

1 2

n ?1

,? an 随 n 增大而减小, a n 奇数项均正,偶数项

1 2

1 2

k ?1

?

1 k ?1 a a1 , 2ak ? 2 ? 2a1 (? ) ? 1 , k 2 2k 2

? ak ?1 ? ak ? 2ak ? 2 ,因此 ak ?1 , ak ?2 , ak 成等差数列,
公差 d k ? ak ? 2 ? ak ?1 ? a1[( ? )

1 2

k ?1

1 3a ? (? ) k ] ? k ?11 . 2 2

?当 k 是偶数时,设 {a n } 中的任意相邻三项按从小到大排列为 a k , ak ? 2 , ak ?1 ,

a a 1 1 1 则 ak ?1 ? ak ? a1 (? )k ? a1 (? )k ?1 ? ? 1 , 2ak ? 2 ? 2a1 (? )k ?1 ? ? 1 , k 2 2k 2 2 2

? ak ?1 ? ak ? 2ak ? 2 ,因此 ak ?1 , ak ?2 , ak 成等差数列,
3a 1 1 公差 dk ? ak ? 2 ? ak ? a1[(? )k ?1 ? (? )k ?1 ] ? k ?11 . 2 2 2
综上可知, {a n } 中的任意相邻三项按从小到大排列,总可以使其成等差数列,且

dk ?

3a1 d 1 ,? n ?1 ? ,? 数列 {d n } 为等比数列. k ?1 2 dn 2

10. 证明: (1)①存在 a ? 1 ,当 x ? (0,1), f ( x) ? ? ln x 为减函数, 当 x ? (1,??), f ( x) ? ln x 为增函数; ②对任意 x ? 0 ,当 1 ? x ? 0 时, f (1 ? x) ? ln( 1 ? x) ? ? ln(1 ? x),

f (1 ? x) ? ln(1 ? x) ? ln(1 ? x).
所以 f (1 ? x) ? f (1 ? x) ? ? ln( 1 ? x) ? ln(1 ? x) ? ? ln(1 ? x ) ? 0,
2

即 f (1 ? x) ? f (1 ? x). 所以函数 y ? ln x 为 (0,??) 内的“勾函数” . (2)①当 ? ? 0 时, h( x ) ? 1 ,不存在 m 使函数 h( x) 在 ( m,??) 内为“勾函数” ;
' 2 2 3 ②当 ? ? 0 时, h ( x) ? ?x ? ? x ? 2? ? ? ( x ? ? )(x ? 2? ).

当 x ? (2? ,?? ) 时, h ' ( x) ? 0 , h( x) 为增函数; 当 x ? (?? ,??) 时, h ' ( x) ? 0 , h( x) 为减函数, 因此不存在 m 及常数 x 0 ,使函数 h( x) 在 (m, x0 ) 为减函数,同时在 ( x0 ,??) 为增函数. 所以不存在 m 使函数 h( x) 在 ( m,??) 内为“勾函数”. ③当 ? ? 0 时, h( x) 在 (?? ,2? ) 为减函数,在 (2? ,??) 为增函数. 当 m ? [?? ,2? ) , 则在 ( m,??) 上存在 a ? 2? , 使 h( x) 在 ( m, a ) 内为减函数, 在 (a,??) 内为增函数. 当 x ? 0 , a ? x, a ? x ? (m,??) 时, 因为 h(a ? x) ? h(a ? x)

1 1 ? ?[( 2? ? x)3 ? (2? ? x)3 ] ? ?2 [( 2? ? x) 2 ? (2? ? x) 2 ] ? 2?3 [( 2? ? x) ? (2? ? x)] 3 2 2 3 ? ? ?x ? 0. 所以 h(a ? x) ? h(a ? x) . 3
所以也不存在 m 使函数 h( x) 在 ( m,??) 内为“勾函数”. 综上所述,不论常数 ? 取何值,都不存在 m ,使函数 h( x) 在 ( m,??) 内为“勾函数”.

理科加试
11. 解: (1)如图,建立直角坐标系. 则 A1 (0, 0, 2) , B (2, 0, 0) , B1 (2,0, 2) , C (0, 2,0) ,
C1 ( 0 , 2 , , 2E ) (1,1, 0) , M (0, 0, m) ,

z A1 B1 A E y B C1

???? ? ????? B1 M = (?2, 0, m ? 2) , C1 E = ?1,?1,?2? .

M C

x

因为 B1M ? C1 E ,所以 B1 M ? C1 E = ?2 ? 2(m ? 2) =0. 解得 m ? 1 所以 AM ? 1 . ??? ? ???? ? (2) AE = (1,1, 0) , AC1 ? (0, 2, 2) ,

? 设平面 AEC1 的法向量 n = ( x, y, z ) ,

? ??? ? ? ?n ? AE ? x ? y ? 0 ? 则: ? ? ???? ,令 y ? ?1 ,则 x ? 1, z ? 1 . n ? (1, ?1,1) . ? ? ?n ? AC1 ? 2 y ? 2 z ? 0

因为 AA1 ? AC , BA ? AC ,所以 AC ? 平面 ABB1 A1 ,
???? ???? AC 为平面 ABB1 A1 的法向量, AC = (0, 2, 0) .

???? ? ???? ? ?2 AC ? n 3 cos ? A C ,n ? = ???? ? = =? . 3 AC ? n 2 3

所以平面 AEC1 与平面 ABB1 A1 所成锐二面角的余弦值为

3 . 3

12.解:设存在实数 b ? [1, a] ,使 C ? A ? B ? ? ,设 m0 ? C ,则 m0 ? A ,且 m0 ? B . 设 m0 ? at (t ? N * ) , m0 ? (a ? 1)S ? b(S ? N * ) ,则 at ? (a ? 1)S ? b ,所以 S ?
t * 因为 a, t , s ? N ,且 a ? 2 ,所以 a ? b 能被 a ? 1 整除.

at ? b , a ?1

? 当 t ? 1时,因为 b ? [1, a] , a ? b ?[0, a ? 1] ,所以 S ?
*

a ?b ? N*; a ?1

1 ? 当 t ? 2n(n ? N ) 时, a 2n ? b ? [(a ? 1) ?1]2n ? b ? (a ? 1)2n ? ? ? C2 ) ?1? b , n (a ? 1

由于 b ? [1, a] ,所以 b ? 1? [0, a ? 1] , 0 ? b ? 1 ? a ? 1 ,
t 所以,当且仅当 b ? 1 时, a ? b 能被 a ? 1 整除.
1 ? 当 t ? 2n ? 1(n ? N * ) 时, a2n?1 ? b ? [(a ? 1) ? 1]2n?1 ? b ? (a ? 1)2n?1 ? ? ? C2 n ?1 (a ? 1) ? 1 ? b ,

由于 b ? [1, a] ,所以 b ? 1? [2, a ? 1] ,
t 所以,当且仅当 b ? 1 ? a ? 1 ,即 b ? a 时, a ? b 能被 a ? 1 整除.

综上,在区间 [1, a] 上存在实数 b ,使 C ? A ? B ? ? 成立.
2n * 当 b ? 1 时, C ? { y y ? a , n ? N } ;

当 b ? a 时, C ? {y y ? a2n?1 , n ? N *} .


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