当前位置:首页 >> 数学 >>

【优化方案】2012高中数学 第2章2.5.1等比数列的前n项和课件 新人教A版必修5


2.5 等比数列的前 项和 . 等比数列的前n项和 2.5.1 等比数列的前 项和 . 等比数列的前n项和

学习目标 1.理解并掌握等比数列前 项和公式及其推导 理解并掌握等比数列前n项和公式及其推导 理解并掌握等比数列前 过程. 过程. 2.能够应用前 项和公式解决等比数列有关问 .能够应用前n项和公式解决等比数列有关问 题. 3.进一步提高解方程 组)

的能力,以及整体代换 的能力, .进一步提高解方程(组 的能力 思想的应用能力. 思想的应用能力.

2. 5.1 等 比 数 列 的 前 n 项 和

课前自主学案

课堂互动讲练

知能优化训练

课前自主学案

温故夯基

an + 1 1. 数列{a 为等比数列 为等比数列? . 数列 n}为等比数列? a =q(q≠0 且 n∈N*). ≠ ∈ . n 2.等比数列 n}的通项公式为 an=a1qn-1(n∈N*). .等比数列{a 的通项公式为 ∈ .
n(a1+an) ( 2 3.等差数列的前 n 项和公式是:__________= 项和公式是: . =
1 na1+ n(n-1)d. - 2 _______________

知新盖能 等比数列的前n项和公式 等比数列的前 项和公式

课堂互动讲练

考点突破 等比数列前n项和的有关计算 等比数列前 项和的有关计算

a 1- a n q a1(1-qn) - Sn= S (q≠1)均为等比数列的 , n= ≠ 均为等比数列的 1-q 1-q - - 求和公式, 求和公式,一共涉及 a1,an,Sn,n,q 五个量, , 五个量, 通常已知其中三个,可求另外两个, 通常已知其中三个,可求另外两个,而且方法就 是解方程组,这也是求解等比数列问题的基本方 是解方程组, 法.

在等比数列{an}中, 在等比数列 中 (1)若 a1=1,a5=16,且 an>0,求 S7; 若 , , , (2)若 Sn=189,q=2,an=96,求 a1 和 n; 若 , = , , ; 5 (3)若 a1+a3=10,a4+a6= ,求 a4 和 S5. 若 , 4
【 思路点拨 】 思路点拨】 (1) 由 an= a1q
n- 1

例1

― → 求出 ― → 求 S7 ― 求出q 公式 ― 数据

代入

利用

a1( 1-qn) - n- 1 代入 (2) Sn= , an= a1q ― → 列方程组 ― 求解 ― → 已知量 1-q - (3) 据 an= a1q
n- 1

― ― → 列方程组 ― 求 a1,q ― 求 a4和 S5 → →

代换

设数列{a 的公比为 【解】 (1)设数列 n}的公比为 q(q>0), 设数列 > , 则有 a5=a1q4=16, , a1(1-q7) 1-27 - - ∴q=2, = , 数列的前 7 项和为 S7= = 1-q 1-2 - - =127. n a1(1-q ) - n-1 (2)由 Sn= 由 ,an=a1q 以及已知条件得 1-q -
? a1(1-2n) - ?189= = , 1-2 - ? ? n- 1 = ?96=a1·2 ,

192 ∴a1·2 =192,∴2 = . , a1 192 n ∴189=a1(2 -1)=a1( -1),∴a1=3. = = , a1 96 n-1 又∵2 = =32,∴n=6. , = 3 (3)设公比为 q,由通项公式及已知条件得 设公比为 ,
n n

?a1+a1q2=10, , ? ? 5 3 5 ?a1q +a1q = , 4 ? ?a1(1+q2)=10, + , ? ? 5 3 2 ?a1q (1+q )= . ② + 4 ?

即 ①

∵a1≠0,1+q2≠0, + , 1 1 3 ∴②÷① ∴② ①得,q = ,即 q= ,∴a1=8. = 8 2 13 3 ∴a4=a1q =8×( ) =1, × , 2 15 × - a1(1-q5) 8×[1-(2) ] 31 - S5= = = . 2 1 1-q - 1- - 2

在等比数列{a 中 变式训练 1 在等比数列 n}中, (1)已知 a1=3, n=96, n=189, n; a S 已知 , , , 求 ; 7 63 (2)已知 S3= ,S6= ,求 an. 已知 2 2 a 1- a n q 解:(1)由 Sn= 由 可得 1-q - 3-96q - 189= = ,解得 q=2. = 1-q - n-1 n- 1 n-1 = , 又 an=a1q ,∴96=3·2 ,即 2 =32,
∴n-1=5,即 n=6. - = , =

7 63 (2)已知 S6≠2S3,则 q≠1,又∵S3= ,S6= , 已知 ≠ , 2 2
?a1(1-q3) 7 - ? = 2 ? 1-q - 即? 6 - ?a1(1-q ) 63 ? 1-q = 2 - ?

① ②

②÷①得 1+q3=9,∴q=2. ① + , = 1 将 q=2 代入①,可求得 a1= , = 代入① 2 n-1 n-2 因此 an=a1q =2 .

等比数列前n项和的性质 等比数列前 项和的性质

等比数列前 n 项和的常用性质 (1)项的个数的“奇偶”性质:等比数列 n}中, 项的个数的“ 项的个数的 奇偶”性质:等比数列{a 中 公比为 q. ①若共有 2n 项,则 S 偶∶S 奇=q; ; a1+a2n+2 (q≠1 ②若共有 2n+1 项,则 S 奇-S 偶= + ≠ 1+q + 且 q≠-1). ≠ .

(2)“片断和 性质:等比数列 n}中,公比为 ,前 片断和”性质 等比数列{a 中 公比为q, 片断和 性质: m项和为 m(Sm≠0),则Sm,S2m-Sm,S3m- 项和为S 项和为 , S2m,…,Skm-S(k-1)m,…构成公比为 m的等比 构成公比为q , 构成公比为 - 数列,即等比数列的前 项的和与以后依次 项的和与以后依次m项 数列,即等比数列的前m项的和与以后依次 项 的和构成等比数列. 的和构成等比数列.

例2

已知等比数列{a 中 项和S 已知等比数列 n}中,前10项和 10=10, 项和 ,

项和S 前20项和 20=30,求S30. 项和 ,

【 思 路 点 拨 】 法 二

设公比为q 法 一 : 设公比为 :

→ 根据条件列方程组 → 解出 → 代入求 30 解出q 代入求S 根据题意S 根据题意 10,S20-S10,S30-S20成等比数列 → S10=10,S20=30 → S30 ,

法一: 【解】 法一:设公比为 q,则 ,
?a1(1-q10) - ? =10 ? 1-q - ? a1(1-q20) - ? ? 1-q =30 - ?

① ②

② 10 10 得 1+q =3,∴q =2, + , , ①

a1(1-q30) a1(1-q10) - - (1+q10+q20) ∴S30= = + 1-q 1-q - - =10×(1+2+4)=70. × + + = 法二: 仍成等比数列, 法二:∵S10,S20-S10,S30-S20 仍成等比数列, 又 S10=10,S20=30, , , 2 (30-10) - ) ∴S30-S20=S30-30= = , 10 即 S30=70.

等比数列的综合应用
例3

已知等差数列{a , 已知等差数列 n},a2=9,a5=21. ,

(1)求{an}的通项公式; 求 的通项公式; 的通项公式 (2)令bn=2an,求数列 n}的前 项和 n. 令 求数列{b 的前 项和S 的前n项和 【思路点拨】 思路点拨】 首先求出a 首先求出 1和d,再计算 n,由bn ,再计算a

可判断数列{b 的类型 的类型. =2an可判断数列 n}的类型.

【解 】

(1)设等差数列 n}的公差为 d, 设等差数列{a 的公差为 , 设等差数列

?a1+d=9, = , 依题意得方程组? = , ?a1+4d=21,

解得 a1=5,d=4. , = 所以{a 的通项公式为 + 所以 n}的通项公式为 an=4n+1.

(2)由 an=4n+1 得 bn=24n+1, 由 + 所以{b 是首项为 所以 n}是首项为 b1=25, 公比为 q=24 的等比数 = 25×(24n-1) ) 于是得{b 的前 列.于是得 n}的前 n 项和 Sn= = 4 2 -1 32(24n-1) ( ) . 15



【名师点评】 名师点评】

在解决等差、 在解决等差、等比数列的综合题

时,重点在于读懂题意,而正确利用等差、等比 重点在于读懂题意,而正确利用等差、 数列的定义、通项公式及前n项和公式是解决问 数列的定义、通项公式及前 项和公式是解决问 题的关键. 题的关键.

变式训练2 变式训练

已知数列{a 的前 项和S 的前n项和 已知数列 n}的前 项和 n=2n-n2, -

an=log5bn,其中 n>0,求数列 n}的前 项和. 其中b 的前n项和 ,求数列{b 的前 项和.
解:设{bn}的前 n 项和为 Sn′, 的前 当 n=1 时,a1=S1=1.当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1 = 当 ≥ =3-2n, - , 又∵an=log5bn, 3-2n ∴bn=5 .

bn + 1 5 1 ∵ b = 3-2n = ,b1=5, , 25 5 n 1 ∴{bn}是以 5 为首项, 为公比的等比数列, 是以 为首项, 为公比的等比数列, 25 1 n 5[1-( ) ] - 25 125 1 ∴Sn′= = (1- n). - . 1 24 25 1- - 25

3-2(n+1) ( )

方法感悟 1.在等比数列的通项公式和前n项和公式中,共 .在等比数列的通项公式和前 项和公式中 项和公式中, 涉及五个量: 其中首项a 涉及五个量:a1,an,n,q,Sn,其中首项 1和 , , 公比q为基本量, 知三求二”. 公比 为基本量,且“知三求二 . 为基本量 知三求二 2.在前n项和公式的应用中,要注意对前n项和 .在前 项和公式的应用中,要注意对前 项和 项和公式的应用中 公式进行分类讨论,因为 公式进行分类讨论,因为q≠1和q=1时有不同的 和 = 时有不同的 公式形式,不可忽略 = 的情况 的情况. 公式形式,不可忽略q=1的情况.

3.理解等比数列前 n 项和公式与函数的关系. .理解等比数列前 项和公式与函数的关系. a1(1-qn) - a1 a1 n a1 Sn = q , 设 a= = - = ,则 1-q - 1-q 1-q - - 1-q - Sn=a-aqn,Sn 为一个常数 a 减去 a 与指数函数 - 的积, 则数列为等比数列. 的积,即若 Sn=a-aqn,则数列为等比数列. - 4.等比数列 n}前 n 项和 Sn(Sn≠0),前 n 项积 .等比数列{a 前 , T2n T3n Tn, Sn, 2n-Sn, 3n-S2n, 和 Tn, , , S S 则 … … Tn T2n 都成等比数列. 都成等比数列.


相关文章:
【优化方案】2014年高中数学 第2章2.5.1等比数列的前n项和知能优化训练 新人教A版必修5
【优化方案】2014年高中数学 第2章2.5.1等比数列的前n项和知能优化训练 新人教A版必修5_数学_高中教育_教育专区。【优化方案】 2014 年高中数学 第 2 章 ...
人教A版必修五第二章《数列》课时训练:2.5.1等比数列前n项和的求解(含答案)
人教A版必修五第二章《数列》课时训练:2.5.1等比数列前n项和的求解(含答案)_数学_高中教育_教育专区。2.5 等比数列前 n 项和的求解等比数列前 n 项和练习题...
(人教A版)数学必修五 :2-5-1《等比数列前n项和公式的推导与应用》教案(含答案)
(人教A版)数学必修五 :2-5-1《等比数列前n项和公式的推导与应用》教案(含答案)_数学_高中教育_教育专区。教学设计 2.5 等比数列的前 n 项和? 2.5.1 等比...
高中数学新人教A版必修五:第2章 数列 同步练习2.5等比数列前n项和
高中数学新人教A版必修五:第2章 数列 同步练习2.5等比数列前n项和_数学_高中教育_教育专区。高中数学新人教A版必修五第2章 数列 同步练习 ...
【优化方案】2014年高中数学 第2章2.5.2数列求和习题课知能优化训练 新人教A版必修5
【优化方案】 2014 年高中数学 第 2 章 2.5.2 数列求和习题课知能优 化训练 新人教 A 版必修 5 1.设数列{(-1) A.-2011 C.2011 答案:D 2.已知数列...
【数学】2.5《等比数列的前n项和》教案(新人教A版必修5)(2课时)
【数学】2.5等比数列的前n项和》教案(新人教A版必修5)(2课时)_高二数学_数学_高中教育_教育专区。§2.5 等比数列的前 (第 1 课时) n 项和 ●教学目标 ...
最新人教A版必修5高中数学 2.5 等比数列的前n项和教案2(精品)
最新人教A版必修5高中数学 2.5 等比数列的前n项和教案2(精品)_高三数学_数学...课件展示:? a1+a2+a3+?+an=? [教师精讲]? 1 师 在上面的特殊简单情形...
高中数学 2.5《等比数列的前n项和(1)》导学案 新人教A版必修5
高中数学 2.5等比数列的前n项和(1)》导学案 新人教A版必修5 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 2.5等比数列的前 n 项和(1)》导学案【学习目标】 1...
数学必修5 2.5.1 等比数列前n项和的求解
数学必修5 2.5.1 等比数列前n项和的求解_数学_高中教育_教育专区。第二章 数 列 数学· 必修 5(人教 A 版) 2. 5 2.5.1 等比数列的前 n 项和等比数列...
更多相关标签:
人教版等比数列 | 数学必修五等比数列 | 人教版高二英语必修五 | 人教版历史必修一教案 | 人教版高中数学必修3 | 人教版高一物理必修一 | 人教版必修五英语单词 | 人教版高中英语必修二 |