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(甘志国)介绍几道2008年自主招生考试数学试题


介绍几道 2008 年自主招生数学试题
甘志国(该文已发表 中学数学杂志,2009(1):54-56) 高校自主招生考试数学试题材料鲜活, 不易压中, 试题的结构常以 5~7 道解答题的形式 出现(如 2008 年清华大学、北京大学、浙江大学的自主招生试题),也有与本省高考数学试 卷的形式类似的(如 2008 年山东大学自主招生试题),试题的难度一般略高于高考题.下面介

绍几道 2008 年自主招生数学试题,且这里给出的解答多与原参考答案不同. 题 1 (2008 年北京大学自主招生数学试题第 2 题)求证:边长为 1 的正五边形对角线长 为

1? 5 . 2

原参考解答是用平面几何中的三角形相似证得的,下面给出一种三角解法. 解 选择正五边形的两条共顶点的对角线及其一边组成等腰三角形,再作其底边上的 高,又设这个正五边形对角线长为 x,得

sin 18 ? ?

0.5 1 ,x? x 2 sin 18?

下面求 sin 18 ? (实际上,有很多资料把 sin 18? ?

5 ?1 作为特殊角的三角函数值列出 4

——此值为黄金分割数 值极其算法,并不难):

5 ?1 ? 0.618 的一半, 挺好记的; 高一数学老师应当介绍 sin 18 ? 的 2

由公式 sin 2? ? 2 sin ? cos? , cos3? ? 4 cos

3

? ? 3 cos? 及 sin 36? ? cos 54? 立得

2 sin 18? cos18? ? 4 cos3 18? ? 3 cos18?

2 sin 18? ? 4 cos2 18? ? 3 ? ( 4 1 ? sin 2 18?) ?3
4 sin 2 18? ? 2 sin 18? ? 1 ? 0

sin 18? ?

5 ?1 4

所以所求正五边形对角线长为 x ?

1 1? 5 ? . 2 sin 18? 2

题 2 (2008 年复旦大学自主招生数学试题)请证明 2 是一个无理数. 假设 2 是有理数则可设 2 ?

证明
2

m (m, n 是两个互质的正整数),得 m 2 ? 2n 2 , n
2
2

m 是奇数), 所以 m 是偶数, 进而得 m 也是偶数(因为当 m 是奇数时, 又可得 m

(? 2n 2 )

是 4 的倍数, n 是偶数,n 也是偶数,得 m,n 均是偶数,这与 m,n 互质矛盾!说明 2 是 无理数. 以上证明初二学生即可弄懂,但反证法教科书上虽然作了介绍,平时却训练极少,所以 学生对这种证法很陌生(而 2008 年高考数学江苏卷第 19 题第(2)问就是需要用反证法证明的 题目),我们在平时的教学中应当重视这方面的训练.

2

2 还是人类历史上发现的第一个无理数,是 Pythagoras(约公元前 500 年,希腊学者)
学派的成员 Hippasus 所发现的,从而产生了数学史上的第一次危机,所以学生还应当尽可 能的通过课外阅读等手段扩大知识面. 题 3 (2008 年 浙 江 大 学 自 主 招 生 试 题 第 4 题) A ? ?( x, y) ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ?

? ?

5? ?, B ? ( x, y) x ? 1 ? 2 y ? 2 ? a , A ? B ,求 a 的 4?

?

?

取值范围. 原参考解答是:通过换元后可知,题意即 若 ?( x, y) x 2 ? y 2 ?

? ?

5? ? ? ( x, y) x ? 2 y ? a ,求正数 a 的取值范围. 4?
2 2

?

?

再通过画图(由对称性,可以只考虑第一象限的图形),得圆 x ? y ? 原点到直线 x ? 2 y ? a 的距离不小于该圆的半径 下面给出一种所用知识更少的解法. 解 题意即 若 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ?
2 2

5 的圆心即坐标 4

? 5 ? 5 ,?? ? ,得所求 a 的取值范围是 ? ?. 2 ? 2 ?

5 ? x ? 1 ? 2 y ? 2 ? a ,求实数 a 的取值范围. 4
2

因 为 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ?
2

5 5 ? y?2 ? ? ( x ? 1) 2 , 所 以 题 设 等 价 于 4 4

x ?1 ? 2

5 ? ( x ? 1) 2 ? a 恒 成 立 . 设 x ? 1 ? t , 得 t ? 0 , 题 设 即 函 数 4

z ? t ? 5 ? 4t 2 (t ? 0) 的最大值 z max ? a ,下面用两种方法求 z max .
法一:可得

( z ? t ) 2 ? 5 ? 4t 2 5t 2 ? 2zt ? ( z 2 ? 5) ? 0 ? ? 4 z 2 ? 20( z 2 ? 5) ? 0
? 5 5 ?z? 2 2

还可得当且仅当 t ?

1 3 5 1 5 即 x ? ,或 ? 时, z ? ,所以 z max ? . 2 2 2 2 2
2

法二:可得 5 ? 4t ? 0,0 ? t ?

5 5 ?? ? ,所以可设 t ? sin ? ? 0 ? ? ? ? ,得 2 2 2? ?

z ? t ? 5 ? 4t 2 ?

5 sin ? ? 5 cos? 2

? 5 5? 1 2 ?? ? ? ? sin ?? co? s? ? s i n?( ? ? )? 0 ? ? ? ? ? ? 2? 5 2? 5 ? ? 2
其中 ? ? arccos

1 5

.

由此也可得:当且仅当 ? ? ? ?

?
2

即 ? ? arcsin

1 5

也即 t ?

1 3 1 就是 x ? ,或 ? 时, 2 2 2

z max ?

5 . 2

所以所求 a 的取值范围是 ? 题 4 (2008

? 5 ? ,?? ? ?. ? 2 ?
7 题 ) 已 知

年 浙 江 大 学 自 主 招 生 数 学 试 题 第

x ? 0, y ? 0, a ? x ? y, b ?

x 2 ? xy ? y 2 , c ? m xy ,问是否存在正数 m 使得对

于任意正数 x,y 可使 a、b、c 为一个三角形的三条边,如果存在,求出 m 的值;如果不存在, 请说明理由. 解 因为 a>b, 所以存在正数 m 满足题意的充要条件是对于任意的正数 x,y 有下式成立:
2 2 ? ? x ? y ? x ? xy ? y ? m xy ? 2 2 ? ? x ? xy ? y ? m xy ? x ? y

可设 y= k x (k>0),得
2 2 4 ? ?1 ? k ? 1 ? k ? k ? mk ? 2 4 2 ? ? 1 ? k ? k ? mk ? 1 ? k
2 2 ?? ? ?? ? 1 1? 1? 1? ? ? ?? k ? ? ? ? ? ? k ? ? 1 ? m ? k ? ? k ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? k? k? k? k? ?? ? ?? ? ? ? ? ? min ? ? max

2

设k ?

1 ? t ,得 t ? 2 ,所以 k

?t ?
( 2 ? 3 ,2 ? 3 ) .

? ? 1 ? t 2 ? 1 min ? m ? ? ? ? 2 ? t ? t ? 1 ? max

?

再由函数的单调性,可立得满足题意的正数 m 存在,且 m 的值有无数多个,其取值范围是

题 5 (2008 年南京大学自主招生数学试题第二题)设 a, b, c 为正数, 且 a ? b ? c ? 1, 求

1? ? 1? ? 1? ? ? a ? ? ? ? b ? ? ? ? c ? ? 的最小值. a? ? b? ? c? ?
证明 数,所以 由三元均值不等式, 可得 0 ? (3 abc ) ?
2

2

2

2

1 1 , 又函数 y ? x ? (0 ? x ? 1) 是减函 9 x

1? ? 1? ? 1? ? ?1 1 1? 2 2 2 ? a ? ? ? ? b ? ? ? ? c ? ? ? (a ? b ? c ) ? ? 2 ? 2 ? 2 ? ? 6 ? a? ? b? ? c? ? ?a b c ?
? ? 1 100 ?1 ? 3?(3 abc ) 2 ? 3 ? 6 ? 3? ? 9 ? ? 6 ? 2? 3 ( abc ) ? ?9 ? ?
由此可得所求最小值是 注

2

2

2

100 . 3

用下面的题 6 的结论易证得题 5 的结论,所以说下面的题 6 是题 5 的加强. (2008 年 南 京 大 学 自 主 招 生 数 学 试 题 第 二 题 的 加 强 ) 设 a, b, c 为 正 数 , 且

题 6

1 ?? 1 ?? 1 ? 1000 ? . a ? b ? c ? 1 ,求证: ? a ? ?? b ? ?? c ? ? ? a ?? b ?? c? 27 ?
高中生在学习“不等式的证明”时,大多都证明过这样的题: 若正数 a、b 满足 a+b =1,求证: ? a ?
2

? ?

1 ?? 1 ? 25 . ?? b ? ? ? a ?? b? 4

1 1 ?a ? b? 简证如下:先得 0 ? ab ? ? ? ? ,又函数 f ( x) ? x ? 在(0,1)上是减函数,所 x 4 ? 2 ?
以 ab ?

1 1 17 ? ?4? ,再得 ab 4 4

1 ?? 1? ? 1 ? ? b a ? 17 25 ? ?2? ? a ? ?? b ? ? ? ? ab ? ? ? ? ? ? ? a ?? b? ? ab ? ? a b ? 4 4 ?
对于该题的深入研究,就会得到题 5 的问题.下面给出题 5 的两个简证,并推广其结论. 证法 1 因为在题 5 的不等式中,当且仅当 a ? b ? c ?

1 时取等号,为了使 3

1 1 1 1 1 ?a? ? ??? (共 m 个 ) 能使用均值不等式且等号能取到,应让 ma a ma ma ma 1 1 a? 且 a ? ,得 m ? 9 ,所以有如下证法: 3 ma a?
a?
同理,有

1 1 1 1 1 a ?a? ? ??? (共 9 个 ) ? 10 ? 10 9a a 9a 9a 9a (9a) 9

b?

1 b 1 c ? 10 ? 10 , c ? ? 10 ? 10 9 b c (9b) (9c) 9 1 ?? 1? abc 3 ?? c ? ? ? 10 ? 10 3 b ?? c? (9 abc ) 9
3

所以

1 ?? ? ? a ? ?? b ? a ?? ?

1 ? ?a ?b?c? 再由 0 ? abc ? ? ,可得 ? a ? ? ? 3 27 ? ? ?
1 a ? b ? c ? 时取等号). 3
由此思路,还可证得 推 广 1 若 正 数
n

1 ?? 1 ?? 1 ? 1000 ( 当且仅当 ?? b ? ?? c ? ? ? a ?? b ?? c ? 27

a1 , a 2 , ?, a n

满 足

?a
i ?1

n

i

?1

, 则

? 1 ? ? ? ai ? a i ?1 ? i
n

? ? 1? 1 ? n ? ? (当且仅当 a1 ? a 2 ? ? ? a n ? 时取等号). ??? n? n ? ?

1 ?? 1 ?? 1 ? a2 ? 1 b2 ? 1 c2 ? 1 ? 证法 2 ? a ? ?? b ? ?? c ? ? ? ? ? a ?? b ?? c? a b c ?
a 2 b 2 c 2 ? (a 2 b 2 ? b 2 c 2 ? c 2 a 2 ) ? (a 2 ? b 2 ? c 2 ) ? 1 = abc
? a 2b 2c 2 ? 3 ?

? a b c ? ? 3 ? ? a b c ?? 1
3 2 2 2 2 3 2 2 2

abc
? ? ? abc ? 1
3

?3 ?? ? abc ? ?

3

1 1 ?a ?b?c? 再由 0 ? abc ? ? ,及函数 f ( x) ? x ? 在(0,1)上是减函数,可得要 ? ? x 3 27 ? ?
证结论成立! 推 广 2 若
n

3

a, a1 , a 2 , ?, a n ? R? , ? ai ? n a
i ?1





? n ? ? ? ai ? n ? a ? ? i ?1 na ? ? ? ? ai ? a ? ??? n ? n ? i ?1 ? i ? a ? ? i ? i ?1 ? ?
? a? ?? a ? 证明 ? ? i ? ai ? i ?1 ? ?
n

n

(当且仅当 a1

? a2 ? ? ? an 时取等号).

? ?a
n i ?1 n

2 i

?a
i

?
?
n

1

(a n ? a n?1
i

?a
i ?1

?a
i ?1

1?i1 ?n

?a
2

2

i1

?

a n?2

1?i1 ?i2 ? n

?a
n

2 i1

a i2 ? ? ? a

2

1?i1 ?i2 ???in ?1 ? n

?a

2 i1

ai2 ? ain ?1 ? a1 a1 ? a n ) =

2

2

2

2

a ? ? an?k
n k ?1

1? i1 ? i 2 ??i k ? n n

2 ( a a ? a ) ? i1 i2 ik

?a
i ?1

i

注意到和式

1?i1?i2 ??ik ?n

2 ( a a ? a ) ? i1 i2 ik 是 C k 项的和,由均值不等式,得
n

1?i1?i2 ??ik ?n

2 k k ( a a ? a ) ? C ? i1 i2 ik n ? Cn

1?i1?i2 ??ik ?n
2k

2 ( a a ? a ) ? i1 i2 ik ?

k Cn ?

k Cn

(a1a2 ? an )

k 2 kCn n

? k? ? Cn n ? ?

? ai ? ? ? i ?1 ?
n

(









a1 ? a2 ? ? ? an 时取等号).
n ? k? n a n ? ? a n?k C n ? n k ?1 ? a? ? ? ? n ? ai ? a ? ?? i ?1 ? i ? ? ai i ?1

所以

? ? a ? i ? i ?1 ?
n

2k

2 ? ? n ? ? ?a ? ? n ? a i ? ? ? i ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? n ? n ? ? n ? ai ? ? i ?1 ? ? ?

n

? ? n ? a? ? n ? ? ? ai ? a ? ??? i ?1 ? i ? ? ? ?

? ? n a ? ai ? ? (当且仅当 a1 ? a2 ? ? ? an 时取等号). ? n i ?1 n ai ? ? ? i ?1 ?
n

n

又由均值不等式,得

0?

n

?a
i ?1

n

i

?

?a
i ?1

i

n

?

a

(当且仅当

a1 ? a2 ? ? ? an 时 第 一 个

“ ? ”中取等号) 再由函数 f ( x) ? x ?

a 在 (0, a ] 上是减函数,可得 x

n

?a
i ?1

n

i

?
n

a

?a
i ?1

n

?
i

?a
i ?1

n

i

n

?

na

?a
i ?1

n

? 0 (当且仅当 a ? a ? ? ? a 时 1 2 n
i

“?”

中取等号) 从而可得推广 2 成立.(推广 1 显然是推广 2 的特例)


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