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金山区2013届高三一模数学试题


金山区 2012 学年第一学期期末考试 高三数学试卷(一模)
(满分:150 分,完卷时间:120 分钟) (答题请写在答题纸上) 一、填空题(本大题共有 14 小题,满分 56 分) 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写 结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.函数 f(x)=3x–2 的反函数 f –1(x)=________. 2.若全集 U=R,集

合 A={x| –2≤x≤2},B={x| 0<x<1},则 A∩ UB= 3.函数 y ? sin(2 x ? .

?
3

) 的最小正周期是_________.


4.计算极限: lim(
n ??

2n 2 ? 2 )= n2 ? n ? 1

5.已知 a ? (1, x) , b ? (4,2) ,若 a ? b ,则实数 x ? _______. 6.若复数(1+2i)(1+ai)是纯虚数,(i 为虚数单位),则实数 a 的值是 7.在 ( x ? ) 的二项展开式中,常数项等于
6



2 x

.(用数值表示)

8.已知矩阵 A= ?

?1 2? ?4 2? ? ,矩阵 B= ? ? ,计算:AB= ?3 4? ?3 1?



9.若直线 l:y=kx 经过点 P(sin

2? 2? , cos ) ,则直线 l 的倾斜角为 α = 3 3



10.A、B、C 三所学校共有高三学生 1500 人,且 A、B、C 三所学校的高三学生人数成等差 数列,在一次联考后,准备用分层抽样的方法从所有高三学生中抽取容量为 120 的样本,进 行成绩分析,则应从 B 校学生中抽取_________人. 11.双曲线 C:x2 – y2 = a2 的中心在原点,焦点在 x 轴上,C 与抛物线 y2=16x 的准线交于 A、 B 两点, | AB |? 4 3 ,则双曲线 C 的方程为__________. 12.把一颗骰子 投掷两次,第一次出现的点数记为 m ,第二次出现的点数记为 n ,方程组

?mx ? ny ? 3 只有一组解的概率是_________. (用最简分数表示) ? ?2 x ? 3 y ? 2
13.若函数 y=f(x) (x∈R)满足:f(x+2)=f(x),且 x∈[–1, 1]时,f(x) = | x |,函数 y=g( x)是定义在 R 上的奇函数,且 x∈(0, +∞)时,g(x) = log 3 x,则函数 y=f(x)的图像与函数 y=g(x)的图像的交

点个数为_______. 14. 若实数 a、 b、 c 成等差数列, 点 P(–1, 0)在动直线 l: ax+by+c=0 上的射影为 M, 点 N(0, 3), 则线段 MN 长度的最小值是 .

二、选择题(本大题有 4 题,满分 20 分) 每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相 应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律的零分. 15.若

1 1 ? ? 0 ,则下列结论不正确的是 a b
(B) ab ? b 2 (D)
开始





(A) a 2 ? b 2 (C)

b a ? ?2 a b

b ?1 a
)

S=0 k=1 k>2011
否 是

16.右图是某程序的流程图,则其输出结果为(

2010 2011 2011 (C) 2012
(A) ≥g(x)在 R 上恒成立”的 (A) 充分但不必要条件 (C) 充要条件

1 2011 1 (D) 2012
(B) ( )

S ?S?

1 k (k ? 1)
输出 S

17.已知 f(x )=x2–2x+3,g(x)=kx–1,则“| k |≤2”是“f(x)

k ← k+1 第 16 题图

结束

(B) 必要但不充分条件 (D) 既不充分也不必要条件

18.给定方程: ( ) ? sin x ? 1 ? 0 ,下列命题中:(1) 该方程没有小于 0 的实数解;(2) 该
x

1 2

方程有无数个实数解;(3) 该方程在(–∞,0)内有且只有一个实数解;(4) 若 x0 是该方程的实 数解,则 x0>–1.则正确命题的个数是 (A) 1 (C) 3 (B) 2 (D) 4 ( )

三、解答题(本大题共有 5 个小题,满分 74 分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规 定区域内写出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 6 分)

已知集合 A={x| | x–a | < 2,x?R },B={x| (1) 求 A、B; (2) 若 A ? B ,求实数 a 的取值范围.

2x ?1 <1,x?R }. x?2

20. (本题满分 14 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分) 已知函数 f ( x) ? sin(2 x ?

?

) ? sin(2 x ? ) ? 3 cos 2 x ? m ,x∈R,且 f(x)的最大值为 1. 3 3

?

(1) 求 m 的值,并求 f(x)的单调递增区间; (2) 在△ABC 中,角 A、B、C 的对边 a、b、c,若 f ( B ) ? 断△ABC 的形状.

3 ? 1 ,且 3 a ? b ? c ,试判

21. (本题满分 14 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分) 已知函数 f ( x) ?

x 2 ? 2x ? a , x ? (0,2] ,其中常数 a > 0. x

(1) 当 a = 4 时,证明函数 f(x)在 (0,2] 上是减函数; (2) 求函数 f(x)的最小值.

22. (本题满分 16 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 6 分) 设椭圆的中心为原点 O,长轴在 x 轴上,上顶点为 A,左、右焦点分别为 F1、F2,线段 OF1、 OF2 的中点分别为 B1、B2,且△AB1B2 是面积为 4 的直角三角形.过B1 作直线 l 交椭圆于 P、 Q 两点.

(1) 求该椭圆的标准方程; (2) 若 PB2 ? QB2 ,求直线 l 的方程; (3) 设直线 l 与圆 O:x2+y2=8 相交于 M、N 两点,令| MN|的长度为 t,若 t∈ [4, 2 7] ,求 △B2PQ 的面积 S 的取值范围.

23. (本题满分 18 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 8 分) 已知数列{an}满足 a1 ? ?

6 , 1 ? a1 ? a2 ? ? ? an ? ?an ?1 ? 0 (其中 λ≠0 且 λ ≠–1,n∈N*), 7

S n 为数列{an}的前 n 项和.
(1) 若 a 2 ? a1 ? a3 ,求 ? 的值;
2

(2) 求数列{an}的通项公式 a n ; (3) 当 ? ?

1 时, 数列{an}中是否存在三项构成等差数列, 若存在, 请求出此三项; 若不存在, 3

请说明理由.


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