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2015届高考一轮复习 基本不等式及其应用教案 理


吉林省东北师范大学附属中学 2015 届高考一轮复习 基本不等 式及其应用教案 理
知识梳理: 1、基本不等式 (1)重要不等式:如果 a,b ,那么 + 2ab.当且仅当 a=b 时,等号成立.

(2)基本不等式: 如果 a,b>0.那么 可以表述为两正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 2、重要结论: (1)a+ 2 (a ) 1

r />
(2)a+

2(a



1

(3) 、

(4) 、 +

ab+bc+ca

(5) 、

( a,b>0.)

(6) 、

+

3、如果 a,b 讲内容)

,那么

(不等式证明选

4、推广:对于 n 个正数 均数.即

它们的算术平均数不小于它们的几何平

1

二、题型探究 探究一:利用基本不等式求最值: 例 1: (1)x,y ,x+y=S(和为定值) ,则当 x=y 时,积 xy 取得最大值 ;

(2)x,y

, xy=P(积为定值) ,则当 x=y 时,和 x+y 取得最小值 2

即:和定,积最大;积定,和最小。 应用基本不等式的条件: (1) 、一正:各项为正数; (2) 、二正: “和”或“积”为定值; (3) 、三等:等号一定能取到,这三个条件缺一不可。 例 2:解答下列问题 (1) 已知 x ,求 x+ 的最小值;

(2) 已知 0

,求函数 f(x)=x(8-3x)的最大值;

(3) 求函数 y=

(4) 已知 x

,且 x+y=1,求 +



2

探究二:基本不等式的实际应用 在应用基本不等式解决实际问题时,要注意以下四点: (1) 、先理解意,设变量时一般把要求的最值的变量定为函数; (2) 、建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最值问题; (3) 、在定义域内,求出函数的最值; (4) 、正确写了答案。 例 3: 某单位建造一间地面面积为 12 平方米的背面靠墙的矩形小房, 由于地理位置的限制, 房子侧面的长度 x 不得超过 a 米,房屋正面的造价为 400 元/ 平方米,房屋侧面的造 价为 150 元/ 平方米,屋顶和地面的造价费用合计 5800 元,如果墙高为 3 米,且不房 屋背面的费用。 (1) 、把房屋总选价 y 表示为 x 的函数,并写出该函数的定义域; (2) 、当侧面的长度为多少时?房屋的总造价最低,最低造价是多少?

三、方法提升 基本不等式(也称均值定理)具有将“和式” , “积式”相互转化的功能,应用比较广 泛,为了用好该不等式,首先要正确理解该不等式中的三人条件(三要素)正(各项 或各因式为正值) 、定( “和”或“积”为定值) 、等(各项或各因式都能取得相等的 值,即具备等号成立的条件) ,简称“一正,二定,三相等” ,这三个条件缺一不可, 当然还要牢记结论:和定,积最大;积定,和最小。但是在具体问题中,往往所给的 条件并非“标准”的“一正,二定,三相等” , (或隐藏在所给条件中) ,所以要对各 项或各式作适应的变形,通过凑,拆,添项等技巧,对“原始”条件进行调整、转化, 使其符合标准的正、定、等。如果等号在变形的时候不成立,这时可以改用“对勾函 数”来解决不能应用基本不等式求解的情形。 四、反思感悟

五、课时作业 1 1 1.(2009 年高考重庆卷)已知 a>0,b>0,则 + +2 ab的最小值是(

a b

)
3

A.2

B.2 2

C.4

D.5 时,等

?a=b, 1 1 2 解析:选 C.∵ + +2 ab≥ +2 ab≥2 2×2=4.当且仅当? a b ab ? ab=1 号成立,即 a=b=1 时,不等式取最小值 4. t 2 → 2.设点 P( + ,1)(t>0),则|OP|(O 为坐标原点)的最小值是( ) 2 t
A.3 B.5 C. 3 D. 5 → 解析:选 D.由已知得|OP|= 得等 号.

t 2 2 ( + ) +1≥ 2 t

(2

t 2 2 × ) +1= 5,当 t=2 时取 2 t

1 1 1 3.(原创题)若 a>0,b>0,a,b 的等差中项是 ,且 α =a+ ,β =b+ ,则 α +β 2 a b 的最小值为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 1 1 1 1 解析:选 D.因为 a+b=1,所以 α +β =a+ +b+ =1+ +

a

b

a b

b a =1+1+ +1+ ≥5,故选 D. a b a b 4.若 a+b=2,则 3 +3 的最小值是(

)

4 A.18 B.6 C.2 3 D.2 3 a b a b a+b 解析:选 B.3 +3 ≥2 3 ·3 =2 3 =6. 1 1 5.已知 x< ,则函数 y=2x+ 的最大值是( ) 2 2x-1 A.2 B.1 C.-1 D.-2 1 1 1 解析:选 C.y=2x+ =-[(1-2x)+ ]+1,由 x< 可得 1-2x>0, 2x -1 1-2x 2 1 1 根据基本不等式可得(1-2x)+ ≥2,当且仅当 1-2x= 即 x=0 时取等号, 1-2x 1-2x 则 ymax=-1.正确答案为 C. 1 1 a b 6.(2009 年高考天津卷)设 a>0,b>0,若 3是 3 与 3 的等比中项,则 + 的最小值

a b

为(

) A.8 B.4 C.1

1 D. 4 a b a+b 解析:选 B.由题意知 3 ·3 =3,即 3 =3,所以 a+b=1.因为 a>0,b>0, 1 1 1 1 b a b a 所以 + =( + )(a+b)=2+ + ≥2+2 · =4,

a b a b a b 当且仅当 a=b 时,等号成立. 7.在面积为 S(S 为定值)的扇形中,当扇形中心角为 θ ,半径为 r 时,扇形周长最 小,这时 θ ,r 的值分别是( )
4

a b

A.θ =1,r= S

4 B.θ =2,r= S

3 C.θ =2,r= S D.θ =2,r= S 1 2 S S 2 解析:选 D.S= θ r ? θ = 2 ,又∵扇形周长 P=2r+θ r=2(r+ )≥4 S, 2 r r ∴当 P 最小时,r= ? r= S,此时 θ =2. 4 1 2 2 8. 已知圆 x +y +2x-4y+1=0 关于直线 2ax-by+2=0(a >0, b>0)对称, 则 + 的

S r

a b

最小值是( ) A.4 B.6 C.8 解析:选 D.由圆的对称性可得, 直线 2ax-by+2=0 必过圆心(-1,2), 4 1 4(a+b) a+b 4b a 所以 a+b=1.所以 + = + = + +5≥2

D.9

a b a a = ,即 a=2b 时取等号,故选 D. b

b

a

b

4b a 4b · +5=9,当且仅当

a

b

a

3 9.已知 0<x< ,则函数 y=5x(3-4x)的最大值为________. 4 3 x+ -x 4 3 3 3 45 2 解析: 因为 0<x< , 所以 -x>0, 所以 y=5x(3-4 x)=20x( -x)≤20( )= , 4 4 4 2 16 3 3 45 当且仅当 x= -x,即 x= 时等号成立.答案: 4 8 16 10.如下图,某药店有一架不准确的天平(其两臂长不相等)和一个 10 克的砝码,一个 患者想要买 20 克的中药,售货员先将砝码放在左盘上,放置药品于右盘上,待平衡 后交给患者; 然后又将砝码放在右盘上, 放置药品于左盘上, 待平衡后再交给患者. 设 患者一次实际购买的药量为 m(克),则 m________20 克.(请选择填“>”或“<”或 “=”)

10a=m1b, ? ? 解析:设两次售货员分别在盘中放置 m1、m2 克药品,则?10b=m2a, ? ?m=m1+m2,

前两个式子

相乘,得 100ab=m1m2·a b,得 m1m2=100,因为 m1≠m2,所以 m=m1+m2>2 m1m2=20, 所以填“>”.答案:>
5

1 a 11. 已知不等式(x+y)( + )≥9 对任意的正实数 x、 y 恒成立, 求正数 a 的最小值. 解:

x y x

1 a ax y ∵(x+y)( + )=1+ + +a≥a+1+2 a(a>0),∴要使原不等式恒成立,

x y

y

则只需 a+1+2 a≥9,即( a -2)( a+4)≥ 0,故 a≥2,即 a≥4,∴正数 a 的最 小值是 4. → → 12.已知 M 是△ABC 内的一点, 且AB·AC=2 3, ∠BAC=30°, 若△MBC, △MCA 和△MAB 1 1 4 的面积分别为 ,x,y,则 + 的最小值是( ) 2 x y A.20 B.18 C.16 D.9 1 1 → → 解析: 选 B.由已知得AB·AC=bccos∠BAC=2 3? bc=4, 故 S△ABC=x+y+ = bcsinA 2 2 1 1 4 1 4 =1? x+y= ,而 + =2( + )×(x+y) 2 x y x y

y 4x =2(5+ + )≥2(5+2

y 4x × )=18,故选 B. x y x y 13.设 x>1,y>1,且 lg(xy)=4,则 lgx·lgy 的最大值为________. 解析:∵x>1,y>1,∴lgx>0,lgy>0 , 2 lgx+lgy 2 lg (xy) ∴lgx·lgy≤( )= =4(当且仅当 lgx=lgy=2,即 x=y=100 时取

2 4 等号),∴当 x=y=100 时,lgx·lgy 有最大值 4.答案:4 14.设正数 a,b 满足条件 a+b=3,则直线(a+b)x+aby=0 的斜率的取值范围是 ________. a+b 3 3 2 3 4 解析:由 k=- =- ,3=a+b≥2 ab,∴ab≤( ) ,∴k=- ≤- . ab ab 2 ab 3 4 答案:(-∞,- ] 3 15.当 a>0,a≠1 时,函数 f(x)=loga(x-1)+1 的图象恒过定点 A,若点 A 在直线 mx-y+n=0 上,则 4m+2n 的最小值是________. m n m n 2m+n 解析:A(2,1),故 2m+n=1.∴4 +2 ≥2 4 ·2 =2 2 =2 2. 1 1 m n m n 当且仅当 4 =2 ,即 2m=n,即 n= ,m= 时取等号.∴4 +2 的最小值为 2 2. 2 4 答案:2 2 3 16.(1)设 0<x< ,求函数 y=4x(3-2x)的最大值; 2 (2)已知 x,y 都是正实数,且 x+y-3xy+5=0,求 xy 的最小值. 3 解:(1)∵0<x< ,∴3-2x >0. 2 2x+(3-2x) 2 9 ∴y=4x·(3-2x)=2[2x(3-2x)]≤2[ ]= . 2 2
6

3 3 3 当且仅当 2x=3-2x,即 x= 时,等号成立.∵ ∈(0, ), 4 4 2 3 9 ∴函数 y=4x(3-2x)(0<x< )的最大值为 . 2 2 (2)由 x+y-3xy+5=0 得 x+y+5=3xy.∴2 xy+5≤x+y+5=3xy. 5 25 ∴3xy-2 xy-5≥0,∴( xy+1)(3 xy-5 )≥0,∴ xy≥ ,即 xy≥ , 3 9 5 25 等号成立的条件是 x=y.此时 x=y= ,故 xy 的最小值是 . 3 9

y=560+48x+

10800 225 225 =560+48(x+ ).当 x+ 取最小值时,y 有最小值.

x

x

x

225 ∵x>0,∴x+ ≥2

x



225 225 =30,当且仅当 x= ,

x

x

即 x=15 时,上式等号成立. 所以当 x=15 时,y 有最小值 2000 元. 因此该楼房建为 15 层时,每平方米的平均综合费用最小. 18.已知某物体的温度 θ (单位:摄氏度)随时间 t(单位:分钟)的变化规律是:θ = m·2t+21-t(t≥0,并 且 m>0). (1)如果 m=2,求经过多少时间,物体的温度为 5 摄氏度; (2) 若物体的温度总不低于 2 摄氏度,求 m 的取值范围. t 1-t t 2 t t t 解:(1)依题意可得 5=2·2 +2 ,即 2·(2 ) -5·2 +2=0.亦即(2·2 -1)(2 - t 2)=0,又∵t≥0,得 2 =2,∴t=1. 故经过 1 分钟该物体的温度为 5 摄氏度. t 1-t (2)法一:问题等价于 m·2 +2 ≥2(t≥0)恒成立. t 1-t t -t ∵m·2 +2 =m·2 +2·2 ≥2 2m, ① 1 1 t -t ∴只需 2 2m≥2,即 m≥ .当且仅当 ·2 =2·2 , 2 2 1 即 t=1 时,①式等号成立,∴m 的取值范围是[ ,+∞). 2 t 1-t 法二:问题等价于 m·2 +2 ≥2(t≥0)恒成立, 1 2 1 1-t 1-2t -t -t 2 -t 即 m≥2 -2 =2[2 -(2 ) ]=-2(2 - ) + (t≥0)恒成立. 2 2
7

1 -t -t ∵t≥0,∴0<2 ≤1,当 2 = ,即 t=1 时, 2 1 1 1 1 -t 2 -2(2 - ) + 有最大值 .∴m 的取值范围是[ ,+∞). 2 2 2 2

8


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