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6.2(1-2)正弦(余弦)和正切函数的图像与性质(习题课)


(二期课改)

*(一)三角函数的定义及相关性质.
* 正弦函数 : y = sinx , x ? R ,y ? ?- 1, ?); ( 1

--(奇函数);
Tmin = 2π;

? ? π * 当 x ? ? x x ? 2k π ? ,k ? Z ? 时, 有 y max ? 1; 2 ? ?

? ? π * 当 x ? ? x x ? 2k π ? ,k ? Z ? 时, 有 y min ? ? 1 . 2 ? ?

*递增区间为: *递减区间为:

π π? ? 2k ( ? 2k π ? 2 , π ? 2 ? , k ? Z ); ? ?
π 3π ? ? 2k ( ? 2k π ? 2 , π ? 2 ? , k ? Z ). ? ?

*(一)三角函数的定义及相关性质.
* 余弦函数 : y = cosx , x ? R ,y ? ?- 1, ?); ( 1
* 当 x ? ?x x ? 2k π ,k ? Z ? 时, 有 y min ? 1; * 当 x ? ?x x ? 2k π ? π ,k ? Z ? 时, 有 y min ? ? 1 .

--(偶函数);
Tmin = 2π;

*递增区间为: *递减区间为:

?2k π ? π ,2k π ?, k ? Z ); ( ?2k π ,2k π ? π ?, k ? Z ). (
π 2 ),k ∈ Z ,y ? R;

* 正切函数 : y = tanx , x ? kπ + (

--(奇函数);
Tmin = π .

*递增区间为: ( kπ -

π 2

,kπ ?

π 2

), k ? Z ). (

*2.三角函数的最值,周期或单调区间的基本求法: (1)解决问题的前提在于利用三角公式把复杂的三角函 数 的解析式转化为最简单的形式:
y = Asin( ω x + ? ) y = Acos( ω x + ? )
2π ω

y = Atan( ω x + ? )
π ω

(2)三角函数周期公式:

T =

T =

(3)求三角函数的最值,周期或单调区间时,一般可利用变 量代换的方法解题,应注意结果的集合表示法. *3.正弦(余弦)函数的图像特征,及利用“五点法”作三角 函数 图像的具体步骤.

*典型问题的分析与讲解* --(基础型问题)-*例题1: 试求出下列函数的定义域,周期,最值及其相应x的 集合,单调区间.
(1).f( x ) = (2).f( x ) = 2 6 sinx + 2 cosx ;
2

3 sinx ? cosx + 2cos
π 3 x 2 ).

x - 1.

(3).f( x ) = 3tan (

*解法总结: 熟练运用三角公式合理化简函数解析式,牢记 最简三角函数的基本性质,利用代换法求解.

*例题2: 试证明下列三角函数的奇偶性.
(1).y = sin x + 2cosx ;
2

(2).y = sinx + cosx ;
(3).y = cosx - cosx ? sinx 1 - sinx .

*解法总结: 判断函数的奇偶性时,应根据奇偶函数的定义严 格论证,应注意证明的步骤与规范性.

*例题3: 利用三角函数单调性,比较下列各组三角比的大小.
15 8 7 6 27 7 6 7 24 5

(1).sin

π 与 sin(-

π );

(2).cos

π 与 cos (-

π );

(3).sin

π 与 cos

25 18

π.

*解法总结: 应注意先用三角比的诱导公式进行“同名三角比” 和“同单调区间”的转化,必要时可把两个三角比都 化为锐角的三角比,然后进行比较.

作出函数 y = cosx + 1 ,x ∈ ?- π ,π ? 上的大致图像, *例题4:
2

并根据所作图像得出使得 y ? 0 时 x 的取值范围.

*解法总结:

利用“五点法”作三角函数大致图像的具体步 骤:
①列表、描点; ②利用基准线连线成泡状波形曲线.

--(能力型问题)-*例题5: 试求函数 f( x ) =
cos2x + sin2x cos2x - sin2x

的最小正周期.

*解法探究: (1)易知π也是f(x)的周期,但并不能就此得出f(x) 的最小正周期就是π; (2)一般而言,在探求三角函数的最小正周期时,首 先要把三角函数的解析式化为形如:
y = Asin( ω x + ? ) y = Acos( ω x + ? ) y = Atan( ω x + ? )

最后利用公式求得所求函数的最小正周期.

*例题6: 在△ABC中,若已知:

1 2

< sinA <

2 2

, < cosB < 0

1 2

.

求证:△ABC是锐角三角形.

*解法探究: 本题是利用正(余)弦函数的单调性,并根据

题中具体的已知条件, 分别判断出角 A 和 B 的
允许范围,进而得出角 C 的范围,最终得出结论.

*例题7:

若函数 f( x ) = sin( x + ? ), 0 ≤? ≤π ) 是R上的 ( 一个偶函数,求出角 ? 的值.

*解法探究:

(解法1)本题可根据偶函数定义结合三角比的相关知识,
采用特值(
π 2

)代入法求解,但应注意对所得结

果检验的必要性. (解法2)本题也可根据正弦函数的图像直接观察,利用

平移法求解,但应注意所求角的允许范围.

*例题8: 已知函数

f( x ) ?

? π? 3 asin2x ? acos2x - 2a - b ,x ? ? 0 , ? . ? 2?

问是否存在实数a和b,使得函数f(x)的值域为[-5,1]? 并证明你的结论.

*说明:

本题是一个存在性问题.可先假设存在题设所述的 结论,再根据题设条件设法找到符合题意的具体结果; 或是通过论证得出矛盾的结论,从而否定假设.

*解题策略: ①利用辅助角公式将f(x)化为一个三角比的形式; ②根据已知角的范围得出角 ( 2x 数在此范围内的单调性求得
) 的范围,并结合函 6 π sin( 2x + ) 的值域; 6 + π

③根据a的取值进行讨论,得出函数f(x)的值域,并与题 设“值域为[-5,1]”进行比较,得出结果.

π *例题9: 求函数 y ? ( sinx ? 2 )( cosx ? 2 ),x ? ? 0 , ? . ? ? ? 2?

的最大值与最小值. *解题策略: 可展开函数解析式,运用换元法把sinx+cosx与sinxcosx 都用“t”来表示,得到一个关于 t 的二次函数,将问题转 化为一个二次函数在闭区间上的最值问题. 应注意的是,换元后变量 t 的范围不是R,而是由x的取 值和关系式 t=sinx+cosx所决定的. *解法总结: 本题运用换元法,把三角函数转化为二次函数.其关键 是利用了sinx+cosx与sinxcosx之间的数量关系; 应特别注意的是转化前后自变量在变化的同时自变量 的定义域也会随之而改变.

*重视基础知识,体会数性结合;

*整理典型例题,感悟基本解法;

*回顾阶段知识,反思学习遗漏.

--(补充练习一)-(1)判断下列函数的奇偶性,并说明理由.
(1) f( x ) ? sinx x (3)f( x ) ? x ? sinx ; (4) f( x ) ? 1 ? sinx ? cosx 1 ? sinx ? cosx . ? cosx ; (2) f( x ) ? x ? sin x;
2 3

(2)下列命题中正确的是------------------------(

)

(A)y=cosx在第一、第四象限内是增函数; (B)y=sinx在第一、第三象限内是减函数;
? π π? (C)y=cosx在 ? ? , ? ? 2 2?

上是减函数;

(D)y=sinx在

? π π? ? ? 2 , 2 ? 上是增函数. ? ?

(3)若y=f(x)sinx是周期为π的奇函数,者f(x)就可以是-( (A)sinx ;(B)cosx ;(C)sin2x ;(D)cos2x .
π 3

)

(4)求出可使函数y=cosx+cos(x+ )取得最大和最小值的x的 集合,并求出最大值与最小值. (5)试求出函数 y ? 3sin ( (6)当a为何值时,cosx ?
π 3
3a ? 1 a?3

? 2x ) 的单调递增区间.

有意义?
3 2

(7)已知函数y=a+bsinx的最大值为 的解析式. (8)求函数 y ?
sinx ? 1 16 ? x
2

,最小值为 ? ,求函数
2

1

的定义域.

--(补充练习二)-(1)若函数 f( x ) ?
4sin ( kx 3 ? π 4 ) 的最小正周期 T ? ( 2 3 , ),试求 3 4

正整数k的值.
(2)若已知
x ? π 4

,求函数 f( x ) ? cos

2

x ? sinx

的最小值.

(3)若已知函数 f( x ) ? asinx
f( π 6 )? 3

? bcosx , ( ? 0 ),最大值为2,且有 ( ab

,求

f(

π 3

)

的值.
在其两个周期内的大致图像.

(4)试作出函数

f( x ) ?

sin2x cosx

(5)求函数 y ? log 1 cos ( x ?
2

1

π 4

) 的周期和单调区间.

3

(6)作出下列函数在 x ? ?0 ,2 π ? 的大致图像.
(1).y ? sinx , (2).y ? sinx , (3).y ? sinx ? sinx ;

(7)利用函数图像探求方程 cosx ? lgx 的解的个数.
(8)当
? π π? x ? ?? , ? ? 4 4?

时,求函数 y ? cot 2 x ? 2cotx ? 3 的最大(小)值.

*请同学自觉预习新课文*


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