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单调性与最大(小)值


2016-17 学年第一学期◆高一





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第一章 集合与函数概念

§1.3.1

单调性与最大(小)值

学习目标
1. 理解函数的最大(小)值及其几何意义; 2. 学会运用函数图象

理解和研究函数的性质.

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P30~ P32,找出疑惑之处) 复习 1:指出函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) 的单调 区间及单调性,并进行证明.

※ 典型例题 例 1“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般 是期望在它达到最高点时爆裂,如果烟花距地面的 高 度 hm 与 时 间 ts 之 间 的 关 系 为 那么烟花冲出后什么时 h(t ) ? ?4.9t 2 ? 14.7t ? 18 , 候是它爆裂的最佳时刻?这时距离地面的高度是 多少(精确到 1 m )?

变式:烟花冲出后,经过多少时间落地?

复习 2 :函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) 的最小值 为 值为 , f ( x) ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) 的最大 .

试试:一段竹篱笆长 20 米,围成一面靠墙的矩形 菜地,如何设计使菜地面积最大?

复习 3:增函数、减函数的定义及判别方法.

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务:函数最大(小)值的概念 思考:完成下表 图像最 函数 高点
f ( x) ? ?2 x ? 3 f ( x) ? ?2 x ? 3 , x ? [?1, 2]

小结: 数学建模的解题步骤:审题→设变量→建立函数 模型→研究函数最大值. 图像最 低点 例 2 求函数 f ( x ) ? 和最小值.

2 在区间[2,6]上的最大值 x ?1

f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 1 f ( x) ? x2 ? 2 x ? 1, x ? [?2, 2]

讨论体现了函数值的什么特征?

新知:设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足:对于任意的 x∈I,都有 f(x)≤M;存在 x0 ∈I,使得 f(x0) = M. 那么,称 M 是函数 y=f(x) 的最大值(Maximum Value). 试试:仿照最大值定义,给出最小值( Minimum Value)的定义.

变式:求函数 f ( x) ? 值和最小值.

2? x 在区间[2,6]上的最大 x ?1

反思: 有些什么方法可以求最大(小)值?
1

小结:先按定义证明单调性,再应用单调性得到最 大(小)值. 试试: 函数 y ? ( x ? 1)2 ? 2, x ?[0,1] 的最小值为 , 最大值为 . 如果是 x ? [?2,1] 呢?

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 ( ) . A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 函数 f ( x) ? 2x ? x 2 的最大值是( ). A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 2. 函数 y ?| x ? 1| ?2 的最小值是( ). A. 0 B. -1 C. 2 D. 3 3. 函数 y ? x ? x ? 2 的最小值是( ).
A. 0 B. 2 C. 4 D. 2 4. 已知函数 f ( x) 的图象关于 y 轴对称,且在区间 (??,0) 上,当 x ? ?1 时, f ( x) 有最小值 3,则在区 间 (0, ??) 上 , 当 x ? 时 , f ( x) 有 最 值 为 . 5. 函数 y ? ? x2 ? 1, x ?[?1,2] 的最大值为 , 最小值为 .

※ 动手试试 练 1. 用多种方法求函数 y ? 2x ? x ? 1 最小值.

变式:求 y ? x ? 1 ? x 的值域.

课后作业
1. 作出函数 y ? x2 ? 2x ? 3 的简图,研究当自变量 x 在下列范围内取值时,函数的最大值与最小值. ?1 ? x ? 0 ; 0? x?3 ; x ? (??, ??) . (1) (2) (3) 练 2. 一个星级旅馆有 150 个标准房,经过一 段时间的经营, 经理得 到一些定价和住房率 的数据如右: 欲使每天的的营业 额最高,应如何定价?
房价(元) 住房率(%)

160 140 120 100

55 65 75 85

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 函数最大(小)值定义;. 2. 求函数最大(小)值的常用方法:配方法、图 象法、单调法. ※ 知识拓展 求二次函数在闭区间上的值域,需根据对称轴与 闭区间的位置关系,结合函数图象进行研究. 例如 求 f ( x) ? ? x2 ? ax 在区间 [m, n] 上的值域, 则先求得 a a a m?n 对 称 轴 x ? , 再 分 ? m 、 m? ? 、 2 2 2 2 m?n a a ? ? n 、 ? n 等四种情况 , 由图象观察得 2 2 2 解.
2

2. 如图,把截面半径为 10 cm 的圆形木 头锯成矩形木料,如果矩形一边长为 x , 面积为 y , 试将 y 表示成 x 的函数, 并画 出函数的大致图象,并判断怎样锯才能 使得截面面积最大?


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