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杨浦培训机构新王牌高中高二期末复习卷-学生版


高二数学第二学期期终试卷(理科卷)
本试卷共有 23 道试题,满分 150 分,考试时间 120 分钟。

一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接 填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1. 抛物线 x2 ? y 的准线方程是
2x x 2. 方程 C24 的解为 ? C24
2

. .

3. 在 (3x ? 1)5 的展开式中,设各项的系数和为 a,各项的二项式系数和为 b,则

a = b

. .

4. 若圆锥的侧面展开图是半径为 2、圆心角为 90?的扇形,则这个圆锥的全面积是

5. 某同学有同样的画册 2 本,同样的集邮册 3 本,从中取出 4 本赠送给 4 位朋友,每位朋友 1 本,则不同的赠送方法共有 种.

6. 将 4 个不同的球任意放入 3 个不同的盒子中,则每个盒子中至少有 1 个球的概率 为 . (结果用最简分数表示)

?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? 7. 已知 F1 ? i ? 2 j ? 3k , F2 ? ?2i ? 3 j ? k , F3 ? 3i ? 4 j ? 5k ,若 F1 、 F2 、 F3 共同作用于一个
物体上,使物体从点 M 1 (1,-2,1)移到点 M 2 (3,1,-2) ,则合力所做的功为
2

.

8. 抛物线 y ? 4 x 的准线与 x 轴的交点为 K,抛物线的焦点为 F,M 是抛物线上的一点,且
| FM |? 2 | FK | ,则△MFK 的面积为



9. 在圆周上有 10 个等分点,以这些点为顶点,每 3 个点可以构成一个三角形,如果随机选 择了 3 个点,刚好构成直角三角形的概率是 10. 如图,在由二项式系数所构成的杨辉三角形中, 第_____行中从左至右第 14 与第 15 个数的比为 2 : 3 . .
第0行 第1行 第2 行 第3行 第4行 第5行 …… 1 1 1 1 1 1 4 3 6 2 3 4 1 1 1 1

5 10 10 5 1 …… ……

11. 边长分别为 a 、 b 的矩形,按图中所示虚线剪裁后, 可将两个小矩形拼接成一个正四棱锥的底面,其余恰好拼接 成该正四棱锥的 4 个侧面,则

b 的取值范围是 a



12. 已知平面 α 截一球 O 得圆 M,圆 M 的半径为 r,圆 M 上两点 A、B 间的弧长为

?r
2

,又球

心 O 到平面 α 的距离为 r,则 A、B 两点间的球面距离为
2


3 4

13. 若对于任意实数 x , 都有 x4 ? a0 ? a1 ? x ? 2? ? a2 ? x ? 2? ? a3 ? x ? 2? ? a4 ? x ? 2? , 则 a3 的 值为 .

14. 给 n 个自上而下相连的正方形着黑色或白色. 当

n ? 4 时,在所有不同的着色方案中,黑色正方形互不
相邻的着色方案如图所示: 由此推断,当 n ? 6 时,黑色正方形互不相邻的着色方 案共有 方案共有 种, 至少有两个黑色正方形相邻的着色 种. (直接用数字作答)

二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答 题纸的相应编号上,填上正确的答案,选对得 5 分,否则一律得零分. 15. 经过原点且与抛物线 y ? ( x ? 1)2 ? A. 0 B. 1

3 只有一个公共点的直线有多少条? ( 4
C. 2 D. 3

)

16. 正四面体 ABCD 的表面积为 S ,其中四个面的中心分别是 E 、 F 、 G 、 H .设四面体

EFGH 的表面积为 T ,则
A.

T 等于 S
1 9
C.

(

)

4 9

B.

1 4

D.

1 3

17. 甲乙两人一起去游园,他们约定,各自独立地从 1 到 6 号景点中任选 4 个进行游览,每 个景点参观 1 小时,则最后一小时他们同在一个景点的概率是 A. ( D. )

1 36

B.

1 9

C.

5 36

1 6

18. 给出下列四个命题: (1) 若平面 ? 上有不共线的三点到平面 ? 的距离相等,则 ? // ? ; (2) 两条异面直线在同一平面内的射影可能是两条平行直线; (3) 两条异面直线中的一条平行于平面?,则另一条必定不平行于平面?; (4) a、b 为异面直线,则过 a 且与 b 平行的平面有且仅有一个. 其中正确命题的个数是 A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 ( )

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定 区域内写出必要的步骤 . 19. (本题满分 12 分) 已知矩形 ABCD 内接于圆柱下底面的圆 O , PA 是圆柱的母线,若
AB ? 6 , AD ? 8 ,异面直线 PB 与 CD 所成的角为 arctan 2 ,求此圆柱的
A
O

P

D

体积.

B

C

20. (本题满分 14 分)本题共有 4 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 3 分,第 3 小 题满分 4 分,第 4 小题满分 4 分.

m 个元素环绕在一条封闭曲线上的排列,称为环状排列.已知 m 个不同元素的环状排列的
所有种数为 (m ? 1)! .请利用此结论来解决下列问题,要求列式并给出计算结果. (1)从 10 个不同的元素中选出 8 个元素的环状排列的所有种数为多少? (2)某班 8 个班干部中有 1 个班长,2 个副班长,现在 8 个干部围坐一张圆桌讨论班级事务, 则分别满足下列条件的此 8 人的坐法有多少种? (i)班长坐在两个副班长中间; (ii)两个副班长不能相邻而坐; (iii)班长有自己的固定座位.

P
21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分, 第 2 小题满分 7 分 . 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, PA ? 平面 ABCD ,AP ? AB ? 2 ,AD ? 4 ,E、F 依次是 PB、PC 的 B 中点. (1)求直线 EC 与平面 PAD 所成的角(结果用反三角函数值表示); (2)求三棱锥 P ? AFD 的体积.

E A

F D C

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 题满分 6 分. 如图,点 P 为斜三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的侧棱 BB1 上一 点, PM ? BB1 交 AA1 于点 M , PN ? BB1 交 CC1 于点 N . (1)求证: CC1 ? MN ; (2)在任意 ?DEF 中有余弦定理:
B1 A1 C1 B P M N A C

DE 2 ? DF 2 ? EF 2 ? 2DF ? EF cos ?DFE .拓展到空间,类比三角形的余弦定理,写出斜三
棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式,并予以证明. (3)在(2)中,我们看到了平面图形中的性质类比到空间图形的例子,这样的例子还有不 少.下面请观察平面勾股定理的条件和结论特征,试着将勾股定理推广到空间去. 勾股定理的 类比 条件 结论 三角形 ABC 四面体 O-ABC

AB⊥AC AB2+AC2=BC2

OA、OB、OC 两两垂直


请在答题纸上完成上表中的类比结论,并给出证明.

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 题满分 8 分. 在平面直角坐标系中, O 为坐标原点. 已知曲线 C 上任意一点 P( x , y ) (其中 x ? 0 ) 到定点 F (1, 0) 的距离比它到 y 轴的距离大 1. (1)求曲线 C 的轨迹方程;

??? ? ??? ? (2)若过点 F (1, 0) 的直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 不同的两点,求 OA ? OB 的值;
(3)若曲线 C 上不同的两点 M 、 N 满足 OM ? MN ? 0 ,求 ON 的取值范围.

???? ? ???? ?

????


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