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人教版高一数学上学期第一章第五节一元二次不等式的解法(3)


《华夏名师网同步辅导课程》

人教版高一数学上学期 第一章第五节 一元二次不等式的解法(3)
主讲:特级教师 王新敞

教学目的: 1.巩固一元二次方程、一元二次不等式与 二次函数的关系; 2.掌握含参一元二次不等式的解决办法; 3.培养数形结合的能力,分类讨论、转化 的能力,综合分析、解决问题的能力.
王新敞
奎屯 新疆

教学重点:含参一元二次不等式的解决办法及二 次函数图象的应用.

教学难点:对参数正确的分类讨论 .

一、复习引入 一元一次函数 y=ax+b的图像

a>0

a<0

b ? a

y
o x

y o
b ? a




x

一元一次方程 ax+b=0的解 一元一次不等式 ax+b>0的解集 一元一次不等式 ax+b<0的解集

b x?? a
b {x | x ? ? } a

b x?? a

b {x | x ? ? } a b b {x | x ? ? } {x | x ? ? } a a

?=b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx+c 的图像(a>0) ax2+bx+c=0 的根 ax2+bx+c>0 的解集

?>0 y o
x1, 2


?=0

?<0

y
x2 x

y

x1



o



x

?b? ? ? 2a

b x1 ? x2 ? ? 2a
{ x | x ? R, x ? ? b } 2a

?
R

o

x

{x | x ? x1或x ? x2}

ax2+bx+c<0 {x | x ? x ? x } 1 2 的解集

?

?

一、复习引入

这张表是我们今后求解一元二次不等式的主 要工具,必须熟练掌握,其关键是抓住相应的二 y 次函数的图像。 记忆口诀:大于0取两边,小于 x1 x2 0取中间.(a>0且△>0) ● ● o x 解一元二次不等式的步骤: ①把二次项系数化为正数; ②解对应的一元二次方程; ③根据方程的根,结合不等号方向及二次函数 图象; ④得出不等式的解集.

一、复习引入

x?a ① ?0? x ?b (x-a)(x-b)>0(a<b)
的解集是{x│x<a或x>b};

+

+

a

x?a ② ?0? x ?b
+
a



b

x

(x-a)(x-b)<0(a<b) 的解集是{x│a<x<b}.



+ b

二、重点讲解 (一)二次不等式的恒成立 例1 已知关于x下列不等式:
(a-2)x2 + (a-2)x +1

≥ 0恒成立, 对任意x∈R都成立 ≥0的解集为R 恒为非负
△=(a-2)2-4(a-2) =(a-2)(a-6)

试求a的取值范围. 解:令y=(a-2)x2 + (a-2)x +1,

①当a=2时,y=1符合题意; ②当a>2时,则△≤0,有2<a≤6; ③当a<2时,则a∈{ }; 综上,所求a的取值范围为{a|2≤a≤6}.

二、重点讲解 (二)含参数的二次不等式 例2 解关于x下列不等式:x2 – ax – 6a2 < 0 解:原不等式可化为:(x – 3a)(x +2a) < 0 ①当a=0时,x2 < 0,无解; ②当a>0时, 3a > -2a,则有-2a<x<3a; ③当a<0时, 3a < -2a,则有3a<x<-2a. 综上, 当a=0时,原不等式的解集为空集; 当a>0时,原不等式的解集为{x|-2a<x<3a}; 当a<0时,原不等式的解集为{x|3a<x<-2a}.

二、重点讲解 (三)二次函数图象的应用 例3 分别求使方程x2-mx-m+3=0的两根满足下列条 件的m值的集合: X=m/2 (1)两根都大于0; (2)一个根大于0,另一个根小于0; (3)两根都小于1; x2 x
1

解:令f(x)=x2-mx-m+3且图像与x轴相交 则△=m2-4(-m+3)=(m+6)(m-2)≥0 得m≤-6或m≥2.

二、重点讲解 (三)二次函数图象的应用 例3 分别求使方程x2-mx-m+3=0的两根满足下列条 件的m值的集合:(1)两根都大于0; X=m/2 解: (1) ∵两根都大于0
?? ? 0 ?m ? ?? ? 0 ?2 ? f (0) ? 0 ?

?m ? ?6或m ? 2 ? 即 ?m ? 0 ??m ? 3 ? 0 ?

o

x1

x2

∴ 2≤ m<3.

二、重点讲解 (三)二次函数图象的应用 例3 分别求使方程x2-mx-m+3=0的两根满足下列条 件的m值的集合:(2)一个根大于0,另一个根小于0; 解: (2) ∵一个根大于0,另一个根小于0;
? ??0 ?? ? f (0) ? 0

? m ? ?6或m ? 2 即? ? ?m ? 3 ? 0
x1 o

X=m/2

∴ m>3.

x2

二、重点讲解 (三)二次函数图象的应用 例3 分别求使方程x2-mx-m+3=0的两根满足下列条 件的m值的集合: (3)两根都小于1; 解: (3) ∵两根都小于1
?? ? 0 ?m ? ?? ? 1 ?2 ? f (1) ? 0 ?

?m ? ?6或m ? 2 ? 即 ?m ? 2 ? ?2 m ? 4 ? 0 ?
x1

X=m/2

∴ m≤ -6.

x2 1

三、练习 1.下列不等式中,解集为实数集R的是( D (A) (C) 2.当

?x ? 1?



2

?0

(B) (D)
2

x ?8 ? 0
3

x ?0
x ? ?3a或x ? 4a

x ? 2x ? 3 ? 0
2
2

a ? 0时, 不等式x ? ax ? 12a ? 0 的解是(C )
(B) (D)

(A)

? 3a ? x ? ?4a

(C)

4a ? x ? ?3a

? 3a ? x ? 4a

三、练习 3.(1)不等式ax2+bx+2>0的解集是 {x|-1/2<x<1/3},则a+b= -14 (a=-12,b=-2) (2)关于x不等式ax2+bx+c>0的解集 是{x|x<-2或X>1/2},则关于x的不等式 ax2-bx+c<0的解集为:{x|-1/2<x<2} ⑶ 对于任意实数x,ax2+4x-1≥-2x2-a, 对于任意实数恒成立,则实数a的取值范 围为: a≤-3或a≥2 4.当m为何值时,方程x2-2mx+2m+3=0 (1)有两个负实数根? -3/2<m≤-1 (2)有一个正根,一个负根. m<-3/2 (3)两根大于2. 3≤m< 7/2

五、小结 1.一元二次方程、一元二次不等式均可用二次 函数图象一统天下,但必须注意前后的等价; 2.一元二次方程根的分布问题; 3.有关一元二次不等式恒成立问题.
X=-b/2a

x1

x2

本节课到此结束,请同学们 课后再做好复习。谢谢!

再见!


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