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高一数学下册期末考试试题1


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高一数学下册期末考试试题(数学)
出题人:孔鑫辉 审核人:罗娟梅 曾巧志 满分:150 分 2009-07-07 一、选择题(本题共 10 小题,每小题 5 分,共计 50 分) 1、经过圆 C : ( x ? 1) ? ( y ? 2 ) ? 4 的圆心且斜率为 1 的直线方程为 ( )
2 2

A、 x ? y ? 3 ? 0

B、 x ? y ? 3 ? 0

C、 x ? y ? 1 ? 0

D、 x ? y ? 3 ? 0

2、半径为 1cm,中心角为 150o 的弧长为( ) A、
2 3 cm

B、

2? 3

cm

C、

5 6

cm

D、

5? 6

cm

3、已知△ABC 中, ta n A ? ? A、
12 13
2 2

12 5 5

,则 co s A ? ( ) C、 ?
5 13
2 2

B、

D、 ?

12 13

13

4、两个圆 C1 : x ? y ? 2 x ? 2 y ? 2 ? 0 与 C 2 : x ? y ? 4 x ? 2 y ? 1 ? 0 的位置关系是 ( ) A、外切
2

B、内切
?
4 ) ? 1是 (

C、相交 )

D、外离

5、函数 y ? 2 cos ( x ?

A、最小正周期为 ? 的奇函数 C、最小正周期为
?
2

B、最小正周期为 ? 的偶函数 D、最小正周期为
?

的奇函数

的偶函数 )

2 ? ? ? ? ? ? 6、已知向量 a ? ? 2 ,1 ? , a ? b ? 1 0 , | a ? b | ? 5 2 ,则 | b | ? (

A、 5 7、已知 tan ? ? A、 ?
3 4
1 2

B、 1 0

C、 5
2 5

D、 2 5 )

, tan( ? ? ? ) ?
1 12
2 2

,那么 tan( ? ? 2 ? ) 的值为(
9 8 7
w.w.w.k.s. 5.u. c.o. m

B、 ?

C、 ?

D、

9

8、已知圆 C 1 : ( x ? 1) + ( y ? 1) =1,圆 C 2 与圆 C 1 关于直线 x ? y ? 1 ? 0 对称,则圆 C 2 的方 程为( ) A、 ( x ? 2 ) + ( y ? 2 ) =1
2 2

B、 ( x ? 2 ) + ( y ? 2 ) =1
2
2

C、 ( x ? 2 ) + ( y ? 2 ) =1
2
2

D、 ( x ? 2 ) + ( y ? 2 ) =1
2 2

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9、已知函数

f (x) ?

3 sin ? x ? co s ? x ( ? ? 0 ) , y ? f ( x ) 的图像与直线 y ? 2

的两个相邻交点的

距离等于 ? ,则 f ( x ) 的单调递增区间是 ( ) A、 [ k ? C、 [ k ?
?

?
12

, k? ?

5? 12

], k ? Z

B、 [ k ? D、 [ k ?

?

5? 12

, k? ?

1 1? 12

], k ? Z

?

?
3

, k? ?

?
6

], k ? Z

?

?
6

, k? ?

2? 3

], k ? Z

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 10、设向量 a , b 满足: | a | ? 3 , | b | ? 4 , a ? b ? 0 ,以 a , b , a ? b 的模为边长构成三

角形,则它的边与半径为 1 的圆的公共点个数最多为 ( A、 3 B、 4 C、 5 D、 6

) w.w.w.k.s.5

二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共计 20 分) 11、已知向量 a ? (3,1) , b ? (1, 3) , c ? ( k , 7 ) ,若 ( a ? c ) ∥ b ,则 k = 12、 以点 (2,? 1 ) 为圆心且与直线 x ? y ? 6 相切的圆的方程是 13、右图是一个算法的流程图,最后输出的 W ? . .
? ? ? ? ?

?



14、若

?
4

? x ?

?
2

,则函数 y ? tan 2 x tan x 的最大值为
3
w.w.w.k.s.5.u.c. o.m



三、解答题: (本题共 6 小题,共计 80 分) 15、 (本小题满分 12 分)

已知三角形的顶点是 A(-5,0) 、B(3,-3) 、C(0,2) ,求: (1) AB 边上的中线 CD 的长及 CD 所在的直线方程; (2) △ABC 的面积。

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16、 (本小题满分 12 分) 已知 f ? x ? ? sin x ?
3 co s x ? 2, x ? R

(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (2)求函数 f ( x ) 的最大值,并指出此时 x 的值. (3)求函数 f ( x ) 的对称轴和对称中心。

w.w.w.k.s.5.u. c.o. m

17、 (本小题满分 14 分) 已知向量 a ? (sin ? , co s ? ? 2 sin ? ), b ? (1, 2 ). (1)若 a / / b ,求 tan ? 的值; (2)若 | a | ? | b |, 0 ? ? ? ? , 求 ? 的值。
? ? ? ?

?

?

w.w.w.k.s.5.u.c. o. m

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18、 (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? A sin (? x ? ? ), x ? R (其中 A ? 0 , ? ? 0 , 0 ? ? ?
?
2

?
2

)的图象与 x 轴的
, ?2) .

交点中,相邻两个交点之间的距离为

,且图象上一个最低点为 M (

2? 3

(1)求 f ( x ) 的解析式; (2)当 x ? [
?
12 ,

?
2

] ,求 f ( x ) 的值域.

19、 (本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 x o y 中,已知圆 C 1 : ( x ? 3) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4 和圆 C 2 : ( x ? 4 ) 2 ? ( y ? 5) 2 ? 4 . (1) 若直线 l 过点 A ( 4 , 0 ) , 且被圆 C 1 截得的弦长为 2 3 ,
w.w.w.k.s. 5.u. c.o. m

求直线 l 的方程;

(2)设 P 为平面上的点,满足:存在过点 P 的无穷多对 互相垂直的直线 l1 和 l 2 ,它们分别与圆 C 1 和圆 C 2 相交, 且直线 l1 被圆 C 1 截得的弦长与直线 l 2 被圆 C 2 截得的弦 长相等,试求所有满足条件的点 P 的坐标。

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20、 (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? 4 sin x sin (
2

?
4

?

x 2

) ? cos 2 x ? 1.

(1)设 ? >0 为常数,若 y ? f (? x ) 在区间 [ ? (2) 设集合 A ? { x |
?
6 ? x ? 2? 3
w.w.w.k.s.5.u. c.o.m

?
2

,

2? 3
2

] 上是增函数,求 ? 的取值范围;
2

}, B ? {x | [

1 2

f ( x )] ? m f ( x ) ? m ? m ? 1 ? 0} , 若 A ? B 恒成

立,求实数 m 的取值范围

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广东梅县东山中学 2008-2009 学年度 高一第二学期数学期末答案 一、 选择题: (本题共有 10 小题,每题 5 分,共计 50 分) 题目 答案 A 1 D 2 C 3 C 4 A 5 C 6 B 7 B 8 C 9 B 10

二、 填空题: (本题共有 4 小题,每题 5 分,共计 20 分) 11、 5 12、 ( x ? 2 ) ? ( y ? 1) ?
2 2

25 2

13、22 14、—8

三、解答题: (本题共有 6 小题,共计 80 分) 15、 (本小题满分 12 分) 解:⑴ A B 的中点 D 的坐标为: D ( ? 1, ?
3 2 )
2

…… 2 分
53 2

由两点距离公式得: C D ?

3? 2 ? ? ?1 ? 0 ? ? ? 2 ? ? 2? ?

?

… 4分

w.w.w.k.s.5.u.c.o. m

由直线两点式可得 C D 方程为:
?

y?2 3 2 ?2

?

x?0 ?1 ? 0

整理得: 7 x ? 2 y ? 4 ? 0 ⑵
2x ?
AC

…… 6 分 程 为 :
x ?5 ? y 2 ?1


? 1


0


0

线













y5 ?

…… 7 分
6 ? 15 ? 10 4 ? 25 31 29

点 B 到直线 A C 的距离为: d ?

?

29 … 9 分

AC ?
S ?ABC ?

25 ? 4 ?
1 2 ? 29 ?

29
31 29 29 ? 31 2

…… 10 分 ……12 分
31
w.w.w.k.s.5. u.c. o. m

另法: A B 方程为 3 x ? 8 y ? 1 5 ? 0 ,C 到 A B 距离为
31 2

73

A B 长度为

7 3 ,面积一样算出为

16、 (本小题满分 12 分)

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解: f ? x ? ? sin x ?

? ? ? 3 c o s x ? 2 ? 2 sin ? x ? ? ? 2 …… 2 分 3 ? ?
2? 1 ? 2?

⑴函数 f ( x ) 的最小正周期是 T ?
? ?

……4 分

⑵ 当 sin ? x ? 最大值为 4 . 此时 x ?
?
3 ?

? ?

? ? 1 时, f ( x ) 取得最大值, 3 ?

……………6 分
?
6
(k ? Z ) .

?
2

? 2 k ? ,即 x ? 2 k ? ?

……8 分

w.w.w.k.s.5.u. c.o. m

(3) f ( x ) 的对称轴为 x ? k ? ? 对称中心为 ? k ? ?
? ?

?
6

(k ? Z )

……10 分

?

? , 2 ? (k ? Z ) 3 ?

……12 分

评分说明:此处对称轴一定要写成 x ? k ? ?
? ? ? , 0 ? ,一律零分; ? k? ? 3 ? ?

?
6

( k ? Z ) 的形式;对称中心学生容易写成

另外, k ? Z 没写,一个扣 1 分。 17、 (本小题满分 14 分) 解: ⑴因为 a / / b ,所以 2 sin ? ? co s ? ? 2 sin ? , 于是 4 sin ? ? co s ? ,故 ta n ? ?
1 4 .

?

?

……2 分 ……4 分

⑵由 | a | ? | b | 知, sin ? ? (co s ? ? 2 sin ? ) ? 5, ……6 分
2 2

?

?

所以 1 ? 2 sin 2? ? 4 sin ? ? 5 .
2

从而 ? 2 sin 2? ? 2 (1 ? co s 2? ) ? 4 ,……8 分 即 sin 2? ? co s 2? ? ? 1 , 于是 s in ( 2 ? ?
?
4 )? ? 2 2

w.w.w.k.s.5.u. c.o. m

.

……10 分

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又由 0 ? ? ? ? 知, 所以 2? ? 或 2? ?
?
4

?
4

? 2? ?

?
4

?

9? 4

,……11 分

?
4
?

?

5? 4



……12 分 ……13 分

7? 4

.
3? 4 .

w.w.w.k.s.5.u.c.o. m

因此 ? ?

?
2

,或 ? ?

……14 分

18、 (本小题满分 14 分) 解(1)由最低点为 M (
2? 3 , ? 2 ) 得 A=2.

…2 分
?
2

由 x 轴 上 相 邻 的 两 个 交 点 之 间 的 距 离 为
? ?
2? T ? 2? ? 2 , ? 2 ) 在图像上可得: 4? 3 ? ? ) ? ?1



T 2

=

?
2

, 即 T ?? ,

?
2? 3

……4 分

由点 M (
2 sin ( 2 ? 2? 3

? ? ) ? ?2,即 sin(

……6 分



4? 3

? ? ? 2k? ? 1 1? 6

?
2

,k ? Z

? ? ? 2k? ?

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

……7 分 又? ? (0,
?
2 故 f ( x ) ? 2 s in ( 2 x ? ),? ? ?

?
6

,

……9 分 ……10 分

?
6

)

w.w.w.k.s.5.u.c. o.m

(2)? x ? [
  2x ? ?

?
12

,

?
2

],      

?
6

?[

?
3

,

7? 6

]

……11 分

当2x ? 当2x ?

?
6

=
?

?
2

,即 x ?

?
6

时, f ( x ) 取得最大值 2 ; ……12 分
?
2

?
6

7? 6

,即 x ?

时, f ( x ) 取得最小值 ? 1 ,……13 分 ……14 分

故 f ( x ) 的值域为 ? ? 1, 2 ? .w.w.k.s.5.u.c.o.m 19、 (本小题满分 14 分)
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解:(1)当直线 l 的斜率不存在时,不满足条件 ……1 分 设直线 l 的方程为: y ? k ( x ? 4 ) ,即 kx ? y ? 4 k ? 0 …2 分 由垂径定理得:圆心 C 1 到直线 l 的距离 d ? 结合点到直线距离公式,得:
| ?3k ? 1 ? 4 k | k ?1
2

4 ?(
2

2 3 2

)

2

? 1,

? 1,

……3 分

化简得: 2 4 k ? 7 k ? 0 , k ? 0 , o r , k ? ?
2

7 24

……4 分

求直线 l 的方程为: y ? 0 或 y ? ? 即 y ? 0 或 7 x ? 24 y ? 28 ? 0

7 24

( x ? 4) ,

……5 分

(2) 设点 P 坐标为 ( m , n ) ,直线 l1 、 l 2 的方程分别为:w
y ? n ? k ( x ? m ), y ? n ? ? 1 k (x ? m) , 1 k

即: k x ? y ? n ? k m ? 0 , ?

1 k

x? y?n?

m ? 0

……6 分

因为直线 l1 被圆 C 1 截得的弦长与直线 l 2 被圆 C 2 截得的弦长相等,两圆半径相等。 由 垂 径 定 理 得 : 圆 心 C 1 到 直 线 l1 与 C 2 直 线 l 2 的 距 离 相 等 。
| ? 3 k ? 1 ? n ? km | k ?1
2

故有:

|? ?

4 k

?5?n? 1 k
2

1 k

m|



……8 分

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

?1

得: ( 2 ? m ? n ) k ? m ? n ? 3, 或 ( m ? n ? 8) k ? m ? n ? 5 …10 分 关于 k 的方程有无穷多解, 有: ?
?2 ? m ? n ? 0 ? m-n+8=0 ,或 ? ?m ? n ? 3 ? 0 ? m+n-5=0

…………12 分 ……14 分

解之得:点 P 坐标为 ( ? 3 , 1 3 ) 或 ( 5 , ? 1 ) 。
2 2
2 2

20、 (本小题满分 14 分)
1 ? cos(

?
2

? x) ? cos 2 x ? 1
w.w.w.k.s.5. u.c. o. m

解:⑴ f ( x ) ? 4 s in x ?
2

? 2 sin x (1 ? sin x ) ? 2 sin x ? 2 sin x . ……2 分
2

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? f ( ? x ) ? 2 s in ? x 在 [ ? ? [?
?

?
2

, ]

2? 3

] 是增函数,

?
2

,

2? 3

] ? [?

?
2?

,

?
2?
3 4 ]

2? 3

?

?
2?

,? ? ? (0 ,

……4 分

w.w.w.k.s.5.u.c.o. m

(2) [
2

1 2

f ( x )] ? m f ( x ) ? m ? m ? 1
2 2
2

= sin x ? 2 m sin x ? m ? m ? 1 ? 0 因为 x ? [
?
6
2

…5 分
1 2

,

2? 3

] ,设 sin x ? t ,则 t ? [
2

,1] …6 分

上式化为 t ? 2 m t ? m ? m ? 1 ? 0 由题意,上式在 t ? [
2

1 2

,1]上恒成立.

w.w.w.k.s.5.u.c. o.m

记 f (t ) ? t ? 2 m t ? m ? m ? 1 ,
2

…7 分

这是一条开口向上抛物线,
1 ? m ? ? ? 2 则? ? f (1) ? 0 ? ? 2
?1 ? ? m ?1 或? 2 ?? ? 0 ?
?m ? 1 ? f (1) ? 0
3 2

……8 分

……9 分

或?

……10 分

w.w.w.k.s.5.u.c.o. m

解得: m ? ?

或 m ? 1.

……14 分

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