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2.5.1等比数列的前n项和


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2.5.1 等比数列的前 n 项和
学习目的: 1.掌握等比数列的前 n 项和公式及公式证明思路. 2.会用等比数列的前 n 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题 学习重点:等比数列的前 n 项和公式推导 学习难点:灵活应用公式解决有关问题 课堂过程: 一、复习引入: 首先回忆一下前两节课所学主要内容: 1.等比数列:如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数, 那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比;公比通常用字母 q 表示(q≠ 0) ,即:

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an =q(q≠0) a n ?1

2.等比数列的通项公式:

an ? a1 ? q n?1 (a1 ? q ? 0) , an ? am ? q m?1 (a1 ? q ? 0)
3. an }成等比数列 ? {

a n ?1 ? =q( n ? N ,q≠0) an

“ an ≠0”是数列{ an }成等比数列的必要非充分条件

4.既是等差又是等比数列的数列:非零常数列. 5.等比中项:G 为 a 与 b 的等比中项. 即 G=± ab (a,b 同号). 6.性质:若 m+n=p+q, am ? an ? a p ? aq 7.判断等比数列的方法:定义法,中项法,通项公式法
8. 等比数列的增减性: q>1, a1 >0 或 0<q<1, a1 <0 时, { an }是递增数列;当 q>1, a1 <0, 当 或 0<q<1, a1 >0 时, { an }是递减数列;当 q=1 时, { an }是常数列;当 q<0 时, { an }是摆动 数列; 二、讲解新课: 例如求数列 1,2,4,?262,263 的各项和 即求以 1 为首项,2 为公比的等比数列的前 64 项的和,可表示为:
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S64 ? 1 ? 2 ? 4 ? 8? ? 262 ? 263
2 S64 ? 2 ? 4 ? 8 ? 16? ? 2
63

① ②

? 264

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由②—①可得: S 64 ? 2 64 ? 1 这种求和方法称为“错位相减法” “错位相减法” ,是研究数列求和的一个重要方法 等比数列的前 n 项和公式:
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a1 (1 ? q n ) ∴当 q ? 1 时, S n ? ① 1? q
当 q=1 时, S n ? na1

或 Sn ?

a1 ? a n q 1? q



当已知 a1 , q, n 时用公式①;当已知 a1 , q, an 时,用公式②. 公式的推导方法一: 一般地,设等比数列 a1 , a2 ? a3 ,?an ?它的前 n 项和是

S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ?an
由?

?S n ? a1 ? a 2 ? a3 ? ? a n
n ?1 ?a n ? a1 q

2 n?2 n ?1 ? ?S n ? a1 ? a1 q ? a1 q ? ? a1 q ? a1 q 得? ?qSn ? a1 q ? a1 q 2 ? a1 q 3 ? ? a1 q n ?1 ? a1 q n ?

? (1 ? q)S n ? a1 ? a1q n
a1 (1 ? q n ) ∴当 q ? 1 时, S n ? ① 1? q
当 q=1 时, S n ? na1 公式的推导方法二: 有等比数列的定义, 或 Sn ?

a1 ? a n q 1? q



a a 2 a3 ? ??? n ? q a1 a2 an?1 a 2 ? a3 ? ? ? a n S ? a1 ? n ?q a1 ? a2 ? ? ? an?1 S n ? an

根据等比的性质,有



S n ? a1 ? q ? (1 ? q)S n ? a1 ? an q (结论同上) S n ? an

围绕基本概念,从等比数列的定义出发,运用等比定理,导出了公式. 公式的推导方法三:

S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ?an = a1 ? q(a1 ? a2 ? a3 ? ?an?1 )
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= a1 ? qSn?1 = a1 ? q(S n ? an )

? (1 ? q)S n ? a1 ? an q (结论同上)
“方程”在代数课程里占有重要的地位,方程思想是应用十分广泛的一种数学思想,利 用方程思想,在已知量和未知量之间搭起桥梁,使问题得到解决 三、例题讲解 例 1 求等比数列 1,2,4,?从第 5 项到第 10 项的和.
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解:由 a1 ? 1, a2 ? 2 得q ? 2

? S4 ?

1 ? (1 ? 2 4 ) 1 ? (1 ? 210 ) ? 15, S10 ? ? 1023 1? 2 1? 2

从第 5 项到第 10 项的和为 S10 - S 4 =1008 例 2 一条信息, 若一人得知后用一小时将信息传给两个人, 这两个人又用一小时各传给未知 此信息的另外两人,如此继续下去,一天时间可传遍多少人? 解:根据题意可知,获知此信息的人数成首项 a1 ? 1, q ? 2 的等比数列

1 ? 2 24 ? 2 24 ? 1 则:一天内获知此信息的人数为: S 4 ? 1? 2
例 3 已知{ an }为等比数列,且 S n =a, S 2 n =b, (ab≠0) ,求 S 3n . 分析:要求 S 3n ,需知 a1 ,q,而已知条件为 S n 和 S 2 n .能否进一步挖掘题目的条件, 使已知和未知沟通起来?

当 q ? 1时

a1 (1 ? q n ) =a Sn ? 1? q



S 2n =
②/①得

a1 (1 ? q 2 n ) a1 (1 ? q n )(1 ? q n ) = =b 1? q 1? q
b a

② ③

1? qn ?

将③代入①,得

a1 a2 ? 1 ? q 2a ? b

∴ S 3n =

a1 (1 ? q 3n ) a b a2 [1 ? ( ? 1) 3 ] = 1 (1 ? q 3n ) = a 2a ? b 1? q 1? q

以下再化简即可.

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这样处理问题很巧妙.没有分别求得 a1 与 q 的值,而改为求 q n 与 使问题变得简单 但在分析的过程中是否完备?
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a1 的值,这样 1? q

第①式就有问题,附加了条件 q≠1.而对 q=1 情况没有考虑. 使用等比数列前 n 项和公式时,要特别注意适用条件,即

a ? an q q=1 时, S n =n a1 ;当 q ? 1 时, S n ? 1 1? q

a1 (1 ? q n ) 或 Sn ? 1? q

(含字母已知数的等比数列求和题目,学生常忽略 q=1 情况,要引起足够重视,以培 养学生思维的严密性) 解法 1:设等比数列{ an }的公比为 q. 若 q=1(此时数列为常数列) ,则 S n =n a1 =a, S 2n ? 2na1 =b,

从而有 2a=b ∴ S 3n ? 3na1 ? 3a (或 S 3n ? 3na1 ? 3a ?
若 q≠1(即 2a≠b) ,由已知

3b ) 2

Sn ?

a1 (1 ? q n ) =a 1? q



S 2n ?

a1 (1 ? q 2 n ) =b 1? q



又 ab ? 0, ②/①得

1? qn ?

b b , qn ? ?1 a a



将③代入①,得

a1 a2 ? 1 ? q 2a ? b

∴ S 3n =

a a1 (1 ? q 3n ) b a2 [1 ? ( ? 1) 3 ] = 1 (1 ? q 3n ) = a 2a ? b 1? q 1? q
a 2 ? ab ? b 2 a



解法 2:由 S n , S 2 n - S n , S 3n - S 2 n 成等比数列(练习中证此结论),

即 a,b-a, S 3n -b 成等比,所以 a( S 3n -b)=( b-a) 2
a 2 ? ab ? b 2 从而有 S 3n = (包含了 q=1 的情况) a
四、练习:

?an ?是等比数列, S n 是其前 n 项和,数列 S k , S 2k ? S k , S3k ? S 2k
成等比数列?
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( k ? N ? )是否仍

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解:设 ?a n ?, 首项是 a1 ,公比为 q, ①当 q=-1 且 k 为偶数时, S k , S 2k ? S k , S 3k ? S 2k 不是等比数列. ∵此时, S k ? S 2k ? S k ? S 3k ? S 2k =0. 例如:数列 1,-1,1,-1,?是公比为-1 的等比数列, S 2 ? S 4 ? S 2 ? S 6 ? S 4 S2=0, ②当 q≠-1 或 k 为奇数时,

S k = a1 ? a2 ? a3 ? ?ak ? 0
k S 2k ? S k = q (a1 ? a2 ? a3 ? ?ak ) ? 0 2k S3k ? S 2k = q (a1 ? a2 ? a3 ? ?ak ) ? 0

? S k , S 2k ? S k , S 3k ? S 2k ( k ? N ? )成等比数列

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评述: 应注意等比数列中的公比 q 的各种取值情况的讨论, 还易忽视等比数列的各项应 全不为 0 的前提条件. 五、小结 1. 等比数列求和公式:当 q=1 时, S n ? na1 当 q ? 1 时, S n ?

a1 ? a n q 1? q

或 Sn ?

a1 (1 ? q n ) 1? q



2. S n 是等比数列 ?an ? 的前 n 项和, ①当 q=-1 且 k 为偶数时, S k , S 2k ? S k , S 3k ? S 2k 不是等比数列. ②当 q≠-1 或 k 为奇数时, S k , S 2k ? S k , S3k ? S 2k 仍成等比数列
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3.这节课我们从已有的知识出发,用多种方法(迭加法、运用等比性质、错位相减法、 方程法)推导出了等比数列的前 n 项和公式,并在应用中加深了对公式的认识. 六、课后作业:课本 67 页 A 组 1—6

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