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北京市朝阳区2017届高三一模数学理试题及答案(WORD版)


北京市朝阳区高三年级第一次综合练习

数学学科测试(理工类)
(考试时间 120 分钟

2017.3

满分 150 分)

本试卷分为选择题(共 40 分)和非选择题(共 110 分)两部分

第一部分(选择题 共 40 分)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项. (1)已知集合 A ? {x | ? 1 ? x ? 3} , B ? {x ? Z | x2 ? 4} ,则 A ? B ? (A) {0,1} (C) {?1, 0,1, 2} (B) {?1, 0,1} (D) {?2, ?1, 0,1, 2}

?2 x ? y ≤ 0, ? (2)若 x, y 满足 ? x ? y ≤ 3, 则 2 x ? y 的最大值为 ? x ≥ 0, ?
(A) 0 (C) 4 (B) 3 (D) 5

开始 输入 m,n

i?0 i ? i ?1
a ? m ?i
a 能被 n 整除? 是 输出 a 结束 否

(3)执行如图所示的程序框图,若输入 m ? 4 , n ? 6 ,则输出 a ? (A) 4 (C) 12 (4)给出如下命题: ①若“p∧q”为假命题,则 p, q 均为假命题; ②在△ABC 中,“ A>B ”是“ sin A>sin B ”的充要条件; ③ (1 ? x) 的展开式中二项式系数最大的项是第五项.
8

(B) 8 (D) 16

其中正确的是 (A)①② (B)②③ (C)①③ (D)①②③

2 (5)设抛物线 y ? 8x 的焦点为 F,准线为 l ,P 为抛物线上一点, PA ? l ,A 为垂足.若直线 AF 的

斜率为 ? 3 ,则 PF ? (A) 4 3 ( 6 ) 已 知 函 数 f ( x) ? ? (B) 6 (C) 8 (D)16

? ? log 4 x , 0 ? x ? 4, 若 a , b , c , d 是互不相同的正数,且 2 x ? 10 x ? 25, x ? 4. ? ?

f (a) ? f (b) ? f (c) ? f (d ) ,则 abcd 的取值范围是
(A) (24, 25) (B) (18, 24) (C) (21, 24) (D) (18, 25)

(7)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的底面的面积是
1

0.5 0.5 正视图 侧视图

1

俯视图

(A)

1 2

(B)

3 2

(C)

1 4

(D)

3 4

(8)现有 10 支队伍参加篮球比赛,规定:比赛采取单循环比赛制,即每支队伍与其他 9 支队伍各 比赛一场;每场比赛中,胜方得 2 分,负方得 0 分,平局双方各得 1 分.下面关于这 10 支队伍 得分的叙述正确的是 (A)可能有两支队伍得分都是 18 分 (C)各支队伍中最高得分不少于 10 分 (B)各支队伍得分总和为 180 分 (D)得偶数分的队伍必有偶数个

第二部分(非选择题 共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.

1? i 在复平面内对应的点的坐标是____. i ? (10)在△ ABC 中, ?A ? , BC ? 3 , AB ? 6 ,则 ?C ? ____. 3
(9)复数 通项公式 an ? .

a1 ? a9 ? 26 , Sn 为其前 n 项和. (11) 已知 { an } 为等差数列, 若 S6 ? 51 , 则数列 { an } 的公差 d ?



(12) 在极坐标系中,直线 C1 的极坐标方程为 ? sin(? ?

? ) ? 2 .若以极点为原点,极轴为 x 轴的 4

正半轴建立平面直角坐标系 xOy ,则直线 C1 的直角坐标方程为_____;曲线 C2 的方程为

? x ? cos t , ( t 为参数) ,则 C2 被 C1 截得的弦长为___. ? ? y ? 1 ? sin t

(13) 如图, ?AB1C1 , ?C1B2C2 , ?C2 B3C3 是三个边长为 2 的等边三角形,且有一条边在同一直 线 上 , 边 B3C3 上 有 2 个 不 同 的 点
B1 B2 B3 P1

???? ? ??? ? ???? ,则 P , P AB ( ? AP = 1 2 2 1 + AP 2)

.
P2 A C1 C2 C3

( 14 )在 平面 直 角坐 标系 xOy 中 ,动 点

P( x, y) 到两坐标轴的距离之和等于它到定点 (1,1) 的距离, 记点 P 的轨迹为 C .给出下面四个结
论: ①曲线 C 关于原点对称; ②曲线 C 关于直线 y ? x 对称; ③点 (?a2 ,1)(a ? R) 在曲线 C 上; ④在第一象限内,曲线 C 与 x 轴的非负半轴、 y 轴的非负半轴围成的封闭图形的面积小于 其中所有正确结论的序号是 .

1 . 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. (15) (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? sin ? x(cos ? x ? 3 sin ? x) ? (Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调递减区间.

π 3 (? ? 0) 的最小正周期为 . 2 2

(16) (本小题满分 13 分) 某单位共有员工 45 人,其中男员工 27 人,女员工 18 人.上级部门为了对该单位员工的工作 业绩进行评估,采用按性别分层抽样的方法抽取 5 名员工进行考核. (Ⅰ)求抽取的 5 人中男、女员工的人数分别是多少; (Ⅱ)考核前,评估小组从抽取的 5 名员工中,随机选出 3 人进行访谈.设选出的 3 人中男 员工人数为 X ,求随机变量 X 的分布列和数学期望; (Ⅲ)考核分笔试和答辩两项.5 名员工的笔试成绩分别为 78,85,89,92,96;结合答辩 情况,他们的考核成绩分别为 95,88,102,106,99.这 5 名员工笔试成绩与考核成
2 2 2 2 绩的方差分别记为 s1 , s2 ,试比较 s1 与 s2 的大小. (只需写出结论)

(17) (本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,平面 PAD ? 平面 ABCD , E 为 AD 的中点, PA ? AD ,

BE ? CD , BE ? AD ,

P

PA ? AE ? BE ? 2, CD ? 1.
(Ⅰ)求证:平面 PAD ? 平面 PCD ; (Ⅱ)求二面角 C ? PB ? E 的余弦值; (Ⅲ)在线段 PE 上是否存在点 M ,使得

DM ? 平面 PBC ?若存在,求出点
M 的位置;若不存在,说明理由.

A

E C
B

D

(18)(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? 1 ( a ? R ), g ( x) ? xf ( x) ? (Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)当 a ? 1 时,若函数 g ( x) 在区间 (m, m + 1)(m ? Z) 内存在唯一的极值点,求 m 的值.

1 2 x ? 2x . 2

(19)(本小题满分 14 分) 已知椭圆 C :

x2 6 ? y 2 ? 1(a ? 1) ,离心率 e ? .直线 l : x ? my ? 1与 x 轴交于点 A ,与椭 2 a 3

圆 C 相交于 E , F 两点.自点 E , F 分别向直线 x ? 3 作垂线,垂足分别为 E1 , F1 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程及焦点坐标; (Ⅱ)记 ?AEE1 , ?AE1F1 , ?AFF1 的面积分别为 S1 , S2 , S3 ,试证明

S1S3 为定值. S22

(20)(本小题满分 13 分)
? 对于正整数集合 A = {a1 , a2 ,?, an } ( n ? N , n ? 3 ) ,如果去掉其中任意一个元素 ai

( i = 1, 2,?, n )之后,剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合,且这两个集 合的所有元素之和相等,就称集合 A 为“和谐集”. (Ⅰ)判断集合 {1, 2,3, 4,5} 是否是“和谐集”(不必写过程) ; (Ⅱ)求证:若集合 A 是“和谐集”,则集合 A 中元素个数为奇数; (Ⅲ)若集合 A 是“和谐集”,求集合 A 中元素个数的最小值.

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习

数学学科测试答案(理工类)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 答案 (1) B (2) C (3) C (4) B (5) C

2017.3

(6) A

(7) D

(8) D

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 题号 答案
(9)
(1, ?1)

(10)
? 4

(11)
3 , 3n ? 2

(12)

(13)
36

(14)

x ? y ?2 ? 0, 2

②③④

三、解答题: (15) (本小题满分 13 分) 解:因为 f ( x) ? sin ? x(cos ? x ? 3 sin ? x) ?

3 2 3 2

? sin ? x ? cos ? x ? 3 sin 2 ? x ? 1 3 ? sin 2? x ? cos 2? x 2 2
π ? sin(2? x ? ) , 3
(Ⅰ) 又因为函数 f ( x ) 的最小正周期为 所以

…………5 分

2? ? ? . 2? 2

π , 2

解得 ? ? 2 . (Ⅱ) 令 2kπ ?

…………7 分

π π 3π ? 4 x ? ? 2kπ ? , k ? Z 得, 2 3 2 π 7π 2kπ ? ? 4 x ? 2kπ ? , k ? Z , 6 6 kπ π kπ 7π ? ?x? ? ,k ?Z . 所以 2 24 2 24 kπ π kπ 7π , ? ], k ? Z . 所以函数 f ( x ) 的单调递减区间是 [ ? 2 24 2 24
5 ? 27 ? 3 , 45

…………13 分

(16) (本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)抽取的 5 人中男员工的人数为

女员工的人数为

5 ?18 ? 2 .…………………………………4 分 45

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,抽取的 5 名员工中,有男员工 3 人,女员工 2 人. 所以,随机变量 X 的所有可能取值为 1, 2, 3 . 根据题意, P( X ? 1) ?
1 2 C3 ? C2 3 ? , 3 C5 10

P( X ? 2) ?

1 C32 ? C2 6 ? , 3 C5 10

3 0 C3 ? C2 1 P( X ? 3) ? ? . 3 C5 10

随机变量 X 的分布列是:

X
P
数学期望 EX ? 1?
2 2 (Ⅲ) s1 . ? s2

1

2

3

3 10

6 10

1 10

3 6 1 18 9 ? 2 ? ? 3? ? ? . ………………………………10 分 10 10 10 10 5
……………………………………………………………13 分

(17) (本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:由已知平面 PAD ? 平面 ABCD , PA ? AD , 且平面 PAD ? 平面 ABCD ? AD , 所以 PA ? 平面 ABCD . 所以 PA ? CD . 又因为 BE ? AD , BE ? CD , 所以 CD ? AD . 所以 CD ? 平面 PAD . 因为 CD ? 平面 PCD , 所以平面 PAD ? 平面 PCD . ……4 分
A E C x B D y P z

??? ? ??? ? (Ⅱ)作 Ez ? AD,以 E 为原点,以 EB, ED

的方向

分别为 x 轴,y 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 E-xyz, 则点 E (0, 0, 0) , P(0, ?2, 2) , A(0, ?2, 0) , B(2, 0, 0) , C (1, 2, 0) . 0) , D(0, 2,

所以 PB ? (2, 2, ? 2,) , BC ? (?1, 2, 0) , EP ? (0, ?2, 2) . 设平面 PBC 的法向量为 n=(x,y,z),

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ? ? n ? PB ? 0, ? x ? y ? z ? 0, 所以 ? ??? 即? ? ? ?n ? BC ? 0. ? ? x ? 2 y ? 0.
令 y ? 1 ,解得 n ? (2,1,3) . 设平面 PBE 的法向量为 m=(a,b,c),

??? ? ? ?m ? PB ? 0, ?a ? b ? c ? 0, 所以 ? 即? ??? ? ? ? m ? EP ? 0. ? ?b ? c ? 0.
令 b ? 1 ,解得 m ? (0,1,1) . 所以 cos? n, m? ?

2 ? 0 ? 1?1 ? 3 ?1 2 7 . ? 7 14 ? 2

2 7 . …………………………………10 分 7 ???? ? (Ⅲ) “线段 PE 上存在点 M ,使得 DM ? 平面 PBC ”等价于“ DM ? n ? 0 ”. ??? ? ???? ? ??? ? 因为 PE ? (0, 2, ? 2? ) , ? ? (0,1) , ? 2) ,设 PM ? ? PE ? (0, 2?, ???? ? 2 ? 2? ) , DM ? (0, 2? ? 4, 则 M (0, 2? ? 2, 2 ? 2?) .
由图可知,二面角 C ? PB ? E 的余弦值为 由(Ⅱ)知平面 PBC 的法向量为 n ? (2,1,3) , 所以 DM ? n ? 2? ? 4 ? 6 ? 6? ? 0 . 解得 ? ?

???? ?

1 . 2
………14 分

所以线段 PE 上存在点 M ,即 PE 中点,使得 DM ? 平面 PBC . (18) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由已知得 x ? 0 , f ?( x) ?

1 1 ? ax ?a ? . x x

(ⅰ)当 a ≤ 0 时, f ?( x) ? 0 恒成立,则函数 f ( x ) 在 (0, ??) 为增函数; (ⅱ)当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 ,得 0 ? x ? 由 f ?( x) ? 0 ,得 x ?

1 ; a

1 ; a 1 1 所以函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0, ) ,单调递减区间为 ( , ??) . ……4 分 a a 1 2 1 2 1 2 (Ⅱ)因为 g ( x) ? xf ( x) ? x ? 2 x ? x(ln x ? x ? 1) ? x ? 2 x ? x ln x ? x ? x , 2 2 2

则 g ?( x) ? ln x ? 1 ? x ? 1 ? ln x ? x ? 2 ? f ( x) ? 3 . 由(Ⅰ)可知,函数 g ?( x ) 在 (0,1) 上单调递增,在 (1, ??) 上单调递减. 又因为 g ?(

1 1 1 ) ? ?2 ? 2 ? 2 ? ? 2 ? 0 , g ?(1) ? 1 ? 0 , 2 e e e

所以 g ?( x ) 在 (0,1) 上有且只有一个零点 x1 . 又在 (0, x1 ) 上 g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 (0, x1 ) 上单调递减; 在 ( x1 ,1) 上 g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 ( x1 ,1) 上单调递增. 所以 x1 为极值点,此时 m ? 0 . 又 g ?(3) ? ln 3 ? 1 ? 0 , g ?(4) ? 2ln 2 ? 2 ? 0 , 所以 g ?( x ) 在 (3, 4) 上有且只有一个零点 x2 . 又在 (3, x2 ) 上 g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 (3, x2 ) 上单调递增; 在 ( x2 , 4) 上 g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 ( x2 , 4) 上单调递减. 所以 x2 为极值点,此时 m ? 3 . 综上所述, m ? 0 或 m ? 3 . ……………………………………………………13 分 (19) (本小题满分 14 分)

a2 ?1 2 c 6 ? . 解: (Ⅰ)由题意可知 b ? 1 ,又 ? ,即 a2 3 a 3
解得 a ? 3 .即 a ? 3 .
2

所以 c ? a ? b ? 2 .
2 2

所以椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1,焦点坐标为 (? 2,0) . …………………4 分 3

(Ⅱ)由 ?

x ? my ? 1, 2 2 得 (m ? 3) y ? 2my ? 2 ? 0 ,显然 m ? R . 2 x ? 3 y ? 3 ? 0 ? ?
2

设 E( x1, y1 ), F ( x2 , y2 ) ,则 y1 ? y2 ?

?2m ?2 , y1 y2 ? 2 , E1 (3, y1 ), F 1 (3, y2 ) . 2 m ?3 m ?3

因为 S1S3 ?

1 1 (3 ? x1 ) y1 ? (3 ? x2 ) y2 2 2 1 ? (2 ? my1 )(2 ? my2 ) y1 y2 4 1 ? [4 ? 2m( y1 ? y2 ) ? m 2 y1 y2 ] y1 y2 4

y
E O A F E1

x
F1

1 ?2m ?2 ?2 ? (4 ? 2m ? 2 ? m2 ? 2 ) 2 4 m ?3 m ?3 m ?3

?

3(m2 ? 2) , (m2 ? 3)2
2

又因为 S 2 ? [ ? 2 y1 ? y2 ]

1 2

2

? ( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2
? 4m2 8 4m2 ? 8m2 ? 24 12m2 ? 24 . ? ? ? (m2 ? 3)2 m2 ? 3 (m2 ? 3)2 (m2 ? 3) 2

3(m 2 ? 2) SS 1 (m 2 ? 3) 2 所以 1 23 ? ? . 2 12(m ? 2) 4 S2 (m 2 ? 3) 2
(20) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)集合 {1, 2,3, 4,5} 不是“和谐集”.

………………………………14 分

…………………………………3 分

(Ⅱ)设集合 A = {a1 , a2 ,?, an } 所有元素之和为 M . 由题可知, M - ai ( i = 1, 2,?, n )均为偶数, 因此 ai ( i = 1, 2,?, n )的奇偶性相同. (ⅰ)如果 M 为奇数,则 ai ( i = 1, 2,?, n )也均为奇数, 由于 M = a1 + a2 + ?+ an ,所以 n 为奇数. (ⅱ)如果 M 为偶数,则 ai ( i = 1, 2,?, n )均为偶数, 此时设 ai = 2bi ,则 {b1 , b2 ,?, bn } 也是“和谐集”. 重复上述操作有限次,便可得各项均为奇数的“和谐集”. 此时各项之和也为奇数,集合 A 中元素个数为奇数.

综上所述,集合 A 中元素个数为奇数. (Ⅲ)由(Ⅱ)可知集合 A 中元素个数为奇数,

…………………………………8 分

当 n = 3 时,显然任意集合 {a1 , a2 , a3} 不是“和谐集”. 当 n = 5 时,不妨设 a1 < a2 < a3 < a4 < a5 , 将集合 {a1 , a3 , a4 , a5} 分成两个交集为空集的子集,且两个子集元素之和相等, 则有 a1 + a5 = a3 + a4 ①,或者 a5 = a1 + a3 + a4 ②; 将集合 {a2 , a3 , a4 , a5} 分成两个交集为空集的子集,且两个子集元素之和相等, 则有 a2 + a5 = a3 + a4 ③,或者 a5 = a2 + a3 + a4 ④. 由①、③,得 a1 = a2 ,矛盾;由①、④,得 a1 = - a2 ,矛盾; 由②、③,得 a1 = - a2 ,矛盾;由②、④,得 a1 = a2 ,矛盾. 因此当 n = 5 时,集合 A 一定不是“和谐集”. 当 n = 7 时,设 A = {1,3,5,7,9,11,13} , 因为 3 + 5 + 7 + 9 = 11 + 13 , 1 + 9 + 13 = 5 + 7 + 11 ,

9 + 13 = 1 + 3 + 7 + 11 , 1 + 3 + 5 + 11 = 7 + 13 ,1+ 9 + 11 = 3 + 5 + 13,

3 + 7 + 9 = 1 + 5 + 13 , 1 + 3 + 5 + 9 = 7 + 11 ,
所以集合 A = {1,3,5,7,9,11,13} 是“和谐集”. 集合 A 中元素个数 n 的最小值是 7. ……………………………………13 分


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