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高三专题数列试题及答案


数列测试
一、选择题 1、已知等比数列 ?an ? 的各项均为正数,前 n 项之积为 Tn ,若 T5 = 1 ,则必有( A. a1 =1 B . a 3 =1 C. a4 =1 D. a5 =1 ) )

2、已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? p ? 2 n ? 2 , ?an ? 是等比数列的充要条件是( A. p ? 1 B

p?2 C. p ? ?1 D. p ? ?2 )

3、已知等差数列 {an } 的公差为 ?2 ,且 a2 , a4 , a5 成等比数列,则 a2 等于( A、-4 B、-6 C、-8 D、8

4、记等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3=2,S6=18,则 A. - 3 B·5 C 一 31 D. 33

S10 等于( S5



5、在等差数列 {an } 中, a3 ? a9 ? 27 ? a6 , Sn 表示数列 {an } 的前 n 项和,则 S11 ? A. 18 二、填空题 6、已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,对任意 n∈N*都有 Sn = 值为______,k 的的值为________. 7、 S n 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 S1 ? 1 , S 2 ? 4 ,则 an ? . B. 99 C. 198 D. 297

2 1 a n ? ,且 1<Sk<9,则 a1 的 3 3

8、在由正数组成的等比数列 ?an ? 中, a1 ? a2 ? 1, a3 ? a4 ? 4, 则 a5 ? a6 ? ___. 三、解答题。 9 、 a 2 , a5 是 方 程 x
2

? 12 x ? 27 ? 0 的 两 根 , 数 列 ?bn ? 的 前 n 项 和 为 Tn , 且

Tn ? 1 ?

1 bn n ? N ? 2

?

?

(1)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (2)记 cn = an bn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 S n .

1

10、在等比数列{an}中,an>0 (n ? N ) ,公比 q ? (0,1),且 a1a5 + 2a3a5 +a 2a8=25, a3 与 as 的等比中项为 2。 (1)求数列{an}的通项公式;


(2)设 bn=log2 an, 数列 {bn} 的前 n 项和为 Sn 当

S S1 S 2 ? ? ? ? ? ? n 最大时,求 n 的值。 1 2 n

11、 已知函数 f ( x ) ? x ?
2

1 1 x ? , f ?( x ) 为函数 f ( x) 的导函数. 若数列 {an } 满足:a1 ? 1 , 2 4

,求数列 {an } 的通项 an ; an?1 ? f ?(an ) ? f ?(n) ( n ? N ? )

12、设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , a1 ? 1 ,且对任意正整数 n ,点 ?an?1 , S n ? 在直线

2 x ? y ? 2 ? 0 上. 求数列 ?an ? 的通项公式;

13。 . 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,对任意的正整数 n ,都有 an ? 5Sn ? 1 成立,记

2

bn ?

4 ? an (n ? N * ) 。 1 ? an

(I)求数列 ?an ? 与数列 ?bn ? 的通项公式;

(II)设数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Rn ,是否存在正整数 k ,使得 Rn ? 4k 成立?若存在,找 出一个正整数 k ;若不存在,请说明理由;

14 设数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 已知 a1 ? 1, Sn?1 ? 4an ? 2 (I)设 bn ? an?1 ? 2an ,证明数列 {bn } 是等比数列 (II)求数列 {an } 的通项公式。

15 等比数列{ an }的前 n 项和为 s n ,已知 S1 , S3 , S2 成等差数列 (1)求{ an }的公比 q; (2)求 a1 - a3 =3,求 s n

3

1’ a2 ? 2, an+2= 16。已知数列 ?an } 满足, a1=

an ? an ?1 ,n? N*. 2
(Ⅱ)求 ?an } 的通项公式。

? ? ? 令 bn ? an?1 ? an ,证明: {bn} 是等比数列;

17。已知 a1 ? 1, a2 ? 4, an? 2 ? 4an?1 ? an , bn ?

an?1 ,n? N? . an

(Ⅰ)求 b1 , b2 , b3 的值; (Ⅱ)设 cn ? bn bn?1 , Sn 为数列 ?cn ? 的前 n 项和,求证: Sn ? 17n
.

数列测试参考答案
选择题:1-5、B D D D B 填空题:6、-1,4 解答题: 9、解:(1)由 a2 ? a5 ? 12, a2 a5 ? 27.且 d ? 0 得 a2 ? 3, a5 ? 9 2分 7、 2n ? 1 8、16

?d ?

a5 ? a 2 ? 2 , a1 ? 1 ? an ? 2n ? 1 n ? N ? 3

?

?

4分

在 Tn ? 1 ?

1 2 1 1 bn 中,令 n ? 1, 得 b1 ? . 当 n ? 2 时,T n = 1 ? bn , Tn ?1 ? 1 ? bn ?1 , 3 2 2 2

两式相减得 bn ?

b 1 1 1 bn ?1 ? bn ,? n ? ?n ? 2? 2 2 bn ?1 3

6分

4

2?1? ? bn ? ? ? 3 ? 3?

n ?1

?

2 n? N? . n 3

?

?

8分

(2) c n ? ?2n ? 1? ?

2 4n ? 2 ? , 3n 3n

9分

5 2n ? 1 ? S 3 2n ? 3 2n ? 1 ? ?1 3 ?1 ? S n ? 2? ? 2 ? 3 ? ? ? n ? , n ? 2? 2 ? 3 ? ? ? ? n?1 ? , 3 3 ? 3 3 3n 3 ?3 3 ?3 ?

10 分

? ? 1? 1 ? 2 ? ?1 ? n ?1 ? ? ?1 ? 1 2 1 1 ? 2n ? 1? 1 9 ? 3 ? 2n ? 1 ? ? S n ? 2? ? 2? 2 ? 3 ? ? ? n ? ? n?1 ? =2 ? ? ? n ?1 ? 1 3 3 3 3 ? 3 ? ?3 ? ?3 ? 3 1? ? ? 3 ? ?
= 2?

? 1 1 1 2n ? 1 ? 4 4 n ? 4 ? ? n ? n?1 ? ? ? n?1 , 3 3 ?3 3 3 ? 3
2n ? 2 3n
14 分

13 分

? Sn ? 2 ?

2 2 10、解: (1)因为 a1a5 + 2a3a5 +a 2a8=25,所以, a3 + 2a3a5 + a5 =25

又 an>o,…a3+a5=5,…………………………2 分 又 a3 与 a5 的等比中项为 2,所以,a3a5=4 而 q ? (0,1) ,所以,a3>a5,所以,a3=4,a5=1, q ?

1 ,a1=16,所以, 2

?1? an ? 16 ? ? ? ?2?

n ?1

? 25?n …………………………6 分

(2)bn=log2 an=5-n,所以,bn+1-bn=-1, 所以,{bn}是以 4 为首项,-1 为公差的等差数列。 。 。 。 。 。 。 。 。9 分

n(9 ? n) S n 9 ? n , ? 2 n 2 Sn S S 所以,当 n≤8 时, >0,当 n=9 时, n =0,n>9 时, n <0, n n n S S S 当 n=8 或 9 时, 1 ? 2 ? ? ? ? ? n 最大。 …………………………12 分 1 2 n 1 11、解 f ?( x) ? 2 x ? , …………………………1 分 2 1 1 ? an ?1 ? (2an ? ) ? (2n ? ) ? 2an ? 2n ? 1 即 2 2
所以, S n ?

an?1 ? 2(n ? 1) ? 1 ? 2(an ? 2n ? 1) . a1 ? 1 ,

…………………………3 分

? 数列 {an ? 2n ? 1} 是首项为 4 ,公比为 2 的等比数列.

?an ? 2n ? 1 ? 4 ? 2n?1 ,即
5

an ? 2n?1 ? 2n ?1 .
12、解:由题意可得: 2an?1 ? S n ? 2 ? 0.

…………………………5 分 ① ② …… 1 分

n ? 2 时, 2an ? S n?1 ? 2 ? 0.
①─②得 2an?1 ? 2an ? an ? 0 ?

an?1 1 ? ?n ? 2? , an 2
…………………… 3 分
n?1

? a1 ? 1, 2a2 ? a1 ? 2 ? a2 ?

1 2

1 ?1? ? ?an ? 是首项为 1 ,公比为 的等比数列,? an ? ? ? . ……………… 4 分 2 ?2? 1 4

13 (I)当 n ? 1 时, a1 ? 5S1 ? 1,? a1 ? ?



an ? 5Sn ? 1, an?1 ? 5Sn?1 ? 1

? an?1 ? an ? 5an?1 ,即

1 1 an?1 1 ? ? ∴数列 ?an ? 是首项为 a1 ? ? ,公比为 q ? ? 的等比数 4 4 an 4

1 n 列,∴ an ? (? ) , bn ? 4

1 4 ? (? ) n 4 (n ? N * ) 1 n 1 ? (? ) 4

1 4 ? (? ) n 5 4 ? 4? (II)不存在正整数 k ,使得 Rn ? 4k 成立。证明由(I)知 bn ? 1 (?4) n ? 1 1 ? (? ) n 4

5 5 20 15? 16k ? 40 b2k ?1 ? b2k ? 8 ? ? ? 8? k ? k ? 8? k ? 8. k (?4)2 k ?1 ? 1 (? 4)2k ? 1 16 ? 1 16 ? 4 (16 ? 1)(16 ? 4) 5
∴当 n 为偶数时,设 n ? 2m(m ? N ? ) ∴ Rn ? (b1 ? b2 ) ? (b3 ? b4 ) ?

? (b2m?1 ? b2m ) ? 8m ? 4n
?

当 n 为奇数时,设 n ? 2m ?1(m ? N ) ∴ Rn ? (b1 ? b2 ) ? (b3 ? b4 ) ?

? (b2m?3 ? b2m?2 ) ? b2m?1 ? 8(m ?1) ? 4 ? 8m ? 4 ? 4n
∴不存在正整数 k ,使得 Rn ? 4k 成立。

∴对于一切的正整数 n,都有 Rn ? 4k

14解由 a1 ? 1, 及 Sn?1 ? 4an ? 2 , 有 a1 ? a2 ? a 4 , 1? 2 由 Sn?1 ? 4an ? 2 , . . .①

a2 ? 3 a1 ? 2? 5 ,? b ? ? ? 1 a 2 2a 1 3

则当 n ? 2 时,有 Sn ? 4an?1 ? 2 . . . . .②
6

②-①得 an?1 ? 4an ? 4an?1 ,?an?1 ? 2an ? 2(an ? 2an?1 ) 又

bn ? an?1 ? 2an ,?bn ? 2bn?1 ?{bn } 是首项 b1 ? 3 ,公比为2的等比数列.
an ?1 an 3 ? ? 2n ?1 2n 4

(II)由(I)可得 bn ? an?1 ? 2an ? 3 ? 2n?1 ,?

a 1 3 } 是首项为 ,公差为 的等比数列. ? 数列 { n n 2 4 2 a 1 3 3 1 ? ? (n ? 1 ) ? n ? , an ? (3n ?1) ? 2n?2 ? n n 2 2 4 4 4
15解: (Ⅰ)依题意有

a1 ? (a1 ? a1q) ? 2(a1 ? a1q ? a1q 2 )
1 2

2 由于 a1 ? 0 ,故 2q ? q ? 0 又 q ? 0 ,从而 q ? -

( (Ⅱ)由已知可得 a1 ? a 1 ? ) ? 3
2

1 2

故 a1 ? 4

1 n ( 4 1? (? ) ) 8 1 n 2 从而 S n ? ? ( 1? (? ) ) 1 3 2 1? (? ) 2
16(1)证 b1 ? a2 ? a1 ? 1, 当 n ? 2 时, bn ? an ?1 ? an ? 所以 ?bn ? 是以 1 为首项, ?

an ?1 ? an 1 1 ? an ? ? (an ? an ?1 ) ? ? bn ?1, 2 2 2

1 为公比的等比数列。 2 1 n ?1 (2)解由(1)知 bn ? an ?1 ? an ? (? ) , 2
当 n ? 2 时, an ? a1 ? (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ?

1 ? (an ? an?1 ) ? 1 ? 1 ? (? ) ? 2

1 ? (? ) n ? 2 2

1 1 ? (? ) n ?1 2 1 5 2 1 2 ? 1 ? [1 ? (? ) n ? 2 ] ? ? ( ? ) n ?1 , ? 1? 1 3 2 3 3 2 1 ? (? ) 2 5 2 1 1?1 当 n ? 1 时, ? (? ) ? 1 ? a1 。 3 3 2 5 2 1 n ?1 * 所以 an ? ? ( ? ) ( n ? N ) 。 3 3 2
.17。解: (Ⅰ)

a2 ? 4, a3 ? 17, a4 ? 72 ,所以 b1 ? 4.b2 ?
an? 2 a 1 ? 4 ? n 即 bn ?1 ? 4 ? an?1 an?1 bn

17 72 , b3 ? 4 17

(Ⅱ)由 an?2 ? 4an?1 ? an 得

所以当 n ≥ 2 时, bn ? 4 于是 c1 ? b1 , b2 ? 17, cn ? bnbn?1 ? 4bn ? 1 ? 17

(n ≥ 2)
7

所以 Sn ? c1 ? c2 ?

? cn ? 17n

8


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