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广东省广州增城市2014届高三上学期调研测试数学理试题


增城市 2014 届高中毕业班调研测试理科试题





试题分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。共 150 分,考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.第 I 卷(选择题)每小题选出答案后,用铅笔把答卷上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干 净后,再选涂其它答案,不能答在试题上; 2.第 II 卷(非选择题)答案写在答卷上。 参考公式: S 球 ? 4?R , V柱 ? Sh,V锥 ?
2

1 1 4 Sh,V台 ? (S ? ? S ?S ? S )h,V球 ? ? R 3 3 3 3 如果事件 A 、 B 互斥,那么 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) . 如果事件 A 、 B 相互独立,那么 P( A ? B) ? P( A) P( B) .

第 I 卷(选择题,共 40 分)
一、选择题:本大题共有 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。 1.设集合 U={1,2,3,4,5,6,7},集合 A={2,4,5},集合 B={1,3,5,7},则 A ? ? CU B ? = A. {5} B. {2,4} C.{2,4,5} D.{2,4,6}

2.下列函数中与函数 f( x )= x 相同的是 A. f ? x ? ?

? ?
x

2

B. f ? x ? ?

x2

C. f ? x ? ?

3

x3

D. f ? x ? ?

x2 x

3.复平面内复数 A.第一象限

1 对应的点在 1? i
B.第二象限 C.第三象限 D. 第四象限

4.计算 3 ? 3 1.5 ? 6 12 ? A. 6 B. 2 3 C. 3 3 D.3

5. 已知两个平面垂直,下列命题中: (1)一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线; (2)一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线; (3)一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面; (4)过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面.其中正确命题的个数有 A. 1
2 2

B. 2
2 2

C.3

D.4

6.与圆 x ? y ? 1及圆 x ? y ? 8 x ? 12 ? 0 都相外切的圆的圆心在 A.一个椭圆上 B.一支双曲线上 C.一条抛物线上 D.一个圆上

7.已知函数 f ? x ? ? log 2 x ? ax ? 1 的定义域是 R,则实数 a 的取值范围是
2

?

?

A.(0,2) 8.已知 cos ? x ?

B.(-2,2)

C. [-2,2]

D. ? ?? ? 2 ? ? ? 2, ?? ?

? ?

??

sin 2 x ? 2sin 2 x 3 17? 7? ? ? , ?x? ,则 ? 4 ? 5 12 4 1 ? tan x

A. ?

28 75

B.

28 75

C. ?

21 100

D.

21 100

第 II 卷(非选择题,共 110 分)
二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 30 分.其中 14~15 题是选做题,只能做一题,两题全答的, 只计算前一题得分. (一)必做题(9~13 题) 9.已知 a ? ? 4, 2 ? , b ? ? 6, y ? ,且 a 与 b 共线,则 y= 10.如图 1,是一问题的程序框图,则输出的结果是
开始

?

?

?

?

.
i=1

.
S=0

1? ? 16.二项式 ? x ? ? 的展开式中常数项是 x? ?
17.设函数 f ? x ? ?

8

.

x 2 ? 1 ,对任意 x1 , x2 ? R ,恒有
.

f ? x1 ? ? f ? x2 ? x1 ? x2

? M ,其中

i=i+3

M 是常数,则 M 的最小值是

S=S+i i?100 否 是

18.要将两种大小不同的钢板截成 A,B,C 三种规格,每张钢板可同时截得三种规格 的小钢板的块数如下表所示: 规格类型 钢板类型 第一 2 1 1 2 1 3 张. A B C

输出S 图1 结束

第二

今需要 A,B,C 三种规格的成品分别是 15,18,27 块,至少需要这两种钢板共是 (二)选做题(14、15 题)

14(几何证明选讲选做题)如图 2,在△ABC 中,DE//BC,DF//AC,AE=4,EC=2,BC=8,则 BF= 15(坐标系与参数方程选做题)圆的极坐标方程为 ? ? 2cos ? ? 2 3 sin ? ,则圆的圆心 的极坐标是

.
A

? 0 ? ? ? 2? ? .
D B F E C

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16(12 分)已知函数 f ? x ? ? 2sin x ? cos x ? sin x ? . (1)当 0 ? x ? ? 时,求 f ( x) 的最大值及相应的 x 值; (2)利用函数 y=sin x 的图象经过怎样的变换得到 f(x)的图象.

图2

17(12 分)在一个盒子里装有 6 枝圆珠笔,其中 3 枝一等品,2 枝二等品,1 枝三等品. (1)从盒子里任取 3 枝恰有 1 枝三等品的概率多大?; (2)从盒子里任取 3 枝,设 ? 为取出的 3 枝里一等品的枝数,求 ? 的分布列及数学期望.

18(14 分)如图 3,边长为 2 的正方形 ABCD,E,F 分别是 AB,BC 的中点,将△AED,△DCF 分别沿 DE,DF 折起,使 A,C 两点重合于 A? 。 (1)求证: A?D ⊥EF; (2)求二面角 A? ? EF ? D 的平面角的余 弦值.
A B A/

E

E

D F B

D F C

图3

19(14 分)已知数列 {an } 满足 a1 ? (1)求 {an } 的通项公式;

1 , 2an ?1 ? an ? 1. 2

(2)证明:

a1 ? a2 ? ... ? an ? 1. n

20(14 分)已知点 A ? ?1, 0 ? , B ?1, 0 ? , 直线 AM,BM 相交于点 M,且 kMA ? kMB ? ?2 . (1)求点 M 的轨迹 C 的方程; (2)过定点(0,1)作直线 PQ 与曲线 C 交于 P,Q 两点,且 PQ ?

3 2 ,求直线 PQ 的方程. 2

21(14 分)设 f ? x ? ? ln x ? (1)求 f(x)的单调区间; (2)求 f(x)的零点个数.

a . x2

增城市 2014 届高中毕业班调研测试理科数学试题答案
一.选择题 BCADA,BBA

二.填空题 9.3;10.1717;11.70;12.1;13.12;14.

8 ? 5? ? ;15. ? 2, ? 3 ? 3 ?

三.解答题 16.解(1) f ? x ? ? 2sin x ? cos x ? sin x ? ? 2sin x cos x ? 2sin x
2

1分 3分 5分

? sin 2x ? cos 2x ?1

?? ? ? 2 sin ? 2 x ? ? ? 1 4? ?
∵ 0 ? x ? ? ,∴ 所以当 2 x ?

?
4 2

? 2x ?

?
4

?

9? 4


6分 7分

?
4

?

?

时,即 x ?

?
8

f(x)有最大值 2 ? 1 所以 f(x)最大值是 2 ? 1 ,相应的 x 的值 x ? (2)函数 y=sin x 的图象向左平移 把图象上的点横坐标变为原来的

?
8

8分 9分 10 分

? 个单位, 4

1 倍, 2

把图象上的点纵坐标变为原来的 2 倍,

11 分

最后把图象向下平移 1 个单位得到 y ?

?? ? 2 sin ? 2 x ? ? ? 1 的图象 4? ?
1 倍 2

12 分

方法 2:把函数 y=sin x 图象上的点横坐标变为原来的 把函数 x 的图象向左平移

9分 10 分

? 个单位, 8

把图象上的点纵坐标变为原来的 2 倍,

11 分

最后把图象向下平移 1 个单位得到 y ?

?? ? 2 sin ? 2 x ? ? ? 1 的图象 4? ?
2分

12 分

17 解.(1) P ?

C52 3 C6

5? 4 1 ? 2 ?1 ? 6? 5? 4 2 3 ? 2 ?1
(2) ? =0,1,2,3,

4分

5分

3 1 1 C3 C3 ? C32 C32 ? C3 1 9 9 ? ? P( ? =0) ? 3 ? ,P( ? =1) ? ,P( ? =0) ? , 3 3 C6 20 C6 20 C6 20

P( ? =0) ?

3 C3 1 ? (各 1 分) 3 C6 20

9分

所以 ? 的分布列是

?
P

0

1

2

3

1 20

9 20

9 20
10 分

1 20

E( ? )=0×

1 9 9 1 3 +1× +2× +3× = 20 20 20 20 2

12 分

18.(1)证明:∵ABCD 是正方形, ∴DA⊥AE, DC⊥CF, ∴DA/⊥A/E, DA/⊥A/F, 又 A/E∩A/F=A/, ∴DA/⊥平面 A/EF, 又 EF ? 平面 A/EF, ∴DA/⊥EF。 (2)取 EF 的中点 M,连 A/M,DM,则在△A/EF 中, ∵A/E=AE=1,A/F=CF=1, ∴A/M ⊥EF, ∴DE=DF= 2 ? 1 ? 5 ,
2

2分 3分 4分 5分 6分 7分

8分

∴DM ⊥EF 所以∠A/MD 是二面角 A? ? EF ? D 的平面角, 在△BEF 中,BE=BF=1,BE⊥BF,

9分 10 分

∴EF= 2 ,∴A/M=

2 ,又 A/D=1, 2

11 分

∵DA/⊥平面 A/EF,∴A/D ⊥A/M,又 A/D=2,∴DM=

A/ M 2 ? A/ D 2 =

3 2 , 2

12 分

∴cos∠A/MD=

A/ M 1 ? , DM 3

13 分

所以二面角 A? ? EF ? D 的平面角的余弦值是

1 。 3

14 分

方法 2:在△BEF 中,BE=BF=1,BE⊥BF,∴EF= 2 , ∵A/E= A/F=1,∴A/E2+ A/F2=EF2 ∴A/E⊥A/F,

7分

8分 9分

所以以 A/为坐标系的原点,A/E,A/D,A/F 分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系, 则 A/(0,0,0) ,D(0,2,0),E(1,0,0),F(0,0,1) ∴ ED ? (-1,2,0) EF ? (-1,0,1) , , 设平面 DEF 的法向量是 n ? ( x, y, z ) ,则 n ● ED ? 0, n ● EF ? 0, 11 分 10 分

??? ?

??? ?

?

?

??? ?

?

??? ?

∴?

? ?? x ? 2 y ? 0 ,取 n =(2,1,2) , ? ?x ? z ? 0
???? ?
/

12 分

又 A D ? (0,2,0)是平面 A/EF 的法向量,

???? ? ? ? ? ???? A/ D?n 1 n 与 A / D 夹角的余弦值是 cos ? ? ???? ? ? 。 ? A/ D n 3
所以二面角 A? ? EF ? D 的平面角的余弦值是 19.(1)解 a1 ?

13 分

1 。 3

14 分 2分

1 , 2an?1 ? an ? 1 ? 2 ? 1, 2an?1 ? 2 ? an ? 1, 2 ? an?1 ? 1? ? an ? 1, 2
4分

an ?1 ? 1 1 ? an ? 1 2

a1 ? 1 ?

1 1 ?1 ? ? 2 2 1 1 为首项, 为公比的等比数列, 2 2
?1? ,∴ an ? 1 ? ? ? 。 ?2?
n

5分 6分

∴数列 ?an ? 1? 是以 ?

1 ?1? ∴ an ? 1 ? ? ? ? ? 2 ?2?

n ?1

7分

n ? 1 ? 1 ?2 ?1? ? (2)证明:∵ a1 ? a2 ? ... ? an ? n ? ? ? ? ? ? ... ? ? ? ? ?2? ? ?2 ? 2 ? ? ?

9分

1 1 ?1? ? ?? ? 2 2 ?2? ? n? 1 1? 2
?1? ? n ?1? ? ? ?2?
n

n

10 分

11 分

?1? 1? ? ? a ? a2 ? ... ? an 2 ? 1? ? ? , ∴ 1 n n
n

n

12 分

?1? 1? ? ? n n ?1? ?1? ? 2 ? ? 0 , 13 分 ∵n 是正整数,∴ 0 ? ? ? ? 1 , 0 ? 1 ? ? ? ? 1, n ?2? ?2?


a1 ? a2 ? ... ? an ? 1。 n
1分 3分 4分

14 分

20(1)解:设 M(x,y), 则 kMA ? ∴

y y , kMb ? , ? x ? ?1? x ?1 x ?1

y y ? ? ?2 x ? 1 x ?1
2

∴x ?

y2 ? 1 ? x ? ?1? 2

6 分(条件 1 分)

(2)当直线 PQ 的斜率不存在时,即 PQ 是椭圆的长轴,其长为 2 2 ,显然不合,即直线 PQ 的斜率存在, 7分 设直线 PQ 的方程是 y=kx+1, P ? x1 , y1 ? , Q ? x2 , y2 ? , 则 y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) , 8分

? 2 y2 ?1 ?x ? 2 2 联立 ? ,消去 y 得 ? k ? 2 ? x ? 2kx ? 1 ? 0 2 ? y ? kx ? 1 ?
∵ ? ? 4k

9分

?

2

? ? 4?k

2

? 2 ? ? 8 ? k 2 ? 1? ? 0 ,∴k? R ,

10 分

x1 ? x2 ? ?
∴ PQ ?

2k 1 , x1 x2 ? ? 2 k ?2 k ?2
2

11 分

? x1 ? x2 ? ? ? y1 ? y2 ?
2

2

?

?1 ? k ? ?? x ? x ? ?
2 1 2

2

? 4 x1 x2 ? ?
12 分

?2 2

k 2 ?1 , k2 ? 2 k 2 ?1 3 2 2 , k ? 2, k ? ? 2 , ?2 2 2 2 k ?2

∴ PQ ?

13 分

所以直线 PQ 的方程是 y= ? 2 x+1。 21.(1)解:f(x)的定义域是 ? 0, ?? ?

14 分 1分

∵ f ?? x? ?

1 a x2 ? a ? ? x x3 x3

2分

当 a ? 0 时, f ? ? x ? ? 0 , ? 0, ?? ? 是 f(x)的增区间, 当 a ? 0 时,令 f ? ? x ? ? 0, x ? ? a , (负舍去) 当0 ? x ?

3分

a 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 x ? a 时, f ? ? x ? ? 0

5分 6分

所以 0, a 是 f(x)的减区间,

?

?

?

a , ?? 是 f(x)的增区间。

?

综合:当 a ? 0 时,f(x)的增区间是 ? 0, ?? ? , 当 a ? 0 时,f(x)的减区间是 0, a ,f(x)的增区间是

?

?

?

a , ??

?

7分 8分

(2)由(1)知道当 a ? 0 时,f(x)在 ? 0, ?? ? 上是增函数,当 a=0 时有零点 x=1, 当 a ? 0 时, f e

? ? ? a ?e
a

2a

? 1? ? 0, f ? e ? a ? ? a ?1 ? e ?2 a ? ? 0,

9分

(或当 x→+0 时,f(x)→-∞, 当 x→+∞时,f(x)→+∞,) 所以 f(x)在 ? 0, ?? ? 上有一个零点, 当 a ? 0 时,由(1)f(x)在 0, a 上是减函数,f(x)在 值,即最小值 f 10 分

?

?

?

a , ?? 上是增函数,所以当 x ? a 是,f(x)有极小
11 分

?

? a ? ? 1 ? ln a ? 1? 。 2



1 1 ? ln a ? 1? ? 0 ,即 a ? 时 f(x)无零点, 2 e 1 1 ? ln a ? 1? ? 0 ,即 a ? 时 f(x)有一个零点, 2 e 1 1 ? ln a ? 1? ? 0 ,即 0 ? a ? 时 f(x) 有 2 个零点。 2 e
13 分





综合:当 a ?

1 1 1 时 f(x)无零点,当 a ? 时 f(x)有一个零点,当 0 ? a ? 时 f(x) 有 2 个零点。 e e e
14 分


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