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导数及其应用测试题(有详细答案)


高二数学(文) 《导数及其应用》复习题

一、选择题 1.函数 y=x2cosx 的导数为????????????????【 A 】 A. y′ =2xcosx-x2sinx B. y′ =2xcosx+x2sinx C. y′ 2cosx-2xsinx =x D. y′ =xcosx-x2sinx 2.下列结论中正确的是?????????????????【

B 】 A. 导数为零的点一定是极值点 B. 如果在 x 0 附近的左侧 f ' ( x) ? 0 右侧 f ' ( x) ? 0 那么 f ( x0 ) 是极大值 C. 如果在 x 0 附近的左侧 f ' ( x) ? 0 右侧 f ' ( x) ? 0 那么 f ( x0 ) 是极小值 D. 如果在 x 0 附近的左侧 f ' ( x) ? 0 右侧 f ' ( x) ? 0 那么 f ( x0 ) 是极大值 π 2 3.在曲线 y=x 上切线的倾斜角为 的点是( 4 A.(0,0)
2

D )

B.(2,4)

?1 1 ? C.? , ? ?4 16?

?1 1? D.? , ? ?2 4?
A ) D.a=-1,b=-1 C.a=1,b=-1

4.若曲线 y=x +ax+b 在点(0,b)处的切线方程是 x-y+1=0,则( A.a=1,b=1
3 2

B.a=-1,b=1

5.函数 f ( x) ? x ? 3x ? 1 是减函数的区间为 ( D ) A. (2,??)
3 2

B. (??,2)

C. (??,0)

D. (0,2) )

6.函数 f(x)=x +ax +3x-9,已知 f(x)在 x=-3 时取得极值,则 a 等于( D A.2 B.3
3 2

C.4

D.5 】

7. 若函数 f ( x) ? x ? x ? mx ? 1 是 R 上的单调函数,则实数 m 的取值范围是【 C A. ( , ??)

1 3

B. ( ??, )

1 3

C. [ , ??)

1 3

D. ( ??, ]

1 3

8. 直线 y ? x 是曲线 y ? a ? ln x 的一条切线,则实数 a 的值为 D A. ?1 B. e C. ln 2 D. 1

9. 10.函数 f ? x ? 的定义域为 ? a, b ? ,导函数 f ? ? x ? 在 ? a, b ? 内的图像如图所示, 则函数 f ? x ? 在 ? a, b ? 内有极小值点 A A.1 个 B.2 个
2

C.3 个

D.4 个

10.已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 的导数为 f '( x) , f '(0) ? 0 ,对于任意实数 x 都有 f ( x ) ? 0 ,则

f (1) 的最小值为 C f '(0)
第 1 页(共 6 页)

A. 3

B.

5 2

C. 2

D.

3 2

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) 11.函数 y ?

sin x 的导数为_________________ x

12.函数 y ? x ? 2cos x 在区间 [0,
3

?

2

] 上的最大值是
.

13. 曲线 y ? 2 x ? x 在点(1,1)处的切线方程为
3

14.已知函数 f ( x) ? x ? ax 在 R 上有两个极值点,则实数 a 的取值范围是

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16. 已知函数 f ( x) ? x ? 3x .
3

(Ⅰ)求 f ?(2) 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调区间.

? 2 解: (Ⅰ) f ?( x) 3x ? 3 ,所以 f ?(2) ? 9 .
(Ⅱ) f ?( x) ? 3x ? 3 ,
2

解 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 1 或 x ? ?1 . 解 f ?( x) ? 0 ,得 ?1 ? x ? 1 . 所以 (??, ?1) , (1, ??) 为函数 f ( x) 的单调增区间, (?1,1) 为函数 f ( x) 的单调减区间.

17. 已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? 3x 在 x ? ?1 处取得极值.
3 2

(1)讨论 f (1) 和 f (?1) 是函数 f(x)的极大值还是极小值; (2)过点 A(0, 16) 作曲线 y= f(x)的切线,求此切线方程. (1)解: f ?( x) ? 3ax ? 2bx ? 3 ,依题意, f ?(1) ? f ?(?1) ? 0 ,即
2

?3a ? 2b ? 3 ? 0, ? ?3a ? 2b ? 3 ? 0.
解得 a ? 1, b ? 0 . ∴ f ( x) ? x ? 3x, f ?( x) ? 3x ? 3 ? 3( x ? 1)( x ? 1) .
3 2

令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ?1, x ? 1 . 若 x ? (??, ? 1) ? (1, ? ?) ,则 f ?( x) ? 0 ,故

f(x)在 (??, ? 1) 上是增函数, f(x)在 (1, ? ?) 上是增函数.
若 x ? (?1, 1) ,则 f ?( x) ? 0 ,故 f(x)在 (?1, 1) 上是减函数. 所以, f (?1) ? 2 是极大值; f (1) ? ?2 是极小值. (2)解:曲线方程为 y ? x ? 3x ,点 A(0, 16) 不在曲线上.
3

设切点为 M ( x0 , y 0 ) ,则点 M 的坐标满足 y 0 ? x0 ? 3x0 .
3

因 f ?( x0 ) ? 3( x0 ? 1) ,故切线的方程为 y ? y 0 ? 3( x0 ? 1)( x ? x0 )
2 2

注意到点 A(0,16)在切线上,有
3 2 16 ? ( x0 ? 3x0 ) ? 3( x0 ? 1)(0 ? x0 )

化简得 x 0 ? ?8 ,解得 x 0 ? ?2 .
3

第 2 页(共 6 页)

所以,切点为 M (?2, ? 2) ,切线方程为 9 x ? y ? 16 ? 0 .

18.在边长为 60cm 的正方形铁皮的四切去相等的正方形,再把它的边沿虚线折起,做成一个无盖的方底箱 子,箱底的边长是多少时,箱子的容积最大?最大容积是多少? 13、解:设箱底的边长为 xcm,箱子的容积为 V,则

60 ? x 1 =- x 3 +30 x2 2 2 3 V ' =- x 2 +60 x 2 当 V ' =0 时,x=40 或 x=0(舍去) ,
V=x2? x=40 是函数 V 的唯一的极值点,也就是最大值点, 当 x=40 时,V=1600 所以,当箱底的边长是 40cm 时,箱子的容积最大,最大容积是 1600cm3。

19. 设函数 f ( x) ? x ? 6 x ? 5, x ? R .
3

(1)求 f (x) 的极值; (2)若关于 x 的方程 f ( x) ? a 有 3 个不同实根,求实数 a 的取值范围. (3)已知当 x ? (1,??)时, f ( x) ? k ( x ? 1) 恒成立,求实数 k 的取值范围. 19. 解:(1) f ?( x) ? 3( x ? 2), 令f ?( x) ? 0, 得x1 ? ? 2 , x 2 ?
2

2 ???????1 分

∴当 x ? ? 2或x ?

2时,f ?( x) ? 0; 当 ? 2 ? x ? 2时, f ?( x) ? 0 ,???????2 分

∴ f (x) 的单调递增区间是 (??, ? 2)和( 2, ??) ,单调递减区间是 (? 2 , 2 ) ??3 分 当 x ? ? 2 , f ( x)有极大值5 ? 4 2 ;当 x ?

2 , f ( x)有极小值5 ? 4 2 .????4 分

(2)由(1)可知 y ? f (x) 图象的大致形状及走向(图略) ∴当 5 ? 4 2 ? a ? 5 ? 4 2时, 直线y ? a与y ? f ( x) 的图象有 3 个不同交点,??6 分 即当 5 ? 4 2 ? a ? 5 ? 4 2 时方程 f (x) ? ? 有三解. ?????????????7 分 (3) f ( x) ? k ( x ? 1)即( x ? 1)( x ? x ? 5) ? k ( x ? 1)
2

∵ x ? 1,? k ? x ? x ? 5在(1,??) 上恒成立. ????????????????9 分
2

令 g ( x) ? x ? x ? 5 ,由二次函数的性质, g ( x)在(1,??) 上是增函数,
2

∴ g ( x) ? g (1) ? ?3, ∴所求 k 的取值范围是 k ? ?3 ??????????????12 分

20. 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? bx.
2

第 3 页(共 6 页)

(I)当 a ? ?1 时,若函数 f ( x) 在其定义域内是增函数,求 b 的取值范围; (II)若 f ( x) 的图象与 x 轴交于 A( x1 , 0), B( x2 , 0)( x1 ? x2 ) 两点,且 AB 的中点 为 C ( x0 , 0) ,求证:

f '( x0 ) ? 0.
(1) 由题意: f ( x) ? ln x ? x ? bx , f (x) 在 (0,??) 上递增, f ?( x) ? ? ?
2

1 ? 2 x ? b ? 0 对 x ? (0,??) x

恒成立,即 b ?

1 1 ? 2 x 对 x ? (0,??) 恒成立,?只需 b ? ( ? 2 x) min , x x

? x ? 0 ,?

2 1 时取“=” ? b ? 2 2 ,? b 的取值范围为 (??,2 2 ) , ? 2 x ? 2 2 ,当且仅当 x ? 2 x

? f ( x1 ) ? ln x1 ? ax12 ? bx1 ? 0 ? ln x1 ? ax12 ? bx1 (2)由已知得, ? ,两式相减,得: ?? 2 2 ? f ( x 2 ) ? ln x 2 ? ax2 ? bx2 ? 0 ?ln x 2 ? ax2 ? bx2

ln

x1 x ? a( x1 ? x 2 )( x1 ? x 2 ) ? b( x1 ? x 2 ) ? ln 1 ? ( x1 ? x 2 )[ a( x1 ? x 2 ) ? b] , x2 x2

由 f ?( x) ?

1 ? 2ax ? b 及 2 x0 ? x1 ? x2 ,得: x

f ?( x0 ) ?

x 1 2 2 1 ? ln 1 ? 2ax0 ? b ? ? [a( x1 ? x 2 ) ? b] ? x1 ? x 2 x1 ? x 2 x 2 x0 x1 ? x 2

x1 ? 1) 2( x1 ? x 2 ) x1 x x2 x 1 1 ? [ ? ln ] ? [ ? ln 1 ] ,令 t ? 1 ? (0,1) , x x1 ? x 2 x1 ? x 2 x2 x1 ? x 2 x2 x2 ( 1 ? 1) x2 2(
且 ? (t ) ?

(t ? 1) 2 2t ? 2 ? 0 ,? ? (t ) 在 (0,1) 上为减函数, ? ln t (0 ? t ? 1) ,? ? ?(t ) ? ? t (t ? 1) 2 t ?1

? ? (t ) ? ? (1) ? 0 ,又 x1 ? x2 ,? f ?( x0 ) ? 0

21. 已知函数 f ( x) ?

x2 , g ( x) ? 2a ln x(e 为自然对数的底数) e

(1)求 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 的单调区间,若 F ( x) 有最值,请求出最值;

g (2) 是否存在正常数 a , f (x) 与 (x) 的图象有且只有一个公共点, 使 且在该公共点处有共同的切线?
若存在,求出 a 的值,以及公共点坐标和公切线方程;若不存在,请说明理由。
第 4 页(共 6 页)

21. 解: (1) F ?( x) ? f ?( x) ? g ?( x) ? ①当 a ? 0时, F ?( x) ? 0 恒成立

2 x 2a 2( x3 ? ea) ? ? ( x ? 0) e x ex

,没有最值??3 分 F ( x)在(0, ??) 上是增函数, F ( x) F 只有一个单调递增区间(0,-∞) ②当 a ? 0 时, F ( x) ? 若0 ? x ? 若x ?

2( x ? ea ( x ? ea ) ( x ? 0) , ex

ea ,则 F ?( x) ? 0, F ( x)在(0, ea ) 上单调递减;

ea ,则 F ?( x) ? 0, F ( x)在( ea , ??) 上单调递增,

?当x ? ea 时, F ( x) 有极小值,也是最小值,
即 F ( x) min ? F ( ea ) ? a ? 2a ln ea ? ?a ln a ????6 分 所以当 a ? 0 时, F ( x) 的单调递减区间为 (0, ea ) 单调递增区间为 ( ea , ??) ,最小值为 ?a ln a ,无最大值????7 分 (2)方法一,若 f ( x) 与 g ( x) 的图 象有且只有一个公共点, 则方程 f ( x) ? g ( x) ? 0 有且只有一解,所以函数 F ( x) 有且只有一个零点????8 分[来源:学_科_ 网] 由(1)的结论可知 F ( x)min ? ?a ln a ? 0得a ? 1 ????10 分 此时, F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ?

x2 ? 2 ln x ? 0 e

F ( x)m i n? F ( e? )

0

? f ( e ) ? g ( e ) ? 1,? f ( x)与g ( x) 的图象的唯一公共点坐标为 ( e ,1)
又? f ?( e ) ? g ?( e ) ?

2 e

? f ( x)与g ( x) 的图象在点 ( e ,1) 处有共同的切线,
2 e

其方程为 y ? 1 ?

2 e

( x ? e ) ,即 y ?

x ? 1 ????13 分

综上所述,存在 a ? 1 ,使 f ( x)与g ( x) 的图象有且只有一个公共点 ( e ,1) ,且在该点处的公切线方 程为 y ?

2 e

x ? 1. ????14 分

第 5 页(共 6 页)

方法二:设 f ( x)与g(x)图象的公共点坐标为 ( x0 , y0 ) ,
2 ? x0 ? ? 2a ln x0 ? f ( x0 ) ? g ( x0 ) ?e 根据题意得 ? ' 即? ' ? f ( x0 ) ? f ( x0 ) ? 2 x0 ? 2a ? e x0 ?

由②得 a ?

2 x0 1 ,代入①得 ln x0 ? ,? x2 ? e e 2

从而 a ? 1 ????10 分

此时由(1)可知 F ( x) min ? F ( e ) ? 0 ?当x ? 0且x ? 因此除 x0 ?

e 时, F ( x) ? 0,即f ( x) ? g ( x)

e 外,再没有其它 x0 ,使 f ( x0 ) ? g ( x0 ) ????13 分

故存在 a ? 1 ,使 f ( x)与g ( x) 的图象有且只有一个公共点,且在该公共 点处有共同的切线,易求得 公共点坐标为 ( e ,1) ,公切线方程为 y ?

2 e

x ? 1 ????14 分

16.设函数 f(x)=sinx-cosx+x+1,0<x<2π,求函数 f(x)的单调区间与极值. π f′(x)=cosx+sinx+1= 2sin(x+ )+1 (0<x<2π) 4 π 2 令 f′(x)=0,即 sin(x+ )=- , 4 2 3 解之得 x=π 或 x= π. 2 x,f′(x)以及 f(x)变化情况如下表: 3 3 3 x π (0,π) (π, π) π ( π,2π) 2 2 2 0 0 f′(x) + - + 3π f(x) 递增 π+2 递减 递增 2 3 3 ∴f(x)的单调增区间为(0,π)和( π,2π)单调减区间为(π, π). 2 2 3 3π f 极大(x)=f(π)=π+2,f 极小(x)=f( π)= . 2 2

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