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高二数学圆锥曲线测试题(周日考试,详细答案)


高二圆锥曲线测试题
一、选择题:
2 2 1.已知动点 M 的坐标满足方程 13 x + y =|12 x + 5 y - 12 | ,则动点 M 的轨迹是(



A. 抛物线 2.设 P 是双曲线

B.双曲线

C. 椭圆

D.以上都不对
<

br />x2 y2 ? ? 1 上一点,双曲线的一条渐近线方程为 3x ? 2 y ? 0, F1 、F2 分别是双曲线 9 a2

的左、右焦点,若 | PF1 A. 1 或 5

|? 5 ,则 | PF2 |? (

) C. 1 D. 9

B. 1 或 9

3、设椭圆的两个焦点分别为 F1、 2,过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P,若△F1PF2 为等腰直角三 、F 角形,则椭圆的离心率是( ). A.

2 2

B.

2 ?1 2

C. 2 ? 2

D.

2 ?1
)条

4.过点(2,-1)引直线与抛物线 y ? x 2 只有一个公共点,这样的直线共有( A. 1 B.2 C. 3 D.4

5.已知点 A(?2,0) 、 B(3,0) ,动点 P( x, y)满足PA? PB ? y 2 ,则点 P 的轨迹是 ( A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线

)

x2 y2 ? ? 1 的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是( ) 6.如果椭圆 36 9 A x ? 2y ? 0 B x ? 2y ? 4 ? 0 C 2 x ? 3 y ? 12 ? 0 D x ? 2y ? 8 ? 0 2 2 7、无论 ? 为何值,方程 x ? 2 sin ? ? y ? 1所表示的曲线必不是( )
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

A. 双曲线
2

B.抛物线
2 2

C. 椭圆

D.以上都不对

8.方程 mx ? ny ? 0 与 mx ? ny ? 1 ( m ? n ? 0) 的曲线在同一坐标系中的示意图应是(



A

B

C

D

2 9.抛物线 y = x 上的点到直线 2 x - y = 4 的最短距离是

A

3 5 5

B

4 5 5

C

13 5 5

D

9 5 20

10.椭圆 心率为

x2 y 2 + = 1 , A1 A2 为长轴, B1B2 为短轴,F 为靠近 A1 点的焦点,若 B2 F ^ A1B1 ,则椭圆的离 a 2 b2

第 1 页

A

5-1 2

B

3-1 2

C

1 2

D

2 2

二、填空题:

11.对于椭圆

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 和双曲线 ? ? 1 有下列命题:椭圆的焦点恰好是双曲线的顶点; ②双 16 9 7 9

曲线的焦点恰好是椭圆的顶点;双曲线与椭圆共焦点; ④椭圆与双曲线有两个顶点相同。其中正确命题 的序号是 12.若直线 (1 ? a) x ? y ? 1 ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 0 相切,则 a 的值为 13、抛物线 C: y2=4x 上一点 Q 到点 B(4,1)与到焦点 F 的距离和最小,则点 Q 的坐标
2 2



14、椭圆

x y ? ? 1 的焦点为 F1 和 F2,点 P 在椭圆上,如果线段 PF1 中点在 y 轴上,那么|PF1|是|PF2|的 12 3

15.若曲线

x2 y2 ? ? 1 的焦点为定点,则焦点坐标是 a?4 a?5

.;

三、解答题:

14 x2 y2 ? ? 1 共焦点,它们的离心率之和为 ,求双曲线方程.(12 分) 16.已知双曲线与椭圆 5 9 25
2 2 17.P 为椭圆 x ? y ? 1 上一点, F1 、 F2 为左右焦点,若 ?F1 PF2 ? 60? 25 9 (1)求△ F1 PF2 的面积; (2)求 P 点的坐标. (14 分)

18.求两条渐近线为 x ? 2 y ? 0 且截直线 x ? y ? 3 ? 0 所得弦长为 曲线方程.

8 3 的双 3

19.知抛物线 y ? 4 x ,焦点为 F,顶点为 O,点 P 在抛物线上移动,Q 是 OP
2

的中点,M 是 FQ 的中点,求点 M 的轨迹方程. (12 分)

20.已知双曲线经过点 M( 6 , 6 ) . (1)如果此双曲线的右焦点为 F(3,0) ,右准线为直线 x= 1,求双曲线方程; (2)如果此双曲线的离心率 e=2,求双曲线标准方程.

21、点 A、B 分别是椭圆

x2 y2 ? ? 1 长轴的左、右端点,点 F 是椭圆的右焦点,点 P 在椭圆上,且位 36 20

于 x 轴上方, PA ? PF 。 (1)求点 P 的坐标; (2)设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点,M 到直线 AP 的距离等于 | MB | ,求椭圆上的点到点 M 的距 离 d 的最小值。
第 2 页

高二理科数学圆锥曲线测试题答案
一、选择题
ADDCD DBAAA

一、

填空题: 12、-1
1 13. ( ,1 ) 4

11.①②

14. 7 倍

15.(0,±3)

三、解答题: 16.(12 分)
解:由于椭圆焦点为 F(0, ? 4),离心率为 e= c=4,a=2,b=2 3 .

4 ,所以双曲线的焦点为 F(0, ? 4),离心率为 2,从而 5 y2 x2 ? ?1 所以求双曲线方程为: 4 12


17.[解析]:∵a=5,b=3? c=4 (1)设 | PF1 |?t 1 , | PF2 |? t 2 ,则 t1 ? t 2 ? 10
2 t12 ? t 2 ? 2t1t 2 ? cos60? ? 82

②,由①2-②得 t1t 2 ? 12

? S ?F1PF2 ?

1 1 3 t1t 2 ? sin 60? ? ? 12 ? ?3 3 2 2 2
1 2

(2) P ( x, y ) , S ?F PF ? 1 ? 2c? | y |? 4? | y | 得 设 由
2

4 | y |? 3 3 ?| y |? 3 3
4

? y??

3 3 4

, y ??3 将

3 4



入椭圆方程解得 x ? ? 5
2

18、解:设双曲线方程为 x -4y = ? .
2

13 , 5 13 3 3 或 5 13 3 3 或 5 13 3 3 或 5 13 3 3 ? P( , ) P(? , ) P( ,? ) P( ? ,? ) 4 4 4 4 4 4 4 4 4

? x 2 -4y2 =? 2 联立方程组得: ? ,消去 y 得,3x -24x+(36+ ? )=0 ?x ? y ? 3 ? 0
x1 ? x2 ? 8 ? ? 36 ? ? ? 设直线被双曲线截得的弦为 AB,且 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ),那么: ? x1 x2 ? 3 ? ? ? 242 ? 12(36 ? ? ) ? 0 ? ?
那么:|AB|= (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ] ? (1 ? 1)(82 ? 4 ? 解得: ? =4,所以,所求双曲线方程是:

36 ? ? 8(12 ? ? ) 8 3 )? ? 3 3 3

x2 ? y2 ? 1 4 19 [解析]:设 M( x, y ) ,P( x1 , y1 ) ,Q( x2 , y2 ) ,易求 y 2 ? 4 x 的焦点 F 的坐标为(1,0) 1 ? x2 ? ?x ? 2 ? ∵ M 是 FQ 的 中 点 , ∴ ? ? ? x 2 ? 2 x ? 1 , 又 Q 是 OP 的 中 点 ∴ 2 ? ?y ? y ? y2 ? 2 y ? 2 ?

第 3 页

x1 ? ?x2 ? 2 ? ? ? y1 ?y ? ? 2 2 ?

?x1 ? 2 x2 ? 4 x ? 2 , ? ? y1 ? 2 y 2 ? 4 y

∵P 在抛物线 y 2 ? 4 x 上,∴ (4 y) 2 ? 4(4 x ? 2) ,所以 M 点的轨迹方程为 y 2 ? x ? 1 .
2

2020 解: (1)∵双曲线经过点 M( 6 , 6 ) ,
且双曲线的右准线为直线 x= 1,右焦点为 F(3,0) ∴由双曲线定义得:离心率 e ?

MF

( 6 ? 3) 2 ? ( 6 ? 0) 2 = ? 6 ?1 6 ?1

3

设 P(x,y)为所求曲线上任意一点, ∴由双曲线定义得:

PF ( x ? 3) 2 ? ( y ? 0) 2 = ? x ?1 x ?1

3

化简整理得

x2 y2 ? ?1 3 6

(2)? e ?

c ? 2 ? c ? 2a , a

又 ? c 2 ? a 2 ? b 2 ,? b ? 3a
x2 y2 ?1, ①当双曲线的焦点在 x 轴上时,设双曲线标准方程为 2 ? a 3a 2
∵点 M( 6 , 6 )在双曲线上,∴

6 6 ? 2 ?1, 2 a 3a

2 2 解得 a ? 4 , b ? 12 , 则所求双曲线标准方程为

x2 y2 ? ?1 4 12

2 2 ②当双曲线的焦点在 y 轴上时,设双曲线标准方程为 y ? x ? 1 , 2 2

a

3a

∵点 M( 6 , 6 )在双曲线上,∴ 解得 a
2

6 6 ? 2 ?1, 2 a 3a

? 4 , b 2 ? 12 ,

故所求双曲线方程为

y x x2 y2 ? ?1 或 ? ?1 4 12 4 12
??? ?

2

2

21(14 分)解:(1)由已知可得点 A(-6,0),F(0,4) 设点 P( x , y ),则 AP =( x +6, y ), FP =( x -4, y ),由已知可得

??? ?

第 4 页

? x2 y 2 ?1 ? ? ? 36 20 ?( x ? 6)( x ? 4) ? y 2 ? 0 ?
则 2 x +9 x -18=0, x =
2

3 或 x =-6. 2

由于 y >0,只能 x =

3 5 3 ,于是 y = . 2 2

∴点 P 的坐标是(

3 5 3 , ) 2 2

(2) 直线 AP 的方程是 x - 3 y +6=0.

设点 M( m ,0),则 M 到直线 AP 的距离是 椭圆上的点( x , y )到点 M 的距离 d 有

m?6 2

.

于是

m?6 2

= m ? 6 ,又-6≤ m ≤6,解得 m =2.

5 4 9 d 2 ? ( x ? 2 )2 ? y 2 ? x ?4 x2 ?4 ?2 0 ? x2 ? (x ? 2) , ?1 5 9 9 2 9 由于-6≤ m ≤6, ∴当 x = 时,d 取得最小值 15 2
说明:在解析几何中求最值:一是建立函数关系,利用代数方法求出相应的最值;再是利用圆锥曲 线的几何性质或者曲线的参数方程求最值。

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