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2011学年广州市西关培英中学高三模拟考试理科数学问卷


2011 学年广州市西关培英中学高三模拟考试理科数学问卷
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分. 共 150 分,测试时间 120 分钟.

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

注意事项: 1.答第 1 卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上。 2.每小题选出答案后,用 HB 或者 2B 铅笔把答题卡上的对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮 擦干净后,再选涂其他答案标号。不能答在试题卷上。 一、选择题:本大题共 12 个小题. 每小题 5 分;共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.已知集合 A ? {( x, y) | y ? x 2 , x ? R}, B ? {( x, y) | y ? x, x ? R} ,则集合 A ? B 中的元素个数为 ( ) C.2 个

A.0 个

B.1 个

D.无穷多个

(1 ? i )(1 ? i) 等于() i A. 2i B. ? 2i C. ?2 ? 1 7? 3.若 sin(? ? ) ? , 则 cos( ? ? ) 的值为 12 3 12

2.复数

D. 2
( )

A. 1 B. ? 1 C. ? 2 2 D. 2 2 3 3 3 3 4.给出如下三个命题:①四个实数 a、b、c、d 依次成等比数列的必要而不充分条件是 ad=bc;②命题“若 x ≥2 且 y≥3,则 x+y≥5”为假命题;③若 p∧q 为假命题,则 p、q 均为假命题. 其中不正确的命题序号 是 ( ) A.①②③ B.①② C.②③ D.③ 5.已知⊙C:x2+y2=1,点 A(-2,0)和点 B(2,a) ,从点 A 观察点 B,要使视线不被⊙C 挡住,则实数 a 的取值范围是 ( ) A. (??,?1) ? (1,??) C. (??,? 4 3 ) ? ( 4 3 ,??) 3 3 B. (??,? 2 3 ) ? ( 2 3 ,??)
3 3

D. (? 4 3 , 4 3 ) 3 3

6.对于实数 x,符号[x]表示不超过 x 的最大整数,例如[π ]=3,[-1.08]=-2,定义函数 f (x) =x-[x],则下 列命题中正确的是 A.函数 f (x) 的最大值为 1 C.函数 f (x) 是周期函数
2

( B.方程 f ( x) ?



1 有且仅有一个解 2

D.函数 f (x) 是增函数

7.由曲线 y ? x 和直线 x=0,x=1,y=t2,t∈(0,1)所围成的图形 (阴影部分)的面积的最小值为 A. ( C. ) D.

1 4

B.

1 3

1 2

2 3

8.从双曲线

x2 y2 2 2 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点 F 引圆 x ? y ? a 的切线 l,切点为 T,且 l 交双曲线的右支 2 a b 于点 P. 若点 M 是线段 FP 的中点,O 为坐标原点,则|OM|-|TM|= ( )
A.

b?a 2

B. b ? a

C.

a?b 2

D. a ?

b 2

第 II 卷(非选择题

共 90 分)

2 二、填空题(本大题共 7 小题,分为必做题和选做题两部分.每小题 5 分,满分 30 分) 0 (一)必做题:第 9 至 13 题为必做题,每道试题考生都必须作答. 0 9.如图,从参加奥运知识竞赛的学生中抽出 60 名,将其成绩(均为整数)整理后画出的频率分布直方图如 8 下:观察图形,估计这次奥运知识竞赛的及格率(大于或等于 60 分为及格)为 . 0 4 2 8

13 题图

10.数列{ an }是公差不为 0 的等差数列,且 a1,a3,a7 是等比数列{ bn }的连 续三项,若 b1=1,则 b2012= 是 . . 11.在可行域内任取一点,规则如流程图所示,则能输出数对(x,y)的概率 12.半径为 4 的球面上有 A、B、C、D 四点,AB,AC,AD 两两互相垂直, 则△ABC、△ACD、△ADB 面积之和 S ?ABC ? S ?ACD ? S ?ADB 的最大值 为 13. 现要给四棱锥 P—ABCD 的五个面涂上颜色, 要求相邻的面涂不同的颜色, 可供选择的颜色共有 4 种,则不同的涂色方案的种数是 . D B O C F E P

(二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只能选做其中一题,两题全答的, 只计前一题的得分。 14. (几何证明选讲) 如图所示, AB 与 CD 是⊙O的直径, AB ? CD , P 是 AB 延长线上一 点, PC 交⊙O于点 E , DE 交 AB 于点 F , AB ? 2 BP =2. PF ? PO 连 连 若 则 = . A

15. (坐标系与参数方程)

1 ? ? x ? ?2 2 ? 2 t 点 P 是曲线 C1 : ? x ? 1 ? cos? (?为参数) 上到直线 C 2 : ? 的距离最小的点,则该 (t为参数) ? ? 1 ? y ? sin ? ? y ? 1? t ? ? 2
点 P 是坐标为 ,最小距离为 .

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 74 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 请将解答务必写在 答题卡的相应位置. 16. (本小题满分 12 分) 已知向量: a ? (2 sin ?x, cos2 ?x),向量b ? (cos?x,2 3), 其中? ? 0 , 函数 f ( x) ? a ? b ,若 f (x) 图象的相邻两对称轴间的距离为 ? . (1)求 f (x) 的解析式; (2)若对任意实数 x ? [

? ?

, ] ,恒有 | f ( x) ? m |? 2 成立,求实数 m 的取值范围. 6 3

17. (本小题满分 12 分) 某休闲会馆拟举行“五一”应祝活动,每位来宾交 30 元的入场费,可参加一次抽奖活动. 抽奖活动 规则是:从一个装有分值分别为 1,2,3,4,5,6 的六个相同小球的抽奖箱中,有放回的抽取两次, 每次抽取一个球,规定:若抽得两球的分值和为 12 分,则获得价值为 m 元的礼品;若抽得两球的分值 和为 11 分或 10 分,则获得价值为 100 元的礼品;若抽得两球的分值和低于 10 分,则不获奖. (1)求每位会员获奖的概率; (2)假设会馆这次活动打算即不赔钱也不赚钱,则 m 应为多少元?

18. (本小题满分 12 分) 已知梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=∠BAD=

? , 2

AB ? BC ? 2 AD ? 4 ,E、F 分别是 AB、CD 上的中点,G 是 BC 的中点. 沿 EF
将梯形 ABCD 翻折,使平面 AEFD⊥平面 EBCF(如图). (1)求证:BD⊥EG; (2)求 EG 和平面 ABCD 所成的角; (3)求二面角 B—DC—F 的余弦值.

19. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an }满足an ? 2an?1 ? 2 ? 2
n

(n ? 2), a1 ? 2.

(1)求 a2,a3,a4; (2)是否存在一个实数λ ,使得数列 { 由; (3)设 Sn 为数列 {an } 的前 n 项和,证明: S n ? n ? n .
3 2

an ? ? } 成等差数列,若存在,求出λ 的值;若不存在,请说明理 2n

20. (本题满分 12 分) 已知圆 C : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? r 2 (r ? 1) ,设 M 为圆 C 与 x 轴负半轴的交点,过点 M 作圆 C 的弦 MN, 并使它的点 P 恰好落在 y 轴上. (1)当 r=2 时,求满足条件的 P 点的坐标; (2)当 r ? (1,??) 时,求点 N 的轨迹 E 的方程; (3)若 A( x1 ,2) 、 B( x2 , y 2 ) 、 C( x0 , y0 ) 是 E 上不同的点,且 AB ? BC ,求 y0 的取值范围.

21. (本小题满分 14 分) 设 x1 、 x2 是函数 f ( x) ? (1)求 a 的取值范围; (2)设 g (a) ?

a 3 b 2 x ? x ? a 2 x(其中 a ? 0) 的两个极值点,且| x1 |+| x2 |=2. 3 2

b 2 ka e (k ? R), 求g (a) 的单调区间; 4a 2

(3)若函数 h( x) ? f ?( x) ? 2a( x ? x1 ), 求证 : 当x1 ? x ? 2且x1 ? 0时, 有 | h( x) |? 4a.

2011 学年广州市西关培英中学高三模拟考试理科数学答案
一、C B B C C C A B
2 2 2 14.12 15. (1,) 2 2 0 三、 0 2 16.解: (1) f ( x) ? a ? b ? (2 sin ?x, cos ?x) ? (cos?x,2 8 ) ? sin 2?x ? 3(1 ? cos2?x) 3 0 ? 4 ? 2 sin( 2?x ? ) ? 3 ????????????????????????8 分 3 2 2? 1 8 ? 2? ,? ? ? ∵相邻两对称轴的距离为 ? ,?

二、9.0.75 10.22011 11.

? 4

12.32

13.72

1

? f ( x) ? 2 sin( x ?
(2)? x ? [

?
3

2?

2

) ? 3 ??????????????????????6 分

? ?

? ? 2? , ],? x ? ? [ , ] ??????????????????7 分 6 3 3 2 3

? 2 3 ? f ( x) ? 2 ? 3 ,??????????????????????8 分
| 又? f ( x) ? m |? 2,? ?2 ? m ? f ( x) ? 2 ? m ??????????????10 分
若对任意 x ? [

? ?

?? 2 ? m ? 2 3 ? , ] ,恒有 | f ( x) ? m |? 2成立, 则有? 6 3 ?2 ? m ? 2 ? 3 ?

解得 3 ? m ? 2 ? 2 3 ???????????????????????12 分 17.解: (1)两次抽取的球的分值构成的有序数对共有 36 对,其中分值和为 12 的有 1 对,分值和为 11 的有 两对,分值和为 10 的有 3 对,所以每位会员获奖的概率为

p?

1? 2 ? 3 1 ? ;??????????????????????4 分 36 6 1 2?3 5 , p(? ? ?70) ? ? , 36 36 36

(2)设每位来宾抽奖后,休闲宾馆的获利的元数为随机变量ξ ,则

p(? ? 30 ? m) ?

5 , ??????????8 分 6 1 5 5 580 ? m ? (30 ? m) ? ? (?70) ? ? 30 ? 则宾馆获利的期望为 E? ? 36 36 6 36 p(? ? 30) ? 1 ? p(? ? ?70) ? p(? ? 30 ? m) ?
若会馆这次活动打算既不赔钱也不赚钱,则 Eξ =0, 所以,m=580.??????????????????????????12 分 18.解:建立如图所示的空间坐标系,则 A(0,0,2) ,B(2,0,0) ,C(2,4,0) ,D(0,2,2) ,G(2, 2,0) ,F(0,3,0) (1) EG ? (2,2,0), BD ? (?2,2,2) ????????????????2 分

? cos ? EG, BD ??

(2,2,0) ? (?2,2,2) 2 ?2
2 2

(?2) ? 2 ? 2
2 2

2

?0

? BD ? EG ??????????????????????????4 分

(2)设面 ABCD 的法向量为 n1 ? ( x, y, z),则n1 ? AB ? 0, n1 ? BC ? 0 即?

?2 x ? 2 z ? 0 设x ? 1,即n1 ? (1,0,1) ????????6 分 ?4 y ? 0
(2,2,0) ? (1,0,1) 2 ?2
2 2

cos ? n1 ? EG ??

?

2

1 2

EG 和平面 ABCD 所成的角为 30°????????????????8 分 (3)设平面 DFC 的法向量为 n2 ? ( x, y, z),则n2 ? DC ? 0, n2 ? FC ? 0

?2 x ? 2 y ? 2 z ? 0 取x ? 1, n2 ? (1,?2,3) ????????10 分 ? ?2 x ? y ? 0
cos ? n1 ? n2 ?? (1,0,1) ? (1,?2,?1) 2 14

∴所以二面角 B—DC—F 的斜弦值为 0????????????????12 分 19.解: (1)a2=4+4+2=10,a3=20+8+2=30,a4=60+16+2=78????3 分 (2)假设存在一个实数λ ,使得数列 {

an ? ? a ?? a ?? } 成等差数列,则 n n ? n ?1n ?1 n 2 2 2

2a n ?1 ? 2 n ? 2 ? ? ? 2a n ?1 ? 2? 2?? ? 1 ? n 恒为常数,????????5 分 n 2 2
? 2 ? ? ? 0, 即? ? 2, 而 a ?? a 2 ? 2 a1 ? 2 ? ? 1,? ? ? 2时数列 n n }为等差数列??7 分 { n 2 2 2

(3) (解法一)

a n ? 2 a1 ? 2 ? ? (n ? 1) ? n ? 1,? a n ? (n ? 1)2 n ? 2 n n 2 2

S n ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 2 ? 4 ? 2 3 ? ? ? (n ? 1)2 n ? 2n 2S n ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 3 ? 4 ? 2 4 ? ? ? (n ? 1)2 n?1 ? 4n
两式相减得:

? S n ? 2 ? 2 ? 22 ? 23 ? ? ? 2n ? (n ? 1)2n?1 ? 2n ? ?n ? 2n?1 ? 2n ??????9 分
? S n ? n ? 2 n ?1 ? 2n ? 2n(2 n ? 1) ? 2n[(1 ? 1) n ? 1] ? 2n(1 ? n ? n(n ? 1) ? ? ? 1) ? n 3 ? n 2 ?12 分 2

解法二:用数学归纳法也可. 20.解: (1)当 r=2 时,M(-1,0) ,设 P(0,b) ,由题意得 2 2 2 N(1,2b) ,所以(1-1) +(2b) =2 ,解得 b ? ?1 , 故所求点 P 的坐标为(0,-1)或(0,1)??????????????3 分 (2)有条件知: M (?r ? 1,0),设P(0, b), N ( x, y),则x ? r ? 1 所以 (r ? 1 ? 1) ? y ? r ,即y ? 4r ? 4 ? 4 x
2 2 2 2

所以点 N 的轨迹方程为:y2=4x.????????????????????7 分
2 2 y0 y2 , y 2 ), C ( , y 0 ), y 0 ? 2, y 0 ? y 2 , (3)由(2)知 A(1,2) B( , 4 4 2 2 y 2 ? y2 y2 ? 4 , y 2 ? 2), BC ? ( 0 , y0 ? y2 ) , 4 4

则 AB ? (

又因为 AB ? BC, 所以AB ? BC ? 0
2 2 2 y2 ? 4 y0 ? y2 ? ? ( y 2 ? 2)( y 0 ? y 2 ) ? 0 , 4 4

2 整理 y2 ? ( y0 ? 2) y2 ? 16 ? 2 y0 ? 0 ,则此方程有解,

所以 ? ? ( y0 ? 2) 2 ? 4 ? (16 ? 2 y0 ) ? 0, 解得y0 ? ?16或y0 ? 10 ,??????10 分 当 y0=-6 时,B(4,2) ,C(9,-6) ,故符合条件 当 y0=10 时,B(9,-6) ,C(25,10) ,故符合条件 所以点 C 的纵坐标 y0 的取值范围是 (??,?6] ? [10,??). ????????12 分 21. (1) f ?( x) ? ax2 ? bx ? a 2 ,? x1 , x2是f ( x)的两个极值点 ,

? x1 、 x2 是方程 f ?( x) ? 0 的两个实数根,
? a ? 0, x1 ? x 2 ? ?a ? 0, x1 ? x 2 ? ? b ,??????????????2 分 a

?| x1 | ? | x 2 |?| x1 ? x 2 |? ?| x1 | ? | x 2 |? 2,?

b2 ? 4a , a2

b2 ? 4a ? 4, 即b 2 ? 4a 2 ? 4a 3 , a2 由b 2 ? 0得4a 2 ? 4a 3 ? 0,? 0 ? a ? 1.?????? 4分
(2)由(1)知 b2=4a2-4a3,所以 g (a) ? (1 ? a)e ka ,0 ? a ? 1

g ?(a) ? e ka (k ? 1 ? ak) ,??????????????5 分
k=0 时, g ?(a) ? ?1, 所以, g (a) ? (1 ? a)e ka在(0,1] 上为单调递减的,即单调递减区间为 (0,1] 当 k ? 0时, 令g ?(a ) ? e (k ? 1 ? ak ) ? 0得, a ? 1 ?
ka

1 k

当 k ? 0时, a ? 1 ?

1 ? 1, g ?(a)在(0,1]上恒小于零 , 所以, g (a) ? (1 ? a)e ka 在(0,1] 上单调递减的,即单 k

调递减区间为 (0,1] 当k ? 1时, a ? 1 ? 1 在之间, 在(0,1 ? 1 )上g ?(a)恒大于零 , k k

在(1 ?

1 1 1 ,1]上g ?(a) 恒小于零,单调递减区间为(1 ? ,1 ] ,单调递增区间为(0,1 ? ) k k k

当0 ? k ? 1时, a ? 1 ?

1 ? 0, 在(0,1]上g ?(a)恒小于零 , 所以单调递减区间为 (0,1] ?9 分 k

(2)? x1 、 x2 是方程 f ?( x) ? 0 的两根,

? f ?( x) ? a( x ? x1 )(x ? x 2 ) ? h( x) ? a( x ? x1 )(x ? x 2 ) ? 2a( x ? x1 ) ? a( x ? x1 )(x ? x 2 ? 2) | x ? x1 | ? | x ? x 2 ? 2 | 2 ) 2 ? x ? x1 ,?| x ? x1 |? x ? x1 , 又x1 ? 0, x1 x 2 ? 0,? x 2 ? 0, ?| h( x) |? a | x ? x1 || x ? x 2 ? 2 |? a( ? x ? 2, 故x ? x 2 ? 2 ? 0, ?| x ? x1 | ? | x ? x 2 ? 2 |? x ? x1 ? x 2 ? 2 ? x ? x 2 ? x1 ? 2 ?| x1 | ? | x 2 | ?2 ? 4,
? h( x) |? 4a. ?????????????????????????????14 分 |


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