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高考数学圆锥曲线的经典性质50条


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椭圆与双曲线的对偶性质--(必背的经典结论)
高三数学备课组
1. 2.

双曲线
点 P 处的切线 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的内角. PT 平分△PF1F2 在点 P 处的内角,则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长 轴

的两个端点. 3. 4. 5. 6. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切:P 在右支;外切:P 在左支)


1. 2. 点 P 处的切线 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的外角.



PT 平分△PF1F2 在点 P 处的外角,则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的 两个端点.

3. 4. 5.

以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
2 2

x0 x y0 y x y ? 2 ? 1. ? 2 ? 1 上,则过 P 0 的椭圆的切线方程是 2 a2 b a b 2 2 x y 6. 若 P 0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1 外 ,则过 Po 作椭圆的两条切线切点为 P1、P2,则切点弦 P1P2 的直线方程 a b x0 x y0 y 是 2 ? 2 ? 1. a b 2 x y2 7. 椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的左右焦点分别为 F1,F 2,点 P 为椭圆上任意一点 ?F 1PF2 ? ? ,则椭圆的焦点 a b ? 2 角形的面积为 S ?F1PF2 ? b tan . 2 2 2 x y 8. 椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的焦半径公式: a b | MF1 |? a ? ex0 , | MF2 |? a ? ex0 ( F1 (?c,0) , F2 (c,0) M ( x0 , y0 ) ).
若P 0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 9. 设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦 点 F 的椭圆准线于 M、N 两点,则 MF⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q, A1、A2 为椭圆长轴上的顶点,A1P 和 A2Q 交于点 M,A2P 和 A1Q 交于点 N,则 MF⊥NF. 11. AB 是椭圆 即 K AB

7.

8.

x0 x y0 y x2 y 2 ? 2 ? 1. ? 2 ? 1 (a>0,b>0)上,则过 P 0 的双曲线的切线方程是 2 a2 b a b 2 2 x y 若P 0 ( x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)外 ,则过 Po 作双曲线的两条切线切点为 P1、P2,则 a b xx y y 切点弦 P1P2 的直线方程是 02 ? 02 ? 1 . a b 2 2 x y 双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>o)的左右焦点分别为 F1,F 2,点 P 为双曲线上任意一点 ?F 1PF2 ? ? , a b ? 2 则双曲线的焦点角形的面积为 S ?F1PF2 ? b co t . 2 2 2 x y 双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>o)的焦半径公式:( F1 (?c,0) , F2 (c,0) a b 当 M ( x0 , y0 ) 在右支上时, | MF 1 |? ex0 ? a , | MF 2 |? ex0 ? a .
若P 0 ( x0 , y0 ) 在双曲线 当 M ( x0 , y0 ) 在左支上时, | MF1 |? ?ex0 ? a , | MF2 |? ?ex0 ? a 设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、Q 两点,A 为双曲线长轴上一个顶点,连结 AP 和 AQ 分别 交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M、N 两点,则 MF⊥NF.

9.

10. 过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P、Q, A1、A2 为双曲线实轴上的顶点,A1P 和 A2Q 交于 点 M,A2P 和 A1Q 交于点 N,则 MF⊥NF. 11. AB 是双曲 线

x2 y 2 b2 ? ? 1 k ? k ? ? 的不平行于对称轴的弦, M 为 AB 的中点,则 , ( x , y ) OM AB 0 0 a 2 b2 a2 b 2 x0 ?? 2 。 a y0

K OM ? K AB

x2 y 2 ? ? 1 ( a > 0,b > 0 )的 不平 行于对 称轴的弦 , M ( x0 , y0 ) 为 AB 的中 点,则 a 2 b2 b 2 x0 b 2 x0 ? 2 ,即 K AB ? 2 。 a y0 a y0

x0 x y0 y x0 2 y0 2 x2 y 2 ? 2 ? 2 ? 2 . 12. 若 P 0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1 内,则被 Po 所平分的中点弦的方程是 a b a2 b a b x2 y 2 x 2 y 2 x0 x y0 y ? 2 . 13. 若 P 0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1 内,则过 Po 的弦中点的轨迹方程是 2 ? 2 ? a b a b a2 b

x2 y 2 ? ? 1 ( a > 0,b > 0 ) 内 , 则 被 Po 所 平 分 的 中 点 弦 的 方 程 是 12. 若 P 0 ( x0 , y0 ) 在 双 曲 线 a 2 b2 x0 x y0 y x0 2 y0 2 ? 2 ? 2 ? 2 . a2 b a b x2 y 2 ? ? 1 ( a > 0,b > 0 ) 内 , 则 过 Po 的 弦 中 点 的 轨 迹 方 程 是 13. 若 P 在 双 曲 线 ( x , y ) 0 0 0 a 2 b2 x 2 y 2 x0 x y0 y ? ? 2 ? 2 . a 2 b2 a b

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椭圆与双曲线的对偶性质--(会推导的经典结论)
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9.


2 2



x2 y 2 ? ? 1(a>b>0)的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于 M,N 两点,弦 MN 的垂直平分线交 x a 2 b2 | PF | e 轴于 P,则 ? . | MN | 2
过椭圆

1.

2.

x y ? 2 ? 1 (a>b>o)的两个顶点为 A1 (?a, 0) , A2 (a,0) ,与 y 轴平行的直线交椭圆于 P1、P2 时 2 a b x2 y 2 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是 2 ? 2 ? 1 . a b 2 2 x y 过椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>0, b>0)上任一点 A( x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于 B,C 两点, a b b2 x 则直线 BC 有定向且 kBC ? 2 0 (常数). a y0
椭圆 若 P 为椭圆

x2 y 2 10. 已知椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a>b>0) ,A、B、是椭圆上的两点,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点 a b a 2 ? b2 a 2 ? b2 ? x0 ? . P( x0 ,0) , 则 ? a a
11. 设 P 点是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ( a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1、F2 为其焦点记 ?F1PF2 ? ? ,则 a 2 b2

? 2b2 2 (1) | PF1 || PF2 |? .(2) S ?PF1F2 ? b tan . 2 1 ? cos ?
x2 y 2 12. 设 A 、 B 是 椭 圆 2 ? 2 ? 1 ( a > b > 0 ) 的 长 轴 两 端 点 , P 是 椭 圆 上 的 一 点 , ?PAB ? ? , a b 2ab2 | cos ? | ?PBA ? ? , ?BPA ? ? , c 、 e 分 别 是 椭 圆 的 半 焦 距 离 心 率 , 则 有 (1) | PA |? 2 2 .(2) a ? c co s2 ? 2a 2 b 2 2 cot ? . tan ? tan ? ? 1 ? e .(3) S?PAB ? 2 b ? a2 x2 y 2 13. 已知椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a>b>0)的右准线 l 与 x 轴相交于点 E ,过椭圆右焦点 F 的直线与椭圆相交 a b
于 A、B 两点,点 C 在右准线 l 上,且 BC ? x 轴,则直线 AC 经过线段 EF 的中点. 14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线 垂直. 15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率). (注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.) 17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e. 18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.

3.

x2 y 2 ? ? 1 ( a > b > 0 ) 上 异 于 长 轴 端 点 的 任 一 点 ,F1, F a 2 b2
a?c ? ? ? tan co t . a?c 2 2

2

是 焦 点 , ?PF1F2 ? ? ,

?PF2 F1 ? ? ,则
4.

x2 y 2 设椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的两个焦点为 F1、F2,P(异于长轴端点)为椭圆上任意一点,在△PF1F2 a b
中,记 ?F1PF2 ? ? , ?PF1F2 ? ? , ?F 1F2 P ? ? ,则有

sin ? c ? ? e. sin ? ? sin ? a

5.

x2 y 2 若椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,左准线为 L,则当 0<e≤ 2 ? 1 时,可在 a b
椭圆上求一点 P,使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项.

6.

P 为椭圆

x y ? 2 ? 1 ( a > b > 0 ) 上 任 一 点 ,F1,F2 为 二 焦 点 , A 为 椭 圆 内 一 定 点 , 则 2 a b

2

2

2a? | AF2 |?| PA | ? | PF1 |? 2a? | AF1 | ,当且仅当 A, F2 , P 三点共线时,等号成立.
7. 椭 圆

( x ? x0 )2 ( y ? y0 )2 ? ? 1 与 直 线 Ax ? By ? C ? 0 有 公 共 点 的 充 要 条 件 是 a2 b2 A2a2 ? B2b2 ? ( Ax0 ? By0 ? C)2 .
2 2

8.

已知椭圆

x y ? 2 ? 1 (a>b>0) , O 为坐标原点, P 、 Q 为椭圆上两动点,且 OP ? OQ . ( 1 ) 2 a b 4a 2 b 2 a 2b 2 1 1 1 1 2 2 ? ? ? ;(2)|OP| +|OQ| 的最大值为 2 2 ;(3) S?OPQ 的最小值是 2 2 . a ?b a ?b | OP |2 | OQ |2 a 2 b2

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椭圆与双曲线的对偶性质--(会推导的经典结论)
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9.

双曲线
1.

x2 y 2 ? ? 1(a>0,b>0)的右焦点 F 作直线交该双曲线的右支于 M,N 两点,弦 MN 的垂 a 2 b2 | PF | e 直平分线交 x 轴于 P,则 ? . | MN | 2
过双曲线

2.

x y ? 2 ? 1(a>0,b>0)的两个顶点为 A1 (?a, 0) , A2 (a,0) ,与 y 轴平行的直线交双曲线于 2 a b x2 y 2 P1、P2 时 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是 2 ? 2 ? 1 . a b 2 2 x y 过双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>o)上任一点 A( x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于 a b b2 x B,C 两点,则直线 BC 有定向且 kBC ? ? 2 0 (常数). a y0
双曲线 若 P 为双曲线

2

2

3.

x2 y 2 ? ?1 (a>0,b>0) 右 (或左) 支上除顶点外的任一点,F1, F 2 是焦点, ?PF1F2 ? ? , a 2 b2
c?a ? ? c?a ? ? ? tan co t (或 ? tan co t ). c?a 2 2 c?a 2 2

?PF2 F1 ? ? ,则
4.

x2 y 2 10. 已知双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0),A、B 是双曲线上的两点,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相 a b a 2 ? b2 a 2 ? b2 交于点 P( x0 ,0) , 则 x0 ? 或 x0 ? ? . a a x2 y 2 11. 设 P 点是双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0) 上异于实轴端点的任一点,F1、 F2 为其焦点记 ?F1PF2 ? ? , a b ? 2b2 2 则(1) | PF1 || PF2 |? .(2) S ?PF1F2 ? b cot . 2 1 ? cos ? 2 2 x y 12. 设 A、B 是双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的长轴两端点,P 是双曲线上的一点, ?PAB ? ? , a b 2ab2 | cos ? | ?PBA ? ? , ?BPA ? ? ,c、e 分别是双曲线的半焦距离心率,则有(1) | PA |? 2 2 . | a ? c co s2 ? | 2a 2 b 2 2 cot ? . (2) tan ? tan ? ? 1 ? e .(3) S?PAB ? 2 b ? a2 x2 y 2 13. 已知双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的右准线 l 与 x 轴相交于点 E ,过双曲线右焦点 F 的直线与 a b
双曲线相交于 A、B 两点,点 C 在右准线 l 上,且 BC ? x 轴,则直线 AC 经过线段 EF 的中点. 14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线

x2 y 2 设双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的两个焦点为 F1、F2,P(异于长轴端点)为双曲线上任意一点, a b
在△PF1F2 中,记 ?F1PF2 ? ? , ?PF1F2 ? ? , ?F 1F2 P ? ? ,则有
2 2

sin ? c ? ? e. ?(sin ? ? sin ? ) a

5.

若双曲线

x y ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,左准线为 L,则当 1<e≤ 2 ? 1 2 a b

必与切线垂直. 15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂 直. 16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率). (注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点). 17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比 e. 18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.

时,可在双曲线上求一点 P,使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项. 6.

x2 y 2 P 为双曲 线 2 ? 2 ? 1 ( a > 0,b > 0 ) 上任一 点 ,F1,F2 为 二 焦点 , A 为双曲 线内一 定点 ,则 a b

| AF2 | ?2a ?| PA | ? | PF1 | ,当且仅当 A, F2 , P 三点共线且 P 和 A, F2 在 y 轴同侧时,等号成立.
7.

8.

x2 y 2 ? ? 1 ( a > 0,b > 0 ) 与 直 线 Ax ? By ? C ? 0 有 公 共 点 的 充 要 条 件 是 a 2 b2 A2 a 2 ? B 2b2 ? C 2 . x2 y 2 已知双曲线 2 ? 2 ? 1 (b>a >0) ,O 为坐标原点,P、Q 为双曲线上两动点,且 OP ? OQ . a b
双曲线 (1)

4a 2b 2 a 2b 2 1 1 1 1 2 2 ? ? ? ( ; 2 ) |OP| +|OQ| 的最小值为 ( ; 3 ) 的最小值是 . S ?OPQ b2 ? a2 b2 ? a2 | OP |2 | OQ |2 a 2 b 2


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