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第三章三角函数


第三章
考试内容: 角的概念的推广、弧度制。

三角函数

任意角的三角函数. 单位圆中的三角函数线.同角三角函数的基本关系式.正弦、 余弦的诱导公式。 两角和与差的正弦、余弦、正切.二倍角的正弦、余弦、正切。 正弦函数、余弦函数的图像和性质.周期函数.函数 y=Asin(ω x+φ )的图像。 正切函数的图像和性质.已知三角函数值求角。 正弦定理.余弦定理.斜三角形解法。 考试要求: (1)理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算。 (2)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义;了解余切、正割、余割的定义; 掌握同角三角函数的基本关系式;掌握正弦、余弦的诱导公式;了解周期函数与 最小正周期的意义。 (3)掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式;掌握二倍角的正弦、余弦、 正切公式。 (4)能正确运用三角公式,进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。 (5)理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质,会用“五点法”画正 弦函数、余弦函数和函数 y=Asin(ω x+φ )的简图,理解 A.ω 、φ 的物理意义。 (6)会由已知三角函数值求角,并会用符号 arcsinx\arccosx\arctanx 表示. (7)掌握正弦定理、余弦定理,并能初步运用它们解斜三角形。 (8)“同角三角函数基本关系式。

知识要点:
(一)任意角和弧度制

?正角:按逆时针方向旋转形成的角 ? 1、任意角?负角:按顺时针方向旋转形成的角 ?零角:不作任何旋转形成的角 ?
2、角 ? 的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象

限,则称 ? 为第几象限角. 第一象限角的集合为 ? k ? 360? ? ? ? k ? 360? ? 90? , k ? ?

?

? ?

第二象限角的集合为 ? k ? 360? ? 90? ? k ? 360? ? 180? , k ? ?

?

第三象限角的集合为 ? k ? 360? ? 180? ? ? ? k ? 360? ? 270? , k ? ?

?

? ?

第四象限角的集合为 ? k ? 360? ? 270? ? ? ? k ? 360? ? 360? , k ? ?

?

? ? 终边在 y 轴上的角的集合为 ?? ? ? k ?180 ? 90 , k ? ?? 终边在坐标轴上的角的集合为 ?? ? ? k ? 90 , k ??? 3、与角 ? 终边相同的角的集合为 ?? ? ? k ? 360 ? ? , k ? ??
终边在 x 轴上的角的集合为 ? ? ? k ?180? , k ??
? ?

?

?

4、已知 ? 是第几象限角,确定

?

? n ? ? ? 所在象限的方法:先把各象限均分 n 等 n
*

份,再从 x 轴的正半轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则 ? 原来 是第几象限对应的标号即为

?
n

终边所落在的区域.

5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度. 6、 半径为 r 的圆的圆心角 ? 所对弧的长为 l , 则角 ? 的弧度数的绝对值是 ? ?
? 180 ? ? 7、弧度制与角度制的换算公式: 2? ? 360 , 1 ? ,1 ? ? ? ? 57.3 . 180 ? ? ?
?

l . r

?

?

?

8、 若扇形的圆心角为 ? ?? 为弧度制? , 半径为 r , 弧长为 l , 周长为 C , 面积为 S ,
1 1 则 l ? r ? , C ? 2r ? l , S ? lr ? ? r 2 . 2 2

9、设 ? 是一个任意大小的角,? 的终边上任意一点 ? 的坐标是 ? x, y ? ,它与原点 的距离是 r r ? x 2 ? y 2 ? 0 ,则 sin ? ?

?

?

y x y , cos ? ? , tan ? ? ? x ? 0 ? . r r x

10、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限 正切为正,第四象限余弦为正. 11、三角函数线: sin ? ? ?? , cos ? ? ?? , tan ? ? ?? .
y P T v O M A x

例题: 例题 1、已知 ? 为第三象限角,则

? 所在的象限是 ( ) 2 A. 第一或第二象限 ; B. 第二或第三象限 C. 第一或第三象限 ; D. 第二或第四

象限 例题 2、已知 ? 为第三象限的角,则 tan
A. 一定是正数 B. 一定是负数

?
2




D. 有可能是零

C. 正数、负数都有可能

例题 3、终边与坐标轴重合的角的集合是
A. ?? | ? ? 2k? , k ? Z ?





B. ?? | ? ? k? , k ? Z ? ;

? 1 ? ? ? ? C. ?? | ? ? ? k? , k ? Z ? ; D. ?? | ? ? k? , k ? Z ? 2 2 ? ? ? ?
例题 4、已知 cos? ?tan ? ? 0 ,那么角 ? 是 ( )

A. 第一或第二象限角 B. 第二或第三象限角 C. 第三或第四象限角 D. 第一或第四象限角

(二)同角三角函数的基本关系与诱导公式 1、同角三角函数的基本关系式: (1)倒数关系: tan ? ? cot ? ? 1 sin ? ? csc ? ? 1 cos ? ? sec ? ? 1 ; sin ? cos ? (2)商数关系: tan ? ? ; , cot ? ? cos ? sin ? (3)平方关系: sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 sec2 ? ? 1 ? tan 2 ? csc2 ? ? 1 ? cot 2 ? 。 2、诱导公式:



k? ? ?的三角函数化为?的三角函数,概括为: 把“奇变偶不变,符号看 2

象限”

?1? sin ? 2k? ? ? ? ? sin ? , cos ? 2k? ? ? ? ? cos ? , tan ? 2k? ? ? ? ? tan ? ? k ? ? ? . ? 2 ? sin ?? ? ? ? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos ? , tan ?? ? ? ? ? tan ? .

? 3? sin ? ?? ? ? ? sin ? , cos ? ?? ? ? cos ? , tan ? ?? ? ? ? tan ? . ? 4 ? sin ?? ? ? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos ? , tan ?? ? ? ? ? ? tan ? .
口诀:函数名称不变,符号看象限。

? 5? sin ? ?

? ?? ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ? ?2 ? ? ?? ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ? ?2 ?

?

? 6 ? sin ? ?
例题:

?

口诀:正弦与余弦互换,符号看象限。 例题 1、 cos330? ?
A.

1 2

B. ?

1 2

C.

3 3 D. ? 2 2

例题 2、已知 cos31? ? m ,则 sin 239?? tan149? ? 1 ? m2 m2 ? 1 A. B. 1 ? m 2 C. D. ? 1 ? m 2 m m 1 例题 3、已知: sin ? ? cos ? ? ,且 ? ? ? 0, ? ? ,求 sin 3 ? ? cos3 ? 的值。 5 (三)两角和与差的三角函数 和角与差角公式 sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? ; cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ; tan ? ? tan ? . tan(? ? ? ) ? 1 ? tan ? tan ? sin(? ? ? )sin(? ? ? ) ? sin 2 ? ? sin 2 ? (平方正弦公式); cos(? ? ? ) cos(? ? ? ) ? cos 2 ? ? sin 2 ? .

a sin ? ? b cos? = a 2 ? b 2 sin(? ? ? ) ( 辅 助 角 ? 所 在 象 限 由 点 (a, b) 的 象 限 决 b 定, tan ? ? ). a 二倍角公式 sin 2? ? sin ? cos? . cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ? . 2 tan ? . tan 2? ? 1 ? tan 2 ? 例题 4 例题 1、若 tan ? ? 3 , tan ? ? ,则 tan(? ? ? ) 等于 3

A. ?3

B. ?

1 3

C. 3

D.

1 3

? ? 12 ?? 3 ? 3? ? ? ? 例题 2、 ? , ? ? ? , ? ? , sin ?? ? ? ? ? ? , sin ? ? ? ? ? ,则 cos ? ? ? ? ? 4 ? 13 4? 5 ? 4 ? ? ?
例题 3、已知 cos ? ? , cos(? ? ? ) ? (Ⅰ)求 tan 2? 的值.(Ⅱ)求 ? . 例题 4、求值: ?1? cot10? ? 4cos10? ; ? 2 ? cos 20? cos 40? cos60? cos80?
1 7

13 ? ,0 ? ? ?? ? , 14 2

? 3? cot 20? cos10? ?

3 sin10? tan 70? ? 2cos 40?

例题 4 已知 A 为三角形的内角,求 y ? cos 2 A ? cos 2 (

2? ? A) 的取值范围. 3

1 1 例题 5、已知 sin ? ? sin ? ? , cos ? ? cos ? ? ,求值: 4 3

?1? cos ?? ? ? ? ;

? 2 ? tan ?? ? ? ?

(四)三角函数的图像和性质
正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:
性 函 质 数

y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x

图象

定义域 值域

R

R

? ? ? ? x x ? k? ? , k ? ? ? 2 ? ?
R

? ?1,1?
当 x ? 2k? ?
ymax ? 1

? ?1,1?
当 x ? 2k? ? k ? ? ? 时,
ymax ? 1;当 x ? 2k? ? ?

?
2

? k ? ? ? 时,
; 当

最值
x ? 2k? ?

?
2

? k ? ? ? 时, ymin ? ?1 .
2? 偶函数
在 ? 2 k? ? ? , 2 k? ? ? k ? ? ? 上 是 增 函 数 ;

既无最大值也无最小值

? k ? ? ? 时, ymin ? ?1 .
周期性 奇偶性

2? 奇函数

?
奇函数

? ?? ? 在 ? 2 k? ? , 2 k? ? ? 2 2? ?

? k ? ? ? 上是增函数;在
单调性

? 3? ? ? ? 2 k? ? 2 , 2 k? ? 2 ? ? ?

? 2 k? , 2 k? ? ? ?
? k ? ? ? 上是减函数.

? ?? ? 在 在 ? k? ? , k? ? ? 2 2? ?

? k ? ? ? 上是增函数.

? k ? ? ? 上是减函数.
对称中心 ? k? , 0 ?? k ? ? ? 对称性 对称轴 x ? k? ?

?
2

? k ? ??

? ? ? 对称中心 ? k? ? , 0 ? ? k ? ? ? 2 ? ?
对称轴 x ? k? ? k ? ? ?

? k? ? 对称中心 ? , 0 ? ? k ? ?? ? 2 ?

无对称轴

三角函数的图象和性质(一) 教学目标:了解正弦、余弦、正切、余切函数的图象的画法,会用“五点法” 画正弦、余弦函数和函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的简图,理解 A, ? , ? 的物理意义,掌 握由函数 y ? sin x 的图象到函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象的变换原理; 掌握正弦、 余弦、正切函数图象的对称轴或对称中心. 教学重点:函数 y ? sin x 的图象到函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象的变换方法. (一) 主要知识: 1. “五点法”画正弦、余弦函数和函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的简图. 2. 函数 y ? sin x 的图象到函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象的两种主要途径. 3. 掌握正弦、余弦、正切函数图象的对称轴或对称中心. 4. 会由三角函数图象求出相应的解析式. (二)主要方法: 1. “五点法”画正弦、余弦函数和函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的简图,五个特殊点通 常都是取三个平衡点,一个最高、一个最低点; 2. 给出图象求 y ? A sin(? x ? ? ) ? B 的解析式的难点在于 ? , ? 的确定,本质为待定 系数法,基本方法是:①寻找特殊点(平衡点、最值点)代入解析式;②图象 变换法,即考察已知图象可由哪个函数的图象经过变换得到的,通常可由平衡 点或最值点确定周期 T ,进而确定 ? . 函 数 y ? s i nx 的 图 象 上 所 有 点 向 左 ( 右 ) 平 移 ? 个 单 位 长 度 , 得 到 函 数
y ? sin ? x ? ? ? 的图象;再将函数 y ? sin ? x ? ? ? 的图象上所有点的横坐标伸长(缩

短)到原来的

1

?

倍(纵坐标不变),得到函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象;再将函数

y ? sin ?? x ? ? ? 的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的 ? 倍(横坐标不

变),得到函数 y ? ? sin ?? x ? ? ? 的图象. 函数 y ? sin x 的图象上所有点的横坐标伸长 (缩短) 到原来的 得到函数
y ? sin ? x 的图象;再将函数 y ? sin ? x 的图象上所有点向左(右)平移

1

?

倍 (纵坐标不变) ,

? 个单 ?

位长度,得到函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象;再将函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象上所 有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的 ? 倍(横坐标不变),得到函数
y ? ? sin ?? x ? ? ? 的图象.
3. 对称性: ?1? 函数 y ? A sin(? x ? ? ) 对称轴可由 ? x ? ? ? k? ?
? k?Z ? ? 解出;对称
2

中心的横坐标是方程 ? x ? ? ? k? ? k ? Z ? 的解,对称中心的纵坐标为 0 .( 即整体代换 法) ? 2 ? 函数 y ? A cos ?? x ? ? ? 对称轴可由 ? x ? ? ? k? ? k ? Z ? 解出;对称中心的纵坐 ? 标是方程 ? x ? ? ? k? ? ? k ? Z ? 的解,对称中心的横坐标为 0 .( 即整体代换
2

法)

? 3? 函数 y ? A tan ?? x ? ? ? 对称中心的横坐标可由 ? x ? ? ? k ? ? k ? Z ? 解出,对称中
心的纵坐标为 0 ,函数 y ? tan ?? x ? ? ? 不具有轴对称性.
4. A ? 0 时, y ? A sin ?? x ? ? ? ,当 ? x ? ? ? 2k? ?
2

2

? k ? Z ? 时,有最大值 A , 2 当 ? x ? ? ? 2k? ? ? ? k ? Z ? 时,有最小值 ? A ; A ? 0 时,与上述情况相反.
2? 1 ? ;④相位: ? x ? ? ;⑤初 ? ? 2?

?

5.函数 y ? ? sin ?? x ? ? ?? ? ? 0, ? ? 0 ? 的性质: ①振幅: ? ;②周期: ? ? 相: ? . 函数 y ? ? sin ?? x ? ? ? ? ? ,当 x ? x1 时,取得最小值为 ymin ;当 x ? x2 时,取得 最大值为 ymax ,则 ? ? 例题分析:
x x 例题 1、已知函数 y ? 3 sin ? cos ? x ? R ? . 2 2 ?1? 用“五点法”画出它的图象; ? 2 ? 求它的振幅、周期和初相;
1 1 ? ? ymax ? ymin ? , ? ? ? ymax ? ymin ? , ? x2 ? x1 ? x1 ? x2 ? 2 2 2

?

;③频率: f ?

? 3? 说明该函数的图象可由 y ? sin x 的图象经过怎样的变换而得到。
例题 2、将函数 y ? 5sin(?3x) 的周期扩大到原来的 2 倍,再将函数图象左移 得到图象对应解析式是( ) 3? 3x 7? 3x A. y ? 5sin( ? ) B. y ? 5sin( ? ) 2 2 10 2 ? 3x C. y ? 5sin( ? 6 x) D. y ? 5cos 6 2 例题 3、将函数 y ? sin ? x(? ? 0) 的图象按向量 ? ? ? ? a ? ? ? , 0 ? 平移,平移后的图象如图所示, ? 6 ? 则平移后的图象所对应函数的解析式是
A. y ? sin( x ? ) 6

? , 3

y

?

C. y ? sin(2 x ? ) D. y ? sin(2 x ? ) 3 3

?

B. y ? sin( x ? ) 6

?

1
O

7 ? 12

?

x

?1

例题 5、函数 y ? sin(? x ? ? ) ( x ? R, ? ? 0 , 0 ? ? ? 2? )的部分图象如图,则 ? ? ? ? A. ? ? , ? ? B. ? ? , ? ? 2 4 3 6 ? ? ? 5? C. ? ? , ? ? D. ? ? , ? ? 4 4 4 4

y

1

O

1

3

x

三角函数的图象和性质(二) 教学目标:掌握三角函数的定义域、值域的求法;理解周期函数与最小正周期 的意义, 会求经过简单的恒等变形可化为 y ? A sin(? x ? ? ) 或 y ? A tan(? x ? ? ) 的三 角函数的周期. 教学重点:求三角函数的定义域是研究其它一切性质的前提. 主要知识: 三角函数的定义域、值域及周期如下表: 函数 定义域 值域 周期 y ? sin x [?1,1] 2? R y ? cos x [?1,1] 2? R
y ? tan x
{x | x ? k? ?

?
2

, k ? Z}

R

?

主要方法: 1. 求三角函数的定义域实质就是解三角不等式(组).一般可用三角函数的图象 或三角函数线确定三角不等式的解.列三角不等式,既要考虑分式的分母不能 为零;偶次方根被开方数大于等于零;对数的真数大于零及底数大于零且不等 于 1,又要考虑三角函数本身的定义域; 2. 求 三 角 函 数 的 值 域 的 常 用 方 法 : ① 化 为 求 代 数 函 数 的 值 域 ; ② 化 为 求 y ? As i n( x? ? ) B ? ? 的值域;③化为关于 sin x (或 cos x )的二次函数式; 3. 三角函数的周期问题一般将函数式化为 y ? Af (? x ? ? ) (其中 f ( x) 为三角函 数, ? ? 0 ) 典例分析: 问题1、求下列函数的定义域:

?1?

f ( x) ?

3 ? tan x ; ? 2 ?

f ( x) ? tan(sin x) ; ? 3?

f ( x) ?

2 cos x ? 1 tan x ? 1

问题 2、求下列函数的值域: 2sin x cos 2 x cos x 3 ? sin x 1 ? sin x 1? y ? ;? 2? y ? ; ? 3? y ? log 2 ;? 4? y ? . ? 1 ? sin x 2 cos x ? 1 3 ? sin x 3 ? cos x 问题 3、求下列函数的周期:

sin 2 x ? sin(2 x ? ) 3 ; ? 2 ? y ? 2sin( x ? ? )sin x ; ? 3? y ? cos 4 x ? sin 4 x ?1? y ? ? 2 cos 4 x ? sin 4 x cos 2 x ? cos(2 x ? ) 3
? ?? 问题 4、已知函数 f ? x ? ? ?a cos 2 x ? 2 3a sin x cos x ? 2a ? b 的定义域为 ?0, ? ,值 ? 2? 域为 ? ?5,1? ,求常数 a, b 的值.

?

函数 y ? sin 4 x ? cos2 x 的最小正周期为

A.

? ? B. C. ? D. 2? 4 2

π? ? π? ? 问题 5、函数 y ? sin? x ? ? sin? x ? ? 的最小正周期 T ? 3? ? 2? ?
? ? ?? 问题 6、已知函数 f ( x) ? 2sin ? x ? ? ? 0 ? 在区间 ? ? , ? 上的最小值是 ?2 ,则 ? ? 3 4?

的最小值等于

A.

2 3 B. C. 2 D. 3 3 2

三角函数的图象和性质(三) 教学目标:掌握三角函数的奇偶性与单调性,并能应用它们解决一些问题. 教学重点:三角函数奇偶性的判断及三角函数单调区间的求解及其应用. 主要知识: 三角函数的奇偶性和单调性具体如下表: 函数 奇偶性 单调区间
y ? sin x



y ? cos x
y ? tan x

偶 奇

, 2k? ? ] 上增 2 2 ? 3? 在 [2k? ? , 2k? ? ] 减 (k ? Z ) 2 2 在 [2k? ? ? , 2k? ] 上增 在 [2k? , 2k? ? ? ] 减 (k ? Z )

在 [2k? ?

?

?

在 ( k? ?

?

, k? ? ) 上增 (k ? Z ) 2 2

?

主要方法:
1. y ? A sin(? x ? ? ) 为奇函数 ? ? ? k? ;函数 y ? A sin(? x ? ? ) 为偶函数 ? ? ? k? ?

?
2

y ? A cos(? x ? ? ) 为 偶 函 数 ? ? ? k? ; 函 数 y ? A o s ( ? ? 为 奇 函 数 c ? x )
? ? ? k? ?
2.

?
2 y ? sA i? n? ?x (
( A ? ) ? ?, 0

函 数

的0 单 调 增 区 间 可 由 )

?

?
2

? 2k? ? ? x ? ? ?

?
2

? 2k?



2 y ? sA i n ? ( ( A ? )? ? , ? ? x 0 ? 3? 2 k? ? ? ? x ? ? ? 2 k ? ? 2 2

解出,单调减区间可由 2k? ? 数

?

? ? x ? ? ? 2k ? ?

3? 解出; 2 的0 单 调 增 )









解出,单调减区间可由 arcsin ? ? a 2 ? b 2 b 2 ? 4ac ? 解出 典例分析: 问题 1、 判断下列函数的奇偶性:

?
2

? 2k? ? ? x ? ? ?

?
2

? 2k?

?1? ? 3?

f ( x) ? sin 2 x ? x ? tan x ; ? 2 ? f ( x) ? lg sin x ? 1 ? sin 2 x ;

?

?

cos x(1 ? sin x) tan x ? 1 ; ? 4 ? f ( x) ? cos ? sin x ? ; ? 5 ? f ( x) ? lg 1 ? sin x tan x ? 1 问题 2、比较下列各组中两个值的大小: 3 1 7 3? 3? ?1? cos , sin , ? cos ; ? 2 ? sin(sin ) , sin(cos ) . 2 10 4 8 8 ?? ? 3 问题 3、 ?1? 求下列函数的单调递增区间:① f ( x) ? sin ? ? x ? ? ; 4? ? 2 f ( x) ?

?? ? ② f ( x) ? sin 2 x ? sin x ;③ f ( x) ? log 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? ;④ f ( x) ? ? sin ? x ? ? 4? ? 2 x 问题 4、函数 f ( x) ? cos 2 x ? 2cos 2 的一个单调增区间是 2
? ? 2? ? A. ? , ? ?3 3 ? ?? ?? B. ? , ? ?6 2? ? ?? C. ? 0, ? ? 3? ? ? ?? D. ? ? , ? ? 6 6?

? ? ?? 问题 5、已知函数 f ( x) ? 2sin ? x (? ? 0) 在区间 ? ? , ? 上的最小值是 ?2 , ? 3 4?

则 ? 的最小值等于

A.

2 3

B.

3 2

C. 2

D. 3

问题 6、已知 a ? R ,函数 f ( x) ? sin x? | a |, x ? R 为奇函数,则 a ? A. 0 B. 1 C. ?1 D. ?1

?? ?? ? ? 问题 7、若 f ( x) ? a sin ? x ? ? ? 3sin ? x ? ? 是偶函数,则 a ? 4? 4? ? ?
?? ? 问题 8、函数 f ? x ? ? tan ? x ? ? 的单调增区间为 4? ?

? ?? ? A. ? k? ? , k? ? ? , k ? Z 2 2? ?

B. ? k? , ? k ? 1? ? ? , k ? Z

3? ?? ? , k? ? ? , k ? Z C . ? k? ? 4 4? ?

? 3? ? D. ? k? ? , k? ? 4 4 ?

? ?,k ? Z ?

?? ? 问题 9、设函数 f ( x ) ? sin ? x ? ? ( x ? R) ,则 f ( x) 3? ?

? 2? 7 ? ? A. 在区间 ? , ? 上是增函数 ? 3 6 ? ?? ?? C. 在区间 ? , ? 上是增函数 ?8 4?

?? ? ? B. 在区间 ? ??, ? 上是减函数 2? ? ? ? 5? ? D. 在区间 ? , ? 上是减函数 ?3 6 ?

π 问题 10、如图,函数 y ? 2cos(? x ? ? ) ( x ? R,? > 0,≤ ? ≤ ) 的图象与 y 轴相 0 2

交于点 (0,3) ,且该函数的最小正周期为 ? . ?1? 求 ? 和 ? 的值;

? 2 ? 已知点 A ? ?
y0 ?

π ? ,? ,点 P 是该函数图象上一点,点 Q ( x0,y0 ) 是 PA 的中点,当 0 y ?2 ?
3

3 ?π ? , x0 ? ? ,π ? 时,求 x0 的值. 2 ?2 ?

P

O

A

? Q

x

三角函数式的化简、求值与证明 教学目标:能正确地运用三角函数的有关公式进行三角函数式的求值,化简与等 式的证明. 教学重点:有关公式的灵活应用及一些常规技巧的运用. 主要知识: 1.三角函数求值问题一般有三种基本类型:
1. 给角求值,即在不查表的前提下,求三角函数式的值;

即给出一些三角函数,而求与这些三角函数式有某种联系的三角式 2. 给值求值, 的值;
3. 给值求角,即给出三角函数值,求符合条件的角。

2.三角函数式的化简要求: 通过对三角函数式的恒等变形使最后所得到的结果中: ①所含函数和角的名类或种类最少;②各项的次数尽可能地低;③出现的项数最

少; ④一般应使分母和根号不含三角函数式;⑤对能求出具体数值的,要求出值. 3.三角恒等式的证明要求:利用已知三角公式通过恒等变形,论证所给等式左、 右相等. 主要方法:
1. 寻求角与角之间的关系,化非特殊角为特殊角; 2. 正确灵活地运用公式,通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值;

3. 一些常规技巧:“ 1 ”的代换、切割化弦、和积互化、异角化同角等. 4. 三角函数式的化简常用方法是:异名函数化为同名三角函数,异角化为同角,

异次化为同次,切割化弦,特殊值与特殊角的三角函数互化.
5. 三角恒等式的证明:

三角恒等式包括有条件的恒等式和无条件的恒等式. ①无条件的等式证明的基本方法是化繁为简、左右归一、变更命题等,使等式两 端的“异”化为“同”;②有条件的等式常用方法有:代入法、消去法、综合法、 分析法等. 典例分析:
1 ?? ? 问题 1. ?1? 已知 tan ? ? ? ? ? 2 ,求 的值; 2sin ? cos ? ? cos 2 ? ?4 ?

? 2 ? 已知 sin ? ? sin 2 ? ? 1 ,求 3cos2 ? ? cos4 ? ? 2sin ? ? 1 的值.
问题 2. ?1?
3 tan12? ? 3 ? ? ? ; ? 2 ? (cot ? tan )(1 ? tan ? ? tan ) ; 2 sin12?(4 cos 12? ? 2) 2 2 2

问题 3. ?1? 求证:

sin ? 2? ? ? ? sin ?

? 2 cos ?? ? ? ? ?

sin ? ; sin ?

? 2?

tan 2 x ? cot 2 x ?

2 ? 3 ? cos 4 x ? 1 ? cos 4 x

1 1 , tan ? ? ? ,且 ? , ? ? ? 0, ? ? ,求 2? ? ? 的值 2 7 3? 10 问题 5.已知 ? ? ? ? , tan ? ? cot ? ? ? 4 3

问题 4.已知 tan ?? ? ? ? ?

(Ⅰ)求 tan ? 的值;

5sin 2

?
2

? 8sin

?
2

cos

?
2

? 11cos 2

?
2

?8

(Ⅱ)求

?? ? 2 sin ? ? ? ? 2? ?
1 . 5

的值

问题 6.已知 ?

?
2

? x ? 0, sin x ? cos x ?

(Ⅰ)求 sin x ? cos x 的值;(Ⅱ)求 问题 7.已知 ? 为第二象限的角, sin ? ? 求 tan(2? ? ? ) 的值. 三角函数的最值

sin 2 x ? 2 sin 2 x 的值. 1 ? tan x

3 5 , ? 为第一象限的角, cos ? ? . 5 13

教学目标: 掌握三角函数最值的常见求法,能运用三角函数最值解决一些实际问 题。 教学重点:求三角函数的最值。 主要知识: 求三角函数的最值,主要利用正、余弦函数的有界性,一般通过三角变换化为下 列基本类型处理: ① y ? a sin x ? b , t ?n x 化为一次函数 y ? at ? b 在闭区间 t ?[?1,1] 上的最值求 设 i s 之; ② y ? a sin x ? b cos x ? c ,引入辅助角 ? (cos ? ?
y ? a 2 ? b 2 sin( x ? ? ) ? c 求解方法同类型①;

a a 2 ? b2

,sin ? ?

b a 2 ? b2

) ,化为

③ y ? a sin 2 x ? b sin x ? c ,设 t ? sin x ,化为二次函数 y ? at 2 ? bt ? c 在 t ?[?1,1] 上 的最值求之; ④ y ? a sin x cos x ? b(sin x ? cos x) ? c , 设 t ? s i n? x
y?

c o化 为 二 次 函 数 xs

a(t 2 ? 1 ) ? bt ? c 在闭区间 t ? [? 2, 2] 上的最值求之; ?2

at 2 ? b ⑤ y ? a tan x ? b cot x ,设 t ? tan x 化为 y ? 用 ? 法求值;当 ab ? 0 时,还可 t

用平均值定理求最值; ⑥y?
a sin x ? b 根据正弦函数的有界性,即可分析法求最值,还可“不等式”法 c sin x ? d

或“数形结合”. 主要方法: ①配方法;②化为一个角的三角函数;③数形结合法;④换元法;⑤基本不等式法; ⑥导数法 典例分析: 问题 1. 求函数的最大值和最小值:

?1?

y ? sin x ? cos( x ? ) ; 6

?

? 2?

y ? (sin x ? 2)(cos x ? 2)
3 sin ? x ? (0, ? ) 的最大值; 1 ? 3sin 2 ?

问题 2.求下列各函数的最值: ?1? 求函数 y ?

? 2?

y ? sin x ?

2 2 ? cos x x ? (0, ? ) 的最小值. ? 3? y ? (0 ? x ? ? ) 的最小值. sin x sin x

?? ? 问题 3. ?1? ( 95 全国文)函数 y ? cos x ? cos ? x ? ? 的最大值是 3? ?

? 2? ? 3?

f ( x) ? 3sin ? x ? 10? ? ? 5sin ? x ? 70? ? 的最大值是

A. 5.5 B. 6.5 C. 7 D. 8

( 05 全国Ⅰ文) 当 0 ? x ?
A. 2 B. 2 3

?
2

时,函数 f ( x) ?
C. 4

1 ? cos 2 x ? 8sin 2 x 的最小值为 sin 2 x
D. 4 3

1 问题 4.函数 f ? x ? ? cos x ? cos 2 x 的最大值是 2 1 问题 5.已知 sin x ? sin y ? , 求 sin y ? cos 2 x 的最大值. 3 ? 问题 6.在 △ABC 中,已知内角 A ? ,边 BC ? 2 3 .设内角 B ? x ,周长为 y . ?

?1? 求函数 y ?

f ( x) 的解析式和定义域; ? 2 ? 求 y 的最大值.

问题 7.设函数 f ( x) ? 3 cos 2 ? x ? sin ? x cos ? x ? a (其中 ? ? 0 , a ? R ),且 f ( x) 的图象在 y 轴右侧的第一个高点的横坐标为
x . 6

? ? 5? ? (Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)如果 f ( x) 在区间 ?? , ? 上的最小值为 3 ,求 a 的值. ? 3 6 ?

?π ? ?π π? 问题 8.已知函数 f ( x) ? 2sin 2 ? ? x ? ? 3 cos 2 x , x ? ? , ? . ?4 2? ?4 ?

(Ⅰ)求 f ( x) 的最大值和最小值;
?π π? (Ⅱ)若不等式 f ( x) ? m ? 2 在 x ? ? , ? 上恒成立,求实数 m 的取值范围. ?4 2?

正弦定理、余弦定理及应用 教学目标:1. 使学生掌握正、余弦定理及其变形; 2. 能够灵活运用正、余弦定理 解题. 教学重点:正、余弦定理的灵活应用 主要知识:

?1? 正弦定理:

a b c ? ? ? 2R , sin A sin B sin C

? b2 ? c2 ? a 2 , ?cos A ? 2bc 2 2 2 2 ? a ? b ? c ? 2bc cos A, ? a2 ? c2 ? b ? 2 ? b ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B, ? ?cos B ? , ? 2 ? 余弦定理: ? 2 2 2 2ac 2 ?c ? a ? b ? 2ab cos C. ? 2 2 ? ?cos C ? a ? b ? c . ? 2ab ?

? 3? 推论:正余弦定理的边角互换功能
① a ? 2R sin A , b ? 2R sin B , c ? 2R sin C ② sin A ? ③
a b c , sin B ? , sin C ? 2R 2R 2R

a b c a?b?c = = 2R ? ? sin A sin B sin C sin A ? sin B ? sin C

④ a : b : c ? sin A : sin B : sin C ⑤ sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ? 2sin B sin C cos A
sin 2 B ? sin 2 C ? sin 2 A ? 2sin C sin A cos B

sin 2 C ? sin 2 A ? sin 2 B ? 2sin A sin B cos C

? 4 ? 三角形中的基本关系式: sin B ? C ? cos A ,cos B ? C ? sin A
2 2 2 2

sin( B ? C ) ? sin A,cos( B ? C ) ? ? cos A,

主要方法: 通过对题目的分析找到相应的边角互换功能的式子进行转换. 利用正余弦定理可以把边的关系转化为角的关系, 也可以把角的关系转化为边的 关系 。 典例分析: 问 题 1 . 在 △ABC 中 , a, b, c 分 别 是 三 个 内 角 A, B, C 的 对 边 . 如 果

?a

2

? b 2 ? ? sin ? A ? B ? ?
2

?a

? b 2 ? ? sin ? A ? B ? , 且 A ? B .求证: △ABC 为直角三角形

问题 2. ?1? 求 sin 2 20? ? cos 2 80? ? 3 sin 20? cos80?

? 2 ? 在 △ABC 中,角 A 、B 、C 对边分别为 a 、b 、c ,求证:

a 2 ? b 2 sin ? A ? B ? ? c2 sin C

问 题 3 . 在 △ABC 中 , a, b, c 分 别 是 三 个 内 角 A, B, C 的 对 边 , 且
4sin 2 B?C 7 ? cos 2 A ? 2 2
3, b ? c ? 3. 求 b, c 的值

?1? 求角 A 的度数; ? 2 ? 若 a ?

问题 4.( 05 天津)在 △ABC 中, ?A、?B、?C 所对的边长分别为 a、b、c ,
c 设 a、b、c 满足条件 b 2 ? c 2 ? bc ? a 2 和 b ? 1 ? 3 ,求 ?A 和 tan B 的值 2

问题 4. △ABC 中, A ?
A. 4 3 sin( B ? ) ? 3 3 C. 6sin( B ? ) ? 3 3

?
3

, BC ? 3 ,则 △ABC 的周长为
B. 4 3 sin( B ? ) ? 3 6 D. 6sin( B ? ) ? 3 6

?

?

?

?

问题 5. △ABC 中,a, b, c 分别是三个内角 A, B, C 的对边,.如果 a, b, c 成等差数列,
3 ?B ? 30? , △ABC 的面积为 ,那么 b ? 2
A.
1? 3 2? 3 B. 1? 3 C. D. 2 ? 3 2 2

问题 6.在 △ABC 中, a 、 b 、 c 分别是 ?A,?B,?C 的对边长,已知 a 、 b 、 c

成等比数列,且 a 2 ? c 2 ? ac ? bc ,求 ?A 的大小及

b sin B 的值 c

问题 7.已知在 △ABC 中, sin A ? sin B ? cos B ? ? sin C ? 0 , sin B ? cos 2C ? 0 , 求角 A, B, C 的大小. 问题 8. 在 △ABC 中, a, b, c 分别是三个内角 A, B, C 的对边.若 a ? 2, C ? A
cos B 2 5 ? ,求 △ABC 的面积 S . 2 5

π , 4

问题 9.如图,在 △ABC 中, AC ? 2 ,

B 3 BC ? 1 , cosC ? . ?1? 求 AB 的值; ? 2 ? 求 sin?2 A ? C ? 的值. 4

C


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