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高一数学必修四(公式总结1)


高一数学公式总结
基本三角函数 Ⅰ

?

? ?Ⅰ ? ?Ⅱ ? ?Ⅲ ? ?Ⅳ
Ⅱ ? 终边落在 x 轴上的角的集合:

? ? ? ?
2 2 2 2

? 2
? Ⅰ、Ⅲ ? Ⅰ、Ⅲ ? Ⅱ、Ⅳ ? Ⅱ、Ⅳ

?? ? ? ??,?

? z? ? 终边落在 y 轴上的角的集合:

? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? , ? ? z ? ? 终边落在坐标轴上的角的集合: ?? ? ? ? , ? ? z ? 2 2 ? ? ? ?
l ? ? r

3 60度 ? 2? 弧度 1 ?
?

?

?
1 80 .

S ?

1 1 l r ? ? r2 2 2

弧度 1 80

1 弧度 ?

?



? 基本三角函数符号记 忆: “一全,二正弦,三切,四 余弦” 或者“一全正,二正弦,三两 切,四余弦”

1 80? ? ? 弧度

tan? cot? ? 1 ?倒数关系: Sin?Csc ? ? 1 Cos?Sec? ? 1

正六边形对角线上对应的三角函数之积为 1

tan2 ? ? 1 ? Sec2?
平方关系: Sin2? ? Cos 2? ? 1

三个倒立三角形上底边对应三角函数的平方何等与对 边对应的三角函数的平方

1 ? Cot 2? ? Csc 2? 乘积关系: Sin? ? tan ?Cos ? , 顶点的三角函数等于相邻的点对应的函数乘积
Ⅲ 诱导公式? 终边相同的角的三角函数值相等
Sin?? ? 2k? ? ? Sin? , k ? z Cos?? ? 2k? ? ? Cos? , k ? z t an?? ? 2k? ? ? t an? , k ? z

?

角?与角 ? ?关于x轴对称

Sin?? ? ? ? ? Sin? Cos?? ? ? ? Cos? t an?? ? ? ? ? t an?

1

?

角? ? ?与角?关于y轴对称

Sin?? ? ? ? ? Sin? Cos?? ? ? ? ? ?Cos? t an?? ? ? ? ? ? t an?

?

角? ? ?与角?关于原点对称 Sin??

? ? ? ? ? Sin? Cos?? ? ? ? ? ?Cos? t an?? ? ? ? ? t an?

?角

?
2

? ?与角 ?关于 y ? x对称

?? ? Sin? ? ? ? ? Cos? ?2 ? ?? ? Cos? ? ? ? ? Sin? ?2 ? ?? ? t an? ? ? ? ? cot? 2 ? ?

?

?? ? Sin? ? ? ? ? Cos? ?2 ? ?? ? Cos? ? ? ? ? ? Sin? ?2 ? ?? ? t an? ? ? ? ? ? cot? ?2 ?



上述的诱导公式记忆口诀: “奇变偶不变,符号看象限” 周期问题
y ? AS in??x ? ? ? , A ? 0 , ? ? 0 , y ? ACo s??x ? ? ? , A ? 0 , ? ? 0 , y ? AS in??x ? ? ? y ? ACo s??x ? ? ? , A ? 0,? ? 0, , A ? 0,? ? 0, T ? 2?

?

? 2? T ? ? ? T ? ? ? T ? ?
, , T ? T ?

y ? AS in??x ? ? ? ? b y ? ACo s??x ? ? ? ? b

, A ? 0,? ? 0, b ? 0 , A ? 0,? ? 0, b ? 0

2? 2?

?

?

y ? A t an??x ? ? ? , A ? 0 , ? ? 0 ,

?

y ? A cot??x ? ? ? , A ? 0 , ? ? 0 , y ? A t an??x ? ? ? y ? A cot??x ? ? ? , A ? 0,? ? 0, , A ? 0,? ? 0,

? T? ? ? T? ?
T?

? ? ? T? ?

Ⅴ 性 质 定义域 值 域 周期性 奇偶性 单调性

三角函数的性质

y ? Sin x
R

y ? Cos x
R

?? 1,1?
2?
奇函数

?? 1,1?
2?
偶函数

? ?? ? ?2k? ? ? ,2k? ?, k ? z, 增函数 ?2k? ? 2 ,2k? ? 2 ?, k ? z, 增函数 ? ? ?2k? ,2k? ? ? ?, k ? z, 减函数 ? 3? ? ? ?2k? ? 2 ,2k? ? 2 ?, k ? z, 减函数 ? ?
2

对称中心

?k? ,0?, k ? z
x ? k? ?

? ? ? ? k? ? ,0 ?, k ? z 2 ? ?
x ? k? , k ? z
5 4

对称轴

?
2

,k ? z



5

3
4

y
2
3

y
2

1


-π /2
-8

x
1

-8

-2π -6

-3π /2 -4



-2

-π /2

O

π /2

2

π

4

3π /2

6



8

3π /2 O π /2 2 π
4 6

x 2π
8

-1

-2π-6

-3π /2

-4



-2

-1

-2

-2

-3

-3

-4

-4

-5

-5

-6

性 质 定义域

y ? tan x

y ? cot x

? ? ? ? x x ? ?? ? , ? ? z ? 2 ? ?
R

?x x ? ??,? ? z?
R

值 域 周期性 奇偶性 单调性

?
奇函数

?
奇函数

? ?? ? ? k? ? , k? ? ?, k ? z, 增函数 2 2? ?

?k? , k? ? ? ?, k ? z, 增函数
? ? ? ,0 ?, k ? z ? k? ? 2 ? ?

对称中心 对称轴

?k? ,0?, k ? z

10 8

无 y
y

6

图 像
-15 -10 -5

4

2

x -3π /2 -π -π /2 O π /2 π 3π /2 5
10 15

-2

0

x

-4

-6

-8

-10

?

怎样由y ? Sinx变化为y ? ASin??x ? ? ? ? k



3

振幅变化: y ? Sinx

y ? ASinx 左右伸缩变化:
左右平移变化

y ? ASin?x
上下平移变化

y ? ASin(?x ? ? )

y ? ASin(?x ? ? ) ? k

Ⅵ平面向量共线定理:一般地,对于两个向量

a, a ? 0 , b, 如果有

?

?

一个实数 , 使得b ? ? a, a ? 0 , 则b与a是共线向量;反之如果与a是共线向量 ? b 那么又且只有一个实数 , 使得b ? ? a. ?
Ⅶ 线段的定比分点 点 P 分有向线段 P P 所成的比的定义式P P ? ? PP 1 2 1 2 . 线段定比分点坐标公式 线段定比分点向量公式

? ?

x?

x1 ? ?x2 1? ? y ? ?y 2 y? 1 1? ?

?

. OP ?

OP1 ? ? OP 2 1? ?
? 当? ?1时
线段中点向量公式

? 当? ?1时
线段中点坐标公式
x? x1 ? x2 2

y ? y2 y? 1 2

. OP ? OP1 ? OP 2 2



向量的一个定理的类似推广 向量共线定理:
b ? ?a

?a ? 0?

? 推广
平面向量基本定理:
? 其中e1 , e 2 为该平面内的两个 ? ? a ? ?1 e1 ? ? 2 e 2 , ? ? 不共线的向量 ? ? ?

? 推广

4

a ? ?1 e1 ? ? 2 e 2 ? ? 3 e3 ,
空间向量基本定理:

? 其中e1 , e 2 , e3为该空间内的三个? ? ? ? 不共面的向量 ? ? ?

Ⅸ一般地,设向量 a ? ?x1 , y1 ?, b ? ?x2 , y 2 ?且a ? 0, 如果a ∥ b那么x1 y2 ? x2 y1 ? 0 反过来,如果 x1 y2 ? x2 y1 ? 0, 则a ∥ b . Ⅹ 一般地,对于两个非零向量 a, b 有 a ? b ? a b Cos? ,其中θ为两向量的夹角。

Cos? ?

a ?b ab

? x1

x1 x2 ? y1 y2
2 ?

y1

2

x2

2

?

y2

2

特别的, a ? a ? a ? a Ⅺ

2

2

或者 a ? a ? a

如果 a ? ?x1 , y 1 ? , b ? ?x2 , y 2 ? 且a ? 0 , 则a ? b ? x1 x2 ? y1 y 2 特别的 , a ? b ? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0
若正 n边形 A1 A2 ? ? ? An的中心为 O , 则OA1 ? OA2 ? ? ? ? ? OAn ? 0
三角形中的三角问题 ?
A? B ?C ?? , A? B ?C ? ? 2 2 , A? B ? C ? 2 2 2
? A? B? ?C ? Sin? ? ? Cos? ? ? 2 ? ?2?



Sin? A ? B ? ? Sin?C ?

Cos? A ? B ? ? ?Cos?C?

? A? B? ?C ? Cos? ? ? Sin? ? ? 2 ? ?2?

? 正弦定理:

a b c a?b?c ? ? ? 2R ? SinA SinB SinC SinA ? SinB ? SinC

余弦定理:

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bcCosA , b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2acCosB c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2abCosC
CosA ? b2 ? c2 ? a2 a2 ? c2 ? b2 , CosB ? 2bc 2ac 2 2 2 a ?b ?c CosC ? 2ab
三角公式以及恒等变换

变形:

?

tan A ? tan B ? tan C ? tan A tan B tan C
Sin ?? ? ? ? ? Sin ?Cos ? ? Cos ?Sin ? Sin ?? ? ? ? ? Sin ?Cos ? ? Cos ?Sin ? , S (? ? ? ) , S (? ? ? )

? 两角的和与差公式:

5

Cos?? ? ? ? ? Cos?Cos? ? Sin?Sin? , C (? ? ? ) Cos?? ? ? ? ? Cos?Cos? ? Sin?Sin? , C (? ? ? ) tan? ? tan ? tan?? ? ? ? ? 1 ? tan? tan ? tan? ? tan ? tan?? ? ? ? ? 1 ? tan? tan ?
? 二倍角公式: 变形:
t an? ? t an ? ? t an?? ? ? ??1 ? t an? t an ? ? t an? ? t an ? ? t an?? ? ? ??1 ? t an? t an ? ? t an? ? t an ? ? t an ? ? t an? t an ? t an ? 其中? , ? , ?为三角形的三个内角

, T(? ? ? ) , T(? ? ? )

Sin2? ? 2Sin?Cos? Cos2? ? 2Cos 2? ? 1 ? 1 ? 2Sin2? ? Cos 2? ? Sin2? 2 t an? t an 2? ? 1 ? t an2 ?

? 半角公式:

Sin

?
2

?? ??

1 ? Cos? 2 1 ? Cos? 2
2

Cos

?
2

t an

?
2

??

1 ? Cos? Sin? 1 ? Cos? ? ? 1 ? Cos? 1 ? Cos? Sin?

? 降幂扩角公式: Cos 2? ? 1 ? Cos 2?
Sin?Cos? ?

, Sin 2? ?

1 ? Cos 2? 2

1 ?Sin?? ? ? ? ? Sin?? ? ? ?? 2 1 ? 积化和差公式: Cos?Sin? ? ?Sin?? ? ? ? ? Sin?? ? ? ?? 2 1 Cos?Cos? ? ?Cos?? ? ? ? ? Cos?? ? ? ?? 2 1 Sin?Sin? ? ? ?Cos?? ? ? ? ? Cos?? ? ? ?? 2

?? ? ? ? ?? ? ? ? Sin? ? Sin? ? 2 Sin? ?Cos? ? ? 2 ? ? 2 ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? Sin? ? Sin? ? 2Cos? ? Sin? ? ? 和差化积公式: ? 2 ? ? 2 ? ?? ? ? ? ?? ? ? Cos? ? Cos? ? 2Cos? ?Cos? ? 2 ? ? 2 ?? ? ? ? ?? ? ? Cos? ? Cos? ? ?2 Sin? ? Sin? ? 2 ? ? 2
Sin? ? 2 t an

S ? S ? 2 SC

( S ? S ? 2CS
? ? ? ? ? ?
C ? C ? 2CC C ? C ? ?2 SS



?
2
2

1 ? t an

?
2

? 万能公式:

Cos? ?

1 ? t an2 1 ? t an2

? ?
2 2

(

S ?T ?C ? ?

)

t an? ?

2 t an

?
2
2

1 ? t an

?
2

? 三倍角公式: Sin3? ? 3Sin? ? 4Sin ? Cos3? ? 4Cos3? ? 3Cos?
3

t an3? ?

3 t an? ? t an3 ? 1 ? 3 t an2 ?

“三四立,四立三,中间横个小扁担”

6

?
1. y ? aSin? ? bCos? ? 2. y ? aCos? ? bSin? ? ? 3. a 2 ? b 2 Cos?? ? ? ? a 2 ? b 2 Sin?? ? ? ? a 2 ? b 2 Sin?? ? ? ? a 2 ? b 2 Sin?? ? ? ? 其中 , 其中 , 其中 , 其中 , t an? ? b a a t an? ? b b t an? ? a b t an? ? a a t an? ? b t an? ? a b

y ? aSin? ? bCos? ?

? ? a 2 ? b 2 Cos?? ? ? ? 其中 , 4. y ? aCos? ? bSin? ? a 2 ? b 2 Sin?? ? ? ?

? ? a 2 ? b 2 Sin?? ? ? ? 其中 , ? a 2 ? b 2 Cos?? ? ? ? 其中 ,

b a 注 : 不同的形式有不同的化 , 相同的形式也有不同的 归 化归, 进而可以 t an? ? 求解最值问题 不需要死记公式 只要记忆 1. 的推导即表达技巧 其它 . , , 的就可以直接写出 . 一般是表达式第一项是 正弦的就用两角和与差 的正弦来靠, 第一 项是余弦的就用两角和 与差的与弦来靠 比较容易理解和掌握 . .

? 补充: 1. 由公式

t an? ? t an ? 1 ? t an? t an ? t an? ? t an ? t an?? ? ? ? ? 1 ? t an? t an ? t an?? ? ? ? ?

, T(? ? ? ) , T(? ? ? )

可以推导 : 当? ? ? ? ?? ? 在有些题目中应用广泛。 2. 3.

?
4

时, ? ? z , ?1 ? tan ? ??1 ? tan ? ? ? 2

tan? ? tan? ? tan?? ? ? ? tan? tan? ? tan?? ? ? ?
柯西不等式 (a ? b )(c ? d ) ? (ac ? bd ) , a, b, c, d ? R.
2 2 2 2 2

补充 1.常见三角不等式: (1)若 x ? (0, (2) 若 x ? (0,

?
2

) ,则 sin x ? x ? tan x .

2.

) ,则 1 ? sin x ? cos x ? 2 . (3) | sin x | ? | cos x |? 1 . 2 sin(? ? ? )sin(? ? ? ) ? sin 2 ? ? sin 2 ? (平方正弦公式);

?

cos(? ? ? )cos(? ? ? ) ? cos2 ? ? sin 2 ? .
a sin ? ? b cos ? = a 2 ? b2 sin(? ? ? ) (辅助角 ? 所在象限由点 ( a, b) 的象限决 b 定, tan ? ? ). a
3. 三倍角公式 : sin 3? ? 3sin ? ? 4sin ? ? 4sin ? sin(
3

?

? ? ) sin( ? ? ) . 3 3
7

?

cos 3? ? 4 cos3 ? ? 3cos ? ? 4 cos ? cos( ? ? ) cos( ? ? ) . 3 3

?

?

tan 3? ?

3tan ? ? tan 3 ? ? ? ? tan ? tan( ? ? ) tan( ? ? ) . 2 1 ? 3tan ? 3 3
1 1 1 aha ? bhb ? chc ( ha、hb、hc 分别表示 a、b、c 边 2 2 2

4.三角形面积定理:(1) S ?

上的高). (2) S ?

1 1 1 ab sin C ? bc sin A ? ca sin B . 2 2 2 ??? ??? 2 ??? ??? 2 ? ? ? ? 1 (| OA | ? | OB |) ? (OA ? OB ) . (3) S ?OAB ? 2
在△ABC 中,有

5.三角形内角和定理

A ? B ? C ? ? ? C ? ? ? ( A ? B) ?

C ? A? B ? ? ? 2C ? 2? ? 2( A ? B) . 2 2 2
k? ?

6. 正弦型函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的对称轴为 x ?

?
2

??

?

(k ? Z ) ;对称中心

为(

k? ? ? ,0)( k ? Z ) ;类似可得余弦函数型的对称轴和对称中心; ?

〈三〉易错点提示: 1. 在解三角问题时, 你注意到正切函数、 余切函数的定义域了吗?你注意到正弦函数、 余弦函数的有界性了吗? 2. 在三角中,你知道 1 等于什么吗?( 这些统称为 1 的代换) 常数 “1” 的种种代换有着广泛的应用. 3. 你还记得三角化简的通性通法吗?(切割化弦、降幂公式、用三角公式转化出现 特殊角. 异角化同角,异名化同名,高次化低次) 4. 你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗?( )

必修 5 知识点总结
1、正弦定理:在 ??? C 中, a 、 b 、 c 分别为角 ? 、 ? 、 C 的对边, R 为 ??? C 的外接 圆的半径,则有

a b c ? ? ? 2R . sin ? sin ? sin C

2、正弦定理的变形公式:① a ? 2 R sin ? , b ? 2 R sin ? , c ? 2 R sin C ;

a b c , sin ? ? , sin C ? ;③ a : b : c ? sin ? : sin ? : sin C ; 2R 2R 2R a?b?c a b c ? ? ? ④ . sin ? ? sin ? ? sin C sin ? sin ? sin C
② sin ? ?
8

3、三角形面积公式: S ???C ?

1 1 1 bc sin ? ? ab sin C ? ac sin ? . 2 2 2
2 2 2 2 2 2

4、余弦定理:在 ??? C 中,有 a ? b ? c ? 2bc cos ? , b ? a ? c ? 2ac cos ? ,

c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C .
5、余弦定理的推论: cos ? ?

b2 ? c 2 ? a 2 a 2 ? c 2 ? b2 a 2 ? b2 ? c 2 , cos ? ? , cos C ? . 2bc 2ab 2ac

11、递增数列:12、递减数列: 13、常数列:14、摆动数列: 17、等差数列符号表示: an?1 ? an ? d 。注:看数列是不是等差数列有以下三种方法: ①

an ? an?1 ? d (n ? 2, d为常数) ②2 a n ? a n ?1 ? a n ?1 ( n ? 2 ) ③ a n ? kn ? b ( n, k 为常数

18、若 b ?

a?c ,则称 b 为 a 与 c 的等差中项. 2

19、若等差数列

?an ? 的首项是 a ,公差是 d ,则 a
1

n

? a1 ? ? n ?1? d .

20、通项公式的变形:① an

? am ? ? n ? m? d ;② a1 ? an ? ? n ?1? d ;③ d ?


an ? a1 n ?1



④n ?

an ? am an ? a1 ? 1 ;⑤ d ? n?m d

21、若 ?an ? 是等差数列,且 m ? n ? p ? q ( m 、 n 、 p 、 q ? ?* ) ,则 am ? an 若 ?an ? 是等差数列,且 2n ? p ? q ( n 、 p 、 q ? ?* ) ,则 2an 22、等差数列的前 n 项和的公式:① Sn ?

? ap ? aq ;

? ap ? aq .

n ? a1 ? an ? n ? n ? 1? d. ;② Sn ? na1 ? 2 2

24、等比数列,符号表示:

an ?1 ? q (注:①等比数列中不会出现值为 0 的项;②同号位上 an

的值同号) 注:看数列是不是等比数列有以下四种方法: ① a n ? a n?1q(n ? 2, q为常数, 且 ? 0) ③ a n ? cq n ( c, q 为非零常数). ④正数列{ a n }成等比的充要条件是数列{ logx a n }( x ? 1 )成等比数列. 25、则 G 称为 a 与 b 的等比中项.若 G ? ab ,则称 G 为 a 与 b 的等比中项.
2

2 ② a n ? a n?1 ? a n?1 ( n ? 2 , a n a n?1 a n?1 ? 0 )

9

26、若等比数列 ?an ? 的首项是 a1 ,公比是 q ,则 an ? a1q n?1 . 27、通项公式的变形:① an

? amqn?m ;② a1 ? an q

?? n ?1?

;③ q n ?1 ?

an ;④ a1

q n?m ?

an am



28、若 ?an ? 是等比数列,且 m ? n ? p ? q ( m 、 n 、 p 、 q ? ?* ) ,则 am ? an ? a p ? aq ; 若 ?an ? 是等比数列,且 2n ? p ? q ( n 、 p 、 q ? ?* ) ,则 an
2

? ap ? aq .

?na1 ? q ? 1? ? 29、等比数列 ?an ? 的前 n 项和的公式:① Sn ? ? a1 ?1 ? q n ? a ? a q . ? 1 n ? q ? 1? ? 1? q ? 1? q
30、对任意的数列{ a n }的前 n 项和 S n 与通项 a n 的关系: a n ? ? 附:数列求和的常用方法 1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。 2.裂项相消法:适用于 ?

?s1 ? a1 (n ? 1) ?s n ? s n ?1 (n ? 2)

?

c ? ? ? an an?1 ?
1 ,求这个数列的前 n 项和 Sn. n(n ? 1)

例题:已知数列{an}的通项为 an=

3.错位相减法:适用于 ?an bn ?其中{ an }是等差数列, ?bn ? 是各项不为 0 的等比数列。 4.倒序相加法: 类似于等差数列前 n 项和公式的推导方法.

1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1
6)

1 1 1 1 ? ( ? ) n(n ? 2) 2 n n ? 2

1 1 1 1 ? ( ? ) ( p ? q) pq q ? p p q

31、 a ? b ? 0 ? a ? b ; a ? b ? 0 ? a ? b ; a ? b ? 0 ? a ? b . 32、 不等式的性质: ① a ? b ? b ? a ; a ? b, b ? c ? a ? c ; a ? b ? a ? c ? b ? c ; ② ③ ④ a ? b, c ? 0 ? ac ? bc , a ? b, c ? 0 ? ac ? bc ;⑤ a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d ; ⑥ a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd ;⑦ a ? b ? 0 ? a ? b
n n

? n ??, n ? 1? ;
10

⑧ a ? b ? 0 ? n a ? n b ? n ? ?, n ? 1? . 33、一元二次不等式:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的不等式. 34、含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸 1.整式不等式(高次不等式)的解法 穿根法(零点分段法)一元二次不等式的求解: 2.分式不等式的解法 (1)标准化:移项通分化为

f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) >0(或 <0); ≥0(或 ≤0)的形式, g ( x) g ( x) g ( x) g ( x)

(2) 转化为整式不等式 (组) 3.含绝对值不等式的解法: 基本形式: ①型如:|x|<a ②型如:|x|>a 变型:

f ( x) f ( x) ? 0 ? f ( x) g ( x) ? 0; ? 0 ? ? f ( x) g ( x) ? 0 ? g ( x) ? 0 ? g ( x) g ( x)

(a>0) 的不等式 的解集为: ?x | ?a ? x ? a? (a>0) 的不等式 的解集为: x | x ? ?a, 或x ? a

?

?

| ax ? b |? c(c ? 0)型的不等式的解集可以由?x | ?c ? ax ? b ? c? 解 得 。 其 中
-c<ax+b<c 等价于不等式组 ?

?ax ? b ? c ?ax ? b ? ?c

在解-c<ax+b<c 得注意 a 的符号

ax ? b ? c(c ? 0) 型的不等式的解法可以由 ?x | ax ? b ? c, 或ax ? b ? ?c? 来解。
③对于含有两个或两个以上的绝对值的不等式:用“零点分区间法”分类讨论来解. 4.一元二次方程 ax +bx+c=0(a>0)的实根的分布常借助二次函数图像来分析: 设 ax +bx+c=0 的两根为 ?、? ,f(x)=ax +bx+c,那么:
2 2 2

例如:若方程 x ? 2(m ? 1) x ? m ? 2m ? 3 ? 0 有两个正实数根,求 m 的取值范围。
2 2

39、在平面直角坐标系中,已知直线 ?x ? ?y ? C ? 0 . (一)由 B 确定:

y ? ①若 ? ? 0 , ?x?? ? C 则

0 表示直线 ?x ? ?y ? C ? 0 上方的区域;?x ? ?y ? C ? 0 表

11

示直线 ?x ? ?y ? C ? 0 下方的区域.

y ? ②若 ? ? 0 , ?x?? ? C 则

0 表示直线 ?x ? ?y ? C ? 0 下方的区域;?x ? ?y ? C ? 0 表

示直线 ?x ? ?y ? C ? 0 上方的区域. 41、设 a 、 b 是两个正数,则 几何平均数. 42、均值不等式定理: 若 a ? 0 , b ? 0 ,则 a ? b ? 2 ab ,即

a?b 称为正数 a 、 b 的算术平均数, ab 称为正数 a 、 b 的 2 a?b ? ab . 2

43 、 常 用 的 基 本 不 等 式 : ① a ? b ? 2ab ? a, b ? R ? ; ② ab ?
2 2

a 2 ? b2 ? a, b ? R ? ; ③ 2

? a?b ? ab ? ? ? ? a ? 0, b ? 0? ; ? 2 ?
2

a 2 ? b2 ? a ? b ? ④ ?? ? ? a, b ? R ? . 2 ? 2 ?
2

44、极值定理:设 x 、 y 都为正数,则有: ⑴若 x ? y ? s(和为定值) 则当 x ? y 时, xy 取得最大值 , 积 则当 x ? y 时,和 x ? y 取得最小值 2 p . 例题:已知 x ?

s2 . ⑵若 xy ? p(积为定值) , 4

5 1 ,求函数 f ( x) ? 4 x ? 2 ? 的最大值。 4 4x ? 5

12


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