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广东省广州市2014届高三1月调研测试数学(理)试题及参考答案


知秋学堂

试卷类型:A

广州市 2014 届高三年级调研测试数学(理科)试题参考答案及评分标准
题号 答案 1 D 2 C 3 A 4 D 5 A 6 B 7 C 8 A

题号 答案

9 3

10 4

11

12

/>
13 36 1

14

15
? 3 3? , ?? ? ? 3 3 ?

1 3

?? 1,0?

16. (本小题满分 12 分) 解: (1)在△ ABC 中, A ? B ? C ? ? .所以 cos 所以 cos B ? 1 ? 2sin
2

A?C ? ?B B 3 ? cos ………2 分 ? sin ? . 2 2 2 3

B 1 ……5 分 ? .………7 分 2 3 1 (2)因为 a ? 3 , b ? 2 2 , cos B ? , 3
由余弦定理 b ? a ? c ? 2ac cos B ,……9 分得 c ? 2c ? 1 ? 0 .……11 分 解得 c ? 1 .……12 分
2 2 2 2

17. (本小题满分 12 分) 解: (1)由茎叶图可知,甲城市在 2013 年 9 月份随机抽取的 15 天中的空气质量类别为优或良的天数 为 5 天. …………………………………………………………………………………………………1 分 所以可估计甲城市在 2013 年 9 月份 30 天的空气质量类别为优或良的天数为 10 天.…………2 分 (2) X 的取值为 0,1,2,………………………………………………………………………………3 分 因为 P ? X ? 0 ? ?
0 2 1 2 0 C5 C10 3 C1 C5 C10 2 10 5C10 5 分 ,… 7 分 ? P X ? 1 ? ? P X ? 2 ? ? 9分 ? ? ? ? 2 2 2 C15 7 C15 21 C15 21

所以 X 的分布列为: 1 0 2 ……………………10 分 3 10 2 P 21 7 21 3 10 2 2 所以数学期望 EX ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? .…………………………………………………12 分 7 21 21 3

X

18. (本小题满分 14 分)
? (1)证明 1:因为 AB ? 2 BC , ?ABC ? 60 ,

在△ ABC 中,由余弦定理可得 AC ? 3BC .……………………………………………………2 分 所以 AC ? BC ? AB .
2 2 2

所以 AC ? BC .………………………………………………………………………………………3 分
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因为 AC ? FB , BF

BC ? B , BF 、 BC ? 平面 FBC ,

所以 AC ? 平面 FBC .………………………………………………………………………………4 分
? 证明 2:因为 ?ABC ? 60 ,设 ?BAC ? ? 0 ? ? ? 120 ,则 ?ACB ? 120 ? ? .

?

?

在△ ABC 中,由正弦定理,得

BC AB .…………………………………………1 分 ? sin ? sin ?120 ? ? ?

因为 AB ? 2 BC ,所以 sin 120 ? ? ? 2sin ? . 整理得 tan ? ?

?

?

3 ,所以 ? ? 30 .…………………………………………………………………2 分 3

所以 AC ? BC .………………………………………………………………………………………3 分 因为 AC ? FB , BF BC ? B , BF 、 BC ? 平面 FBC , 所以 AC ? 平面 FBC .………………………………………………………………………………4 分 (2)解法 1:由(1)知, AC ? 平面 FBC , FC ? 平面 FBC , 所以 AC ? FC . 因为平面 CDEF 为正方形,所以 CD ? FC . 因为 AC CD ? C ,所以 FC ? 平面 ABCD .……………………………………………………6 分 取 AB 的中点 M ,连结 MD , ME , 因为 ABCD 是等腰梯形,且 AB ? 2 BC , ?DAM ? 60 , 所以 MD ? MA ? AD .所以△ MAD 是等边三角形,且 ME

BF .…………………………7 分
E F

取 AD 的中点 N ,连结 MN , NE ,则 MN ? AD .………8 分 因为 MN ? 平面 ABCD , ED 因为 AD

FC ,所以 ED ? MN .
D N A M C B

ED ? D ,所以 MN ? 平面 ADE . ……………9 分 所以 ?MEN 为直线 BF 与平面 ADE 所成角. ……………10 分 因为 NE ? 平面 ADE ,所以 MN ? NE .…………………11 分
因为 MN ?

3 AD , ME ? MD2 ? DE 2 ? 2 AD ,…………………………………………12 分 2 MN 6 ? .……………………………………………………13 分 ME 4 6 . ………………………………………………14 分 4

在 Rt △ MNE 中,sin ?MEN ?

所以直线 BF 与平面 ADE 所成角的正弦值为

解法 2:由(1)知, AC ? 平面 FBC , FC ? 平面 FBC , 所以 AC ? FC . 因为平面 CDEF 为正方形,所以 CD ? FC . 因为 AC CD ? C ,所以 FC ? 平面 ABCD .……………………………………………………6 分
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所以 CA , CB , CF 两两互相垂直, 建立如图的空间直角坐标系 C ? xyz .………………………7 分
? 因为 ABCD 是等腰梯形,且 AB ? 2 BC , ?ABC ? 60

E

z

F

所以 CB ? CD ? CF . 不妨设 BC ? 1 ,则 B ? 0,1,0 ? , F ? 0,0,1? , A

?

3, 0, 0 ,
x A

?

D

C B y

? 3 1 ? ? 3 1 ? D? ? 2 ,? 2 ,0? ?,E? ? 2 , ? 2 ,1? ?, ? ? ? ?
所以 BF ? ? 0, ?1,1? , DA ? ?

? 3 1 ? ? 2 , 2 ,0? ? , DE ? ? 0,0,1? .………………………………………9 分 ? ?

? 3 y ? ?n ? DA ? 0, ? x ? ? 0, 设平面 ADE 的法向量为 n = ( x, y,z ) ,则有 ? 即? 2 2 ? ?n ? DE ? 0. ? z ? 0. ?
取 x ? 1 ,得 n ? 1, ? 3, 0 是平面 ADE 的一个法向量.………………………………………11 分 设直线 BF 与平面 ADE 所成的角为 ? , 则 sin ? ? cos? BF , n? ?

?

?

BF ? n BF n

?

? 0, ?1,1? ?1, ?
22

3, 0

??

6 .……………………………13 分 4

所以直线 BF 与平面 ADE 所成角的正弦值为 19. (本小题满分 14 分) 解: (1)因为 an ?1 ?

6 . ………………………………………………14 分 4

3an 1 1 2 ,所以 ? ? .…………………………………………………1 分 2an ? 1 an ?1 3an 3

所以

? 3 1 2 1 1? 1 ? 1 ? ? ? 1? .………3 分因为 a1 ? ,则 ? 1 ? .……4 分 5 a1 3 an ?1 3 ? an ? ?1 ? 2 1 ? 1? 是首项为 ,公比为 的等比数列.…………………………………………5 分 3 3 ? an ? 1 2 ?1? ?1 ? ? ? ? an 3 ?3?
n ?1

所以数列 ?

(2)由(1)知,

?

3n 2 a ? ,所以 .……………………………………7 分 n 3n ? 2 3n

假设存在互不相等的正整数 m , s , t 满足条件,

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则有 ?

? 3n 2 ? m ? t ? 2 s, a ? ………… 9 分由 与 ? as ? 1? ? ? am ? 1?? at ? 1? , 2 n n 3 ?2 ? ?? as ? 1? ? ? am ? 1?? at ? 1? .
2

? 3s ? ? 3m ?? 3t ? ? 1? ? ? m ? 1?? t ? 1? .……………………………………………………10 分 得? s ? 3 ? 2 ? ? 3 ? 2 ?? 3 ? 2 ?
即3
m ?t

? 2 ? 3m ? 2 ? 3t ? 32 s ? 4 ? 3s .……………………………………………………………11 分

m t s 因为 m ? t ? 2s ,所以 3 ? 3 ? 2 ? 3 .……………………………………………………………12 分

因为 3m ? 3t ? 2 3m?t ? 2 ? 3s ,当且仅当 m ? t 时等号成立, 这与 m , s , t 互不相等矛盾.……………………………………………………………………13 分 所以不存在互不相等的正整数 m , s , t 满足条件.……………………………………………14 分 20. (本小题满分 14 分) 解: (1)因为 f ? x ? ?
2

1 3 x ? ax , g ? x ? ? bx2 ? 2b ?1, 3

所以 f ? ? x ? ? x ? a ,g ? ? x ? ? 2bx .…………………………………………………………………1 分 因为曲线 y ? f ? x ? 与 y ? g ? x ? 在它们的交点 ?1, c ? 处有相同切线, 所以 f ?1? ? g ?1? ,且 f ??1? ? g ??1? 。

1 1 1 ? a ? b ? 2b ? 1 ,且 1 ? a ? 2b ,……………2 分解得 a ? , b ? .………3 分 3 3 3 1 3 1? a 2 x ? ax ? a ? a ? 0? , (2)当 a ? 1 ? 2b 时, h ? x ? ? x ? 3 2
即 所以 h? ? x ? ? x ? ?1 ? a ? x ? a ? ? x ? 1?? x ? a ? .…………………………………………………4 分
2

令 h? ? x ? ? 0 ,解得 x1 ? ?1, x 2 ? a ? 0 . 当 x 变化时, h ?? x ?, h? x ? 的变化情况如下表:

x
h ?? x ?

?? ?,?1?
?


?1
0 极大值

?? 1, a ?
?


a
0 极小值

?a,?? ?
?


h? x ?

所以函数 h ? x ? 的单调递增区间为 ?? ?,?1?, ?a,?? ? ,单调递减区间为 ?? 1, a ? .………………5 分 故 h ? x ? 在区间 ?? 2,?1? 内单调递增,在区间 ?? 1,0 ? 内单调递减.………………………………6 分
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?h ? ?2 ? ? 0, ? 从而函数 h ? x ? 在区间 ?? 2,0 ? 内恰有两个零点,当且仅当 ? h ? ?1? ? 0, ………………………7 分 ? ?h ? 0 ? ? 0.
? 8 ?? 3 ? 2 ?1 ? a ? ? 2a ? a ? 0, ? 1 ? 1 1? a ? 1? ? a ? a ? 0, 即 ?? ? 解得 0 ? a ? .所以实数 a 的取值范围是 ? 0, ? .………8 分 2 3 ? 3? ? 3 ? a ? 0. ? ? ?
(3)当 a ? 1 , b ? 0 时, h ? x ? ?

1 3 x ? x ?1. 3

所以函数 h ? x ? 的单调递增区间为 ?? ?,?1?, ?1,?? ? ,单调递减区间为 ?? 1,1? .

5 5 , h ?1? ? ? ,所以 h ? ?2? ? h ?1? .……………………………………………9 分 3 3 ①当 t ? 3 ? 1 ,即 t ? ?2 时,………………………………………………………………………10 分 1 3 ? ……………………………………………………………………11 分 ?h ? x ?? ? min ? h ? t ? ? 3 t ? t ? 1 . ②当 ?2 ? t ? 1 时, 5 ? ……………………………………………………………………………12 分 ?h ? x ?? ? min ? h ?1? ? ? 3 .
由于 h ? ?2 ? ? ? ③当 t ? 1 时, h ? x ? 在区间 ?t , t ? 3? 上单调递增,

1 3 ? ……………………………………………………………………13 分 ?h ? x ?? ? min ? h ? t ? ? 3 t ? t ? 1 .
综上可知,函数 h ? x ? 在区间 ?t , t ? 3? 上的最小值为

? ?h ? x ?? ? min

?1 3 t ? t ? 1, ? ?3 ?? ?? 5 , ? ? 3

t ? ? ??, ?2 ? t ? ? ?2,1? .

?1, ?? ? ,
……………………………………………14 分

21. (本小题满分 14 分)

x2 y2 解: (1)因为双曲线方程为 2 ? 2 ? 1 , a b
所以双曲线的渐近线方程为 y ? ? 因为两渐近线的夹角为 60 且

b x .……………………………………………………………1 分 a

b ? 1 ,所以 ?POF ? 30 . a

所以

b 3 ? tan 30 ? .……………………………………………………………………………2 分 a 3
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所以 a ? 3b . 因为 c ? 2 ,所以 a ? b ? 2 ,
2 2 2

l1

y

P A

O l2 l B

F

x

所以 a ? 3 , b ? 1 .

x2 ? y 2 ? 1.…………………………………………………………………4 分 所以椭圆 C 的方程为 3
(2)因为 l ? l1 ,所以直线 l 与的方程为 y ? 因为直线 l 2 的方程为 y ?

a ( x ? c ) ,其中 c ? a2 ? b2 .………………………5 分 b

b x, a

联立直线 l 与 l 2 的方程解得点 P ?

? a 2 ab ? , ? .………………………………………………………6 分 ? c c ?



| FA | ? ? ,则 FA ? ? AP .………………………………………………………………………7 分 | AP |

因为点 F ? c,0? ,设点 A? x0 , y0 ? ,则有 ? x0 ? c, y0 ? ? ? ?

? a2 ? ab ? x0 , ? y0 ? . c ? c ?

? ab c2 ? ?a2 解得 x0 ? , y0 ? .………………………………………………………………8 分 c ?1 ? ? ? c ?1 ? ? ?

? c ? ?a ? ? ? ?ab ? ? 1 . x2 y 2 因为点 A? x0 , y0 ? 在椭圆 2 ? 2 ? 1 上,所以 2 2 a b a 2c 2 ?1 ? ? ? b2c 2 ?1 ? ? ?
2 2 2 2

即 c ? ?a
2

?

2 2

?

? ? 2 a 4 ? ?1 ? ? ? a 2c 2 .
2

等式两边同除以 a 得 (e ? ? ) ? ? ? e (1 ? ? ) , e ? (0,1). ……………………………………10 分
4

2

2

2

2

2

所以 ? ?
2

e2 ? e4 2 ? ? ? ? ? 2 ? e2 ? ? ? 3 ………………………………………………………11 分 2 2?e 2 ? e2 ? ? 2 ?2 ? e ? ? 2 ? e
2
2

? ?2

2

? 3 ? 3? 2 2 ?

?

2 ? 1 .……………………………………12 分

?

2

所以当 2 ? e ?

2 ,即 e ? 2 ? 2 时, ? 取得最大值 2 ? 1 .…………………………13 分 2 ? e2



| FA | 的最大值为 2 ? 1 .………………………………………………………………………14 分 | AP |

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