当前位置:首页 >> 数学 >>

高三数学专题 导数解答题训练(含答案)


专题

导数及其应用
1 对称 , 且 2

3 2 1 、 设 f ( x ) = 2 x ? ax ? bx ? 1 的 导 数 为 f ?( x ) , 若 函 数 y = f ?( x ) 的 图 象 关 于 直 线 x = ?

f ?(1) =0.(1)求实数 a , b 的值;(2)求函数 f (

x) 的极值.
解: (1) f ?( x ) = 6 x ? 2ax ? b , ∵若函数 y = f ?( x ) 的图象关于直线 x = ?
2

1 对称,且 f ?(1) =0, 2

∴?

2a 1 2 = ? 且 6 ?1 ? 2a ?1 ? b ? 0 ,解得 a =3, b =-12. 12 2
3 2

(2)由(Ⅰ)知 f ( x ) = 2 x ? 3x ? 12 x ? 1 , f ?( x ) = 6 x2 ? 6 x ? 12 = 6( x ? 2)( x ? 1) , f ( x ) 的变化如下:

x
f ?( x )

(-∞, -2) -2 + 0 极大值 21

(-2,1) -

1 0 极小值-6

(1,+∞) +

f ( x)

∴当 x =-2 时, f ( x ) 取极大值,极大值为 21,当 x =1 时, f ( x ) 取极小值,极小值为-6. 2、已知函数 f ( x) ? ( x ? 1) ln x ? x ? 1 .

(1)若 xf '( x) ? x2 ? ax ? 1 ,求 a 的取值范围; (2)证明: ( x ? 1) f ( x) ? 0 .

3、设函数 f ( x ) = x ? ax ? b ln x ,曲线 y= f ( x ) 过 P(1,0) ,且在 P 点处的切斜线率为 2.
2

(1)求 a,b 的值; (2)证明: f ( x ) ≤2x-2 解: (1) f ' ? x ? ? 1 ? 2ax ?

? f ?1? ? 0, ?1 ? a ? 0, b ? ,由已知条件得 ? 即? 解得 a ? ?1, b ? 3 。 x ? f ' ?1? ? 2, ?1 ? 2a ? b ? 2, ?

(2)f(x)的定义域为 ? 0,??? ,由(I)知 f ? x ? ? x ? x 2 ? 3ln x 。 设 g ? x ? ? f ? x ? ? ? 2x ? 2? ? 2 ? x ? x2 ? 3ln x ,则 g ' ? x ? ? ?1 ? 2 x ?

? x ? 1?? 2 x ? 3? , 3 ?? x x

当 0 ? x ? 1 时, g ' ? x ? ? 0; 当 x ? 1 时, g ' ? x ? ? 0; 所以 g ? x ? 在(0,1)上单调增加,在 ?1, ?? ? 单调递减。 而 g ?1? ? 0, 故当 x ? 0 , g ? x ? ? 0 ,即 f ? x ? ? 2x ? 2 。

4、设 f ( x) ? ?

? ? ? ? ? x ? x ? ?ax (1)若 f ( x) 在 ( , ??) 上存在单调递增区间, ? ? ?

(1)求 a 的取值范围; (2)当 ? ? a ? ? 时, f ( x ) 在 [?, ?] 上的最小值为 ? 解: (1)由 f ?( x) ? ? x ? x ? 2a ? ?( x ? ) ?
2 2

?? ,求 f ( x ) 在该区间上的最大值. ?

1 2

1 2 ? 2a 当 x ? [ , ?? )时, f ?( x)的最大值 4 3

2 2 2 1 1 2 为f ?( ) ? ? 2a; 令 ? 2a ? 0, 得a ? ? 所以,当 a ? ? 时, f ( x)在( , ??) 上存在单调递增区间 3 9 9 9 9 3
(2)令 f ?( x) ? 0, 得两根x1 ?

1 ? 1 ? 8a 1 ? 1 ? 8a , x2 ? . 所以 f ( x)在(??, x1 ),( x2 , ??) 上单调递减, 2 2

在 ( x1 , x2 ) 上单调递增当 0 ? a ? 2时, 有x1 ? 1 ? x2 ? 4, 所以f ( x) 在[1,4]上的最大值为 f ( x2 ) 又 f (4) ? f (1) ? ?

27 40 16 ? 6a ? 0, 即f (4) ? f (1) 所以 f ( x) 在[1,4]上的最小值为 f (4) ? 8a ? ?? 2 3 3 10 . 3

得 a ? 1, x2 ? 2 ,从而 f ( x ) 在[1,4]上的最大值为 f (2) ?

5、已知函数 f ( x ) ?

ln x ? a (a ? R) x

(1)求 f (x) 的极值; (2)若函数 f (x) 的图象与函数 g (x) =1 的图象在区间 (0, e 2 ] 上有公共点,求实数 a 的取值范围。 解: (1) f ( x)的定义域为 (0,?? ), f ?( x) ? 当 x ? (0, e1?a )时, f ?( x) ? 0, f ( x) 是增函数 当 x ? (e1?a ,??)时, f ?( x) ? 0, f ( x) 是减函数 ∴ f ( x)在x ? e
1?a

1 ? (ln x ? a) , x2

令 f ?( x) ? 0得x ? e1?a

处取得极大值 f ( x)极大值 ? f (e1?a ) ? e a?1 ,

(2) (i)当 e1? a ? e 2 时, a ? ?1时 ,由(Ⅰ)知 f ( x)在(0, e1?a ) 上是增函数,在 (e1?a , e 2 ] 上是减函数

? f ( x)max ? f (e1?a ) ? ea?1
又 当

x ? e ?a时, f ( x) ? 0,当x ? (0, e ?a ]时f ( x) ? 0.当x ? (e ?a , e 2 ] 时 ,

f ( x) ? (0.e a?1 ) 所 以

f ( x)与图象g ( x) ? 1的图象在 (0, e 2 ] 上有公共点,等价于 e a?1 ? 1 ,解得 a ? 1, 又a ? ?1, 所以a ? 1
(ii)当 e
1? a

? e 2即a ? ?1 时, f ( x)在(0, e 2 ] 上是增函数,
2?a 2?a 2 ,所以原问题等价于 2 ? 1, 解得 a ? e ? 2. 2 e e

2 2 ∴ f ( x)在(0, e ]上的最大值为 f (e ) ?

又? a ? ?1,∴无解 6、已知函数 g ( x) ?

2 x2 ? 1 的图像关于原点成中心对称 ,设函数 f ( x) ? x ? cx ? 1 . x?c g ( x) ln x

(1) 求 f ( x) 的单调区间;

(2) 已知 e ? x 对任意 x ? (1, ??) 恒成立.求实数 m 的取值范围.
x m

解: (1) 由已知可得 C=0, ∴ g ( x ) ?

f ?( x) ?

ln x ? 1 , 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? e .列表如下: ln 2 x

x2 ?1 x , f(x)? x ln x

x
f ?( x ) f ( x)

(0,1) 单调减

(1, e)
单调减

(e, ??)
+ 单调增

所以 f ( x ) 的单调增区间为 (e, ??) ,单调减区间为 (0,1) 和 (1, e) (2)在 e ? x 两边取对数,得 x ? m ln x .而 x ? 1 .所以 m ?
x m

x ln x

由(1)知当 x ? (1, ??) 时, f ( x) ? f (e) ? e .所以 m ? e .

7、设 f(x)=

ex ,其中 a 为正实数. 1+ax2 (2)若 f(x)为 R 上的单调函数,求 a 的取值范围.

4 (1)当 a= 时,求 f(x)的极值点; 3 解 对 f(x)求导得 f′(x)=ex

1+ax2-2ax .① ?1+ax2?2

4 3 1 (1)当 a= 时,若 f′(x)=0,则 4x2-8x+3=0,解得 x1= ,x2= . 3 2 2 综合①,可知 x f′(x) f(x) ?

?-∞,1? 2? ?


1 2 0 极大值

?1,3? ?2 2?


3 2 0 极小值

?3,+∞? ?2 ?


?

?

3 1 所以,x1= 是极小值点,x2= 是极大值点. 2 2 (2)若 f(x)为 R 上的单调函数,则 f′(x)在 R 上不变号,结合①与条件 a>0,知 ax2-2ax+1≥0 在 R 上恒 成立. 因此 Δ=4a2-4a=4a(a-1)≤0,由此并结合 a>0,知 0<a≤1. 8、函数 f(x)=x3+ax2+b 的图象在点 P(1,0)处的切线与直线 3x+y=0 平行 (1)求 a,b; (2)求函数 f(x)在[0,t](t>0)内的最大值和最小值. 解 (1)f′(x)=3x2+2ax

? ? ? ?f?1?=0, ?a+b+1=0, ?a=-3, 由已知条件? 即? 解得? ? ? ? ?f′?1?=-3, ?2a+3=-3, ?b=2.

(2)由(1)知 f(x)=x3-3x2+2,f′(x)=3x2-6x=3x(x-2), f′(x)与 f(x)随 x 变化情况如下: x f′(x) f(x) 由 f(x)=f(0)解得 x=0,或 x=3 因此根据 f(x)的图象 当 0<t≤2 时,f(x)的最大值为 f(0)=2, 最小值为 f(t)=t3-3t2+2; ? (-∞,0) + 0 0 2 ? (0,2) - 2 0 -2 (2,+∞) + ?

当 2<t≤3 时,f(x)的最大值为 f(0)=2,最小值为 f(2)=-2; 当 t>3 时,f(x)的最大值为 f(t)=t3-3t2+2,最小值为 f(2)=-2.


相关文章:
高三数学专题 导数解答题训练(含答案)
高三数学专题 导数解答题训练(含答案)高三数学专题 导数解答题训练(含答案)隐藏>> 专题 导数及其应用 1 对称 ,且 2 3 2 1 、设 f ( x ) = 2 x ? ax...
高三数学大题专项训练 导数
高三数学题专项训练 导数_数学_高中教育_教育专区。高三数学题专项训练最后...x ln a ? 【答案】 (1)依题意得 ? ? f (? x) ? 2 f ( x) ? ...
导数专题练习题及答案
导数专题练习题答案_数学_高中教育_教育专区。1.函数函数 f ? x ? ? mx2 ? 2x ?1 有且仅有一个正实数的零点,则实数 m 的取值范围是学科网 x 2 x3...
高三文科函数与导数练习(含答案)
高三文科函数与导数练习(含答案)_数学_高中教育_教育专区。高三文科数学练习题一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1.已知集合 M = A....
高三导数专题含答案
高三导数专题含答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。【专题 2---导函数部分...1 ? m( x ? 0) x (1)依题意得 f ?(1) ? 1 ? m ? 0 ,即 m...
导数各类大题训练含答案
导数各类大题训练含答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。第一类 一、选择题...专题推荐 2014教师资格材料分析辅... 2014小学教师资格考试《... 2014年幼儿园...
高三导数练习题答案
高三导数练习题答案_数学_高中教育_教育专区。参考答案 1.D ∵ 原式 ? x ?...专题推荐 2014教师资格材料分析辅... 2014小学教师资格考试《... 2014年幼儿园...
高三数学一轮专题突破训练《导数及其应用》(理)及答案
高三数学一轮专题突破训练导数及其应用》(理)及答案_高三数学_数学_高中教育_...a 成立. ??13 分-ax -?a-1?x 6、解:(Ⅰ)由题意得 f ′(x)=,x...
高三数学专项训练:导数与函数解答题(理科)
试卷第 18 页,总 18 页 高三数学专项训练:导数与函数解答题(理科)参考答案 1. (1)有极小值 f (ln a) ? a ? a(ln a ? 1) ? ?a ln a .(2)...
更多相关标签:
导数解答题专题训练 | 高三函数与导数专题 | 高三数学导数专题 | 高三数学导数专题视频 | 高三文科数学导数专题 | 导数解答题 | 导数的隐零点如何解答 | 培优专题三角形含答案 |