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2013年华约自主招生数学试题解析


2013 年华约自主招生数学试题解析

1.设 A ? {x | x ? 10, x ? Z } , B ? A ,且 B 中元素满足: 任意一个元素各数位的数字互不相同;任意一个元素的任意两个数字之和不等于 9. (1)求 B 中的两位数和三位数的个数; (2)是否存在五位数,六位数? (3)将 B 中的元素从小到大排列,求第 1081 个元素. 解析(1)

所有的两位数共 90 个,其中数字相同的有 9 个,两数字之和为 9 的有 9 个, 所以 B 中的两位数有 90―9―9=72 个; 所有的各数位的数字互不相同三位数共 9×9×8=648 个, 其中含有数字 0 和 9 的有 4×8=32 个, 含有数字 1 和 8,2 和 7,3 和 6,4 和 5 的各有 4×8+2×7=46 个, 所以 B 中的三位数有 648―32―46×4=432 个; 另解(1)将 10 个数字分为 5 组: (0,9) , (1,8) , (2,7) , (3,6) , (4,5) ,每组中 的两数不能同时出现在一个元素中. 对于两位数,若最高位为 9,则共有 2×4=8 个, 若最高位不为 9,则共有 2×4×4×2=64 个,所以 B 中的两位数有 72 个; 对于三位数,若最高位为 9,则共有 A4 ×2×2=48 个, 若最高位不为 9,则共有 A4 ×2× A4 ×2×2=384 个, 所以 B 中的三位数有 48+384=432 个; (2)对于五位数,若最高位为 9,则共有 A4 ×2×2×2×2=384 个, 若最高位不为 9,则共有 A4 ×2× A4 ×2×2×2×2=3072 个, 所以 B 中的五位数有 3072+384=3456 个; 显然 B 中不存在六位数. (3) B 中的两位数和三位数共有 72+432=504 个, 在 B 中的四位数中,千位上为 1,2,3 的各有 192 个,
1 4 4 1 2 2

而 504+192×3=1080 个, 所以第 1081 个元素应为四位数中,千位上为 4 的最小数,即 4012.

2.已知 sin x ? sin y ?

1 1 , cos x ? cos y ? ,求 cos(x ? y ) , sin(x ? y) . 3 5

解析 由 sin x ? sin y ?

1 1 ,得 sin 2 x + sin 2 y + 2 sin x sin y = 9 3 1 1 ,得 cos2 x + cos2 y- 2cosxcosy = 25 5

……①

由 cos x ? cos y ?

……②

1 1 34 , + = 9 25 225 17 208 所以 cos(x + y ) = 1- . = 225 225
两式相加,得 2- 2 cos(x + y) = 又由 sin x ? sin y ?

x+ y x-y 1 1 ,得 2 sin cos = 2 2 3 3

……③

由 cos x ? cos y ?

x+ y x-y 1 1 ,得 - 2 sin sin = 2 2 5 5
x-y 3 =- , 2 5

……④

两式相除,得 tan

3 x-y 2× 15 5 2 所以 sin(x-y ) = =- =- . x-y 9 17 1+ 1 + tan 2 25 2 2 tan

3.点 A 在 y ? kx 上,点 B 在 y ? ?kx上,其中 k ? 0 , OA OB ? k ? 1 ,且 A , B 在 y
2

轴同侧. (1)求 AB 中点 M 的轨迹 C 的方程; (2)曲线 C 与抛物线 x ? 2 py( p ? 0) 相切,求证:切点分别在两定直线上,并求切线方
2

程.

0, 解析 (1)设 A( x1 , kx1 ) , B( x 2 , -kx2 ) , x1 x 2>
2 2 2 2 2 2 2 2 由 OA OB ? k ? 1 ,得 ( x1 + k x1 )( x 2 + k x 2 ) = (k + 1) ,
2

所以 x1 x 2 = 1 . 设点 M 的坐标为 M ( x, y ) ,则 x =

kx1-kx2 x1-x 2 x1 + x 2 ,y= =k 2 2 2
2

所以 x 2- ( ) 2 = x1 x 2 = 1 ,即点 M 的轨迹 C 的方程为 x -
2 2

y k

y2 = 1. k2
2 2

(2)因为曲线 C 与抛物线 x ? 2 py( p ? 0) 相切,得 2 pk y-y = k ,

2 pk ) - 4k = 0 ,得 k = 由 ? = (-
2 2 2

1 1 ,此时 y = , p p

两切点坐标为 ( 2 ,

1 1 ) , (- 2 , ) ,即切点分别在两定直线 x = ± 2 上. p p

1 = 0 和 2 x + py + 1 = 0 . 切线方程分别为 2 x-py-

4.7 个红球,8 个黑球,任取 4 个. (1)求恰有 1 个红球的概率; (2)记取黑球个数为 x ,求其分布列和期望; (3)取出 4 球同色,求全为黑球的概率. 解析 (1)恰有 1 个红球的概率为 (2)黑球个数为 x = 0,1,2,3,4 ,
1 3 C7 C8

C

4 15

=

7 ×56 56 ; = 7 ×15 ×13 195

黑球数为 0 的概率为

C 74 C 80 C
4 15

=

35 5 ; = 7 ×15 ×13 195 35 ×8 40 ; = 7 ×15 ×13 195 21 ×28 84 ; = 7 ×15 ×13 195 7 ×56 56 ; = 7 ×15 ×13 195

黑球数为 1 的概率为

3 1 C7 C8

C

4 15

=

黑球数为 2 的概率为

C 72 C 82 C
4 15

=

黑球数为 3 的概率为

1 3 C7 C8

C

4 15

=

黑球数为 4 的概率为 其分布列为

0 C7 C 84

C

4 15

=

7 ×10 10 ; = 7 ×15 ×13 195

x
p

0

1

2

3

4

5 195

40 195

84 195

56 195

10 195

x 的数学期望为 0×

5 40 84 56 10 32 +1× +2× +3× +4× = . 195 195 195 195 195 15

(3)由(2)知 4 球同色的概率为

5 10 15 , + = 195 195 195 10 195 2 所以,取出 4 球同色,全为黑球的概率为 = . 15 3 195

5.已知 a n +1 = a n + can , n = 1,2,3, ? , a1 > 0 , c > 0 . (1)证明对任意的 M > 0 ,存在正整数 N ,使得对于 n > N , a n > M (2)设 bn =

2

1 can + 1

,记 s n 为 b n 前项和,证明 s n 有界,且 d > 0 时,存在正整数 k ,n > k

时 0 < s n-

1 <d. ca1
2

0 ,于是 解析 (1)由 a1 > 0 , c > 0 ,知 a n +1-a n = can >

a n+1-a n = a n + can 2-a n-1-can-1 2 =(a n-a n-1)(1 + c(a n + a n-1))> a n-a n-1

a n +1-a n>a n-a n-1>a n-1-a n-2>??>a 2-a1
所以

a n = a n-a n-1 + a n-1-a n-2 + ?? + a 2-a1 + a1>(n- 1)(a 2-a1 ) = (n- 1)ca12
2

1)ca1 > M , n > 对任意的 M > 0 ,要使 a n > M ,只需 (n-

M + 1, ca12

取N =[

M + 2] ,于是 n > N , a n > M . ca12

(2) bn =

1 can + 1

=

an
2 ca n + an

=

2 ca n an a n +1-a n 1 1 = = , = - a n +1 ca n a n +1 ca n +1 ca n a n +1 can

所以 s n =

1 1 1 1 = , s n- >0, - ca1 ca n +1 ca1 ca n +1
2

由(1)知 a n +1>nca1 ,所以

1 1 1 1 1 = < 2 2 ,即 s n- < 2 2 , ca1 ca n +1 nc a1 can +1 nc a1

所以 s n 有界; 令 d =

1 1 , 2 2 ,得 n = nc a1 dc 2 a12

取k =[

1 1 0 < s n- <d. 2 2 + 1] ,则 n > k 时 ca1 dc a1

6.设 x, y, z 是两两不等且大于 1 的正整数,求所有使得 xyz 整除 ( xy- 1)( yz- 1)( zx- 1) 的

x, y, z .
解析 因为 ( xy- 1)( yz- 1)( zx- 1) = ( xyz) -xyz(x + y + z) + xy + yz + zx -1, 而 ( xyz) -xyz(x + y + z) 能被 xyz 整除, 于是只需 xy + yz + zx -1 能被 xyz 整除即可. 又 x, y, z 是两两不等且大于 1 的正整数,不妨设 x > y > z ∴ xyz ≤xy + yz + zx -1 < 3xy ,即 z < 3 ,∴ z = 2 . 于是只需 xy + 2 y + 2 x -1 能被 2 xy 整除, 当然
2 2

2 xy ≤xy + 2 y + 2 x- 1 ,即 xy ≤ 2 y + 2 x- 1 ,∴ xy < 2 y + 2 x < 4 x .

于是 y < 4 ,∴ y = 3 ,进而 x ≤ 5 ,∴ x = 5 ,4. 检验知 2、3、5 能使 xy + yz + zx -1 能被 xyz 整除, ∴ ( x, y, z ) = (2,3,5) = (2,5,3) = (3,2,5) = (3,5,2) = (5,2,3) = (5,3,2) .

1. 7.设 f ( x) = (1-x)e -
(1)证明当 x > 0 时, f ( x) < 0 ;

x

(2)令 x n e

x n +1

= e xn - 1 , x1 = 1 ,证明 x n 递减且 x n >
0

1 . 2n

0)e - 1= 0, 解析 (1)因为 f (0) = (1-
又当 x > 0 时, f ( x) = -e + (1-x)e = -xe < 0 , 所以当 x > 0 时, f ( x) < 0 ;
x n +1 xn

'

x

x

x

(2)由 x n e

=e - 1 ,得 e

x n +1

e xn - 1 x = ,又 e > 1 + x ,可得 x n > 0 . xn
x

1< 0, 由(1)知 x > 0 时, f ( x) < 0 , f ( x n ) = (1-x n )e n -
x n e xn > e xn - 1 = x n e xn +1 ,∴ e xn > e xn+1 ,即 xn +1<xn , x n 递减.
下面用数学归纳法证明 x n >

1 . 2n 1 , 2k

n = 1 时显然成立,假设 n = k ( k ∈ N * )时, x k >

e x- 1 1 构造函数 g ( x) = ,当 x > 0 时, g ( x) 为增函数,∴ g ( x k ) > g ( k ) . x 2
x x 2 又当 x > 0 时, e > 1 + ,再设函数 h( x) = x( g ( x)-e ) , 2
x x x x x 2 )e 2 = e ( e 2- (1 + ))> 0 , h( x) 在 (0,÷ ∞ ) 上是增函数, 2 2
1

x 2

则 h ( x) = e - (1 +

'

x

1 1 1 2 k +1 h( k ) > 0 ,∴ g ( k ) > e , 2 2

∴e

xk ?1

?e

2 k ?1

,

xk ?1 ?

1 , 2 k ?1

由数学归纳法知,对于正整数 n ,有 x n >

1 . 2n


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