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高考数学专题训练(立体几何)上海真题


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近四年(2005-2008)上海高考立体几何试题
一.填空题:只要求直接填写结果 1(2005 年 11)有两个相同的直三棱柱,高为
2 a

,底面三角形的三

边长分别为 3 a , 4 a ,5 a ( a ? 0 ) 。用它们拼成一个三

棱柱或四棱柱,在 所有可能的情形中,表面积最小的是一个四棱柱,则 a 的取值范围 是__________。 解答:两个相同的直三棱柱并排放拼成一个三棱柱或四棱柱,有三种情况 四棱柱有一种,就是边长为 5 a 的边重合在一起,表面积为 24 a +28 三棱柱有两种,边长为 4 a 的边重合在一起,表面积为 24 a +32 边长为 3 a 的边重合在一起, 表面积为 24 a +36 两个相同的直三棱柱竖直放在一起,有一种情况表面积为 12 a +48
15 3
2 2 2 2

2 2 2 最小的是一个四棱柱,这说明 24 a ? 28 ? 12 a ? 48 ? 12 a ? 20 ? 0 ? a ?

2(2006 春 8) 正四棱锥底面边长为 4,侧棱长为 3,则其体积为

.

16 3

3(2006 年 10)如果一条直线与一个平面垂直,则称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在 一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数 是 ; 解:正方体中,一个面有四条棱与之垂直,六个面,共构成 24 个“正交线面对”;而正方 体的六个对角截面中,每个对角面又有两条面对角线与之垂直,共构成 12 个“正交线面对”, 所以共有 36 个“正交线面对”; 4(2007 年 10)在平面上,两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种 . 已知 ? , ? 是两 个 相交平面,空间两条直线 l1, l 2 在 ? 上的射影是直线 s1, s 2 , l1, l 2 在 ? 上的射影是 直线 t1, t 2 .用 s 1 与 s 2 , t 1 与 t 2 的位置关系,写出一个总能确定 l1 与 l 2 是异 面直线的充分条件: .

s 1 // s 2 ,并且 t 1 与 t 2 相交( t 1 // t 2 ,并且 s 1 与 s 2 相交)

5(2008 春 8)已知一个凸多面体共有 9 个面,所有棱长均为 1,其平面展开图

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如右图所示,则该凸多面体的体积 V ? 1 ?

2 6

二.选择题:每题都给出四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写 在题后的圆括号内, 6(2005 春 13) 已知直线 l 、 、 及平面 ? ,下列命题中的假命题是 ( ) m n (A)若 l // m , m // n ,则 l // n . (C)若 l ? m , m // n ,则 l ? n . (B)若 l ? ? , n // ? ,则 l ? n . (D)若 l // ? , n // ? ,则 l // n . [答] ( D 平面上” 的 解: 充分性成立: “这四个点中有三点在同一直线上”有两种情况: ( ) (A)充分非必要条件;(B)必要非充分条件;(C)充要条件;(D)非充分非必要条件; )

7(2006 年 14)若空间中有四个点,则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一

1)第四点在共线三点所在的直线上,可推出“这四个点在同一平面上”; 2)第四点不在共线三点所在的直线上,可推出“这四点在唯一的一个平面内”; 必要性不成立:“四个点在同一平面上”可能推出“两点分别在两条相交或平行直线上”; 故选(A) 三.解答题:解答下列各题必须写出必要的步骤. 8(2005 春 19) (14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 已知正三棱锥 P ? ABC 的体积为 72 3 ,侧面与底面所成的二面角的大小为 60 ? . (1)证明: PA ? BC ; (2)求底面中心 O 到侧面的距离.

P

A O

C

[证明](1)(1)取 BC 边的中点 D ,连接 AD 、 PD , 则 AD ? BC , PD ? BC ,故 BC ? 平面 APD . ?? 4 分 ∴ PA ? BC . ?? 6 分 [解](2)如图, 由(1)可知平面 PBC ? 平面 APD ,则 ? PDA 是侧面与底面所成二面角的平面 角. 过点 O 作 OE ? PD , E 为垂足,则 OE 就是点 O 到侧面的距离.?? 9 分 设 OE 为 h ,由题意可知点 O 在 AD 上, ∴ ? PDO ? 60 ? , OP ? 2 h .

B

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?

OD ?

2h 3

,

?

BC ? 4 h , ?? 11 分

∴ S ? ABC ? ∵ 72 3 ?
1 3

3 4

(4h)

2

? 4 3h ,
2

? 4 3h

2

? 2h ?

8 3 3

h ,∴ h ? 3 .
3

即底面中心 O 到侧面的距离为 3.?? 14 分

9(2005 年 17)(本题满分 12 分) 已知直四棱柱 A B C D ? A1 B1C 1 D 1 中,A A1 ? 2 , 底面 A B C D 是 直角梯形, ? A 为直角, A B // C D , A B ? 4 , A D ? 2 , D C ? 1 , 求异面直线 B C 1 与 D C 所成角的大小. (结果用反三角函数值表示)
? [解法一]由题意 AB//CD, ? C 1 BA 是异面直线 BC1 与 DC 所成的角.

连结 AC1 与 AC,在 Rt△ADC 中,可得 AC ? 又在 Rt△ACC1 中,可得 AC1=3. 在梯形 ABCD 中,过 C 作 CH//AD 交 AB 于 H, 得 ? CHB ? 90 ? , CH ? 2 , HB ? 3 ,? CB ? 又在 Rt ? CBC 1 中,可得 BC 1 ? 在 ? ABC 1中 , cos ? ABC
? AB
2

5,

13

17 ,
? BC
2 1

? AC
1

2 1

1

2 AB ? BC

?

3 17 17

,? ? ABC

1

? arccos

3 17 17

.

∴异而直线 BC1 与 DC 所成角的大小为 arccos

3 17 17

.

[解法二]如图,以 D 为坐标原点,分别以 AD、DC、DD1 所在直线为 x、y、z 轴建立直 角坐标系. 则 C1(0,1,2),B(2,4,0) ? BC 1 ? ( ? 2 , ? 3 , 2 ),
CD ? ( 0 , ? 1, 0 ), 设 BC 1 与 CD 所成的角为 ? ,

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则 cos ? ?

BC 1 ? CD | BC
1

?

3 17 17

.? ? arccos

3 17 17

,

|| CD |

∴异面直线 BC1 与 DC 所成角的大小为 arccos

3 17 17

.

10(2006 春 17) (本题满分 12 分)在长方体 ABCD ? A1 B 1 C 1 D 1 中, 已知 DA ? DC ? 4 ,
DD 1 ? 3 ,求异面直线 A1 B 与 B 1 C 所成角的大小

(结果用反三角函数值表示). [解法一] 连接 A 1 D ,
? A1 D // B 1 C , ? ? BA 1 D 为异面直线 A1 B 与 B 1 C 所成的角.

??4 分 ??6 分

连接 BD ,在△ A1 DB 中, A1 B ? A1 D ? 5 , 则 cos ? BA 1 D ?
A1 B
2

BD ? 4 2 ,

? A1 D

2

? BD

2

2 ? A1 B ? A1 D
25 ? 25 ? 32 2?5?5 ? 9 25

?

.

??10 分
9 25

? 异面直线 A1 B 与 B 1 C 所成角的大小为 arccos

.??12 分

[解法二] 以 D 为坐标原点,分别以 DA 、 DC 、 DD 1 所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴,建立空间直角坐标系. 则 A1 ( 4 , 0 , 3 )、 B ( 4 , 4 , 0 )、 B 1 ( 4 , 4 , 3 )、 C ( 0 , 4 , 0 ) , 得 A1 B ? ( 0 , 4 , ? 3 ),
B1C ? ( ? 4 , 0 , ? 3) .

??2 分

??6 分

设 A1 B 与 B 1 C 的夹角为 ? , 则 cos ? ?
A1 B ? B 1 C A1 B ? B 1 C
?

?

9 25



??10 分

A1 B 与 B 1 C 的夹角大小为 arccos

9 25


9 25

即异面直线 A1 B 与 B 1 C 所成角的大小为 arccos

. ??12 分

1 1( 2 0 0 6 年 19)(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分) 在四棱锥 P-ABCD 中,底面是边长为 2 的菱形,∠DAB=60 ,对角线 AC 与 BD 相交
?

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于点 O,PO⊥平面 ABCD,PB 与平面 ABCD 所成的角为 60 . (1)求四棱锥 P-ABCD 的体积; (2)若 E 是 PB 的中点,求异面直线 DE 与 PA 所成角的大小(结果用 反三角函数值表示). [解](1)在四棱锥 P-ABCD 中,由 PO⊥平面 ABCD,得 ∠PBO 是 PB 与平面 ABCD 所成的角, ∠PBO=60° . 在 Rt△ AOB 中 BO=ABsin30° 由 PO⊥BO, =1, 于是,PO=BOtg60° 3 ,而底面菱形的面积为 2 3 . = ∴四棱锥 P-ABCD 的体积 V=
1 3

?

P

E A B O

D C

× 3 × 3 =2. 2

(2)解法一:以 O 为坐标原点,射线 OB、OC、 OP 分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立 空间直角坐标系. 在 Rt△ AOB 中 OA= 3 ,于是,点 A、B、 D、P 的坐标分别是 A(0,- 3 ,0), B (1,0,0), D (-1,0,0), P (0,0, E 是 PB 的中点,则 E(
1 2
3 ).

,0,

3 2

) 于是 DE =(

3 2

,0,

3 2

), AP =(0,

3 , 3 ).

3

设 DE 与 AP 的夹角为 θ,有 cosθ=
9 4 ? 3 4

2 ? 3?3

?

2 4

,θ=arccos

2 4

,

∴异面直线 DE 与 PA 所成角的大小是 arccos 解法二:取 AB 的中点 F,连接 EF、DF. 由 E 是 PB 的中点,得 EF∥PA, ∴∠FED 是异面直线 DE 与 PA 所成 角(或它的补角), 在 Rt△ AOB 中 AO=ABcos30° 3 =OP, = 于是, 在等腰 Rt△ POA 中, PA= 6 ,则 EF=
6 2

2 4



.

在正△ ABD 和正△ PBD 中,DE=DF= 3 ,
1 EF ? 6 4 3
2 4

cos∠FED=

2 DE

=

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∴异面直线 DE 与 PA 所成角的大小是 arccos

2 4

.

12 (2007 春 16) (12 分)如图, 在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A ? B ?C ?D ? 中, E 、 F 分别是 A ? B ? 和 AB 的中点,求异面直线 A ? F 与 CE 所成角的大小 (结 果用反三角函数值表示). [解法一] 如图建立空间直角坐标系. ?? 2 分

由题意可知 A ?( 2 , 0 , 2 ), C ( 0 , 2 , 0 ), E ( 2 , 1, 2 ), F ( 2 , 1, 0 ) .
? A ?F ? ( 0 , 1, ? 2 ), CE ? ( 2 , ? 1, 2).

?? 6 分
5 5 ?3 5 3

A ? F ? CE

设直线 A ? F 与 CE 所成角为 ? ,则 cos ? ?
A ? F ? CE

?

?

.

??10 分

?

? ?arccos

5


5 3

3

即异面直线 A ? F 与 CE 所成角的大小为 arccos [解法二] 连接 EB ,
? A ? E // BF ,且 A ? E ? BF ,?

.

?? 12 分 ?? 2 分

A ? FBE 是平行四边形,则 A ? F // EB ,

? 异面直线 A ? F 与 CE 所成的角就是 CE 与 EB 所成的角.

?? 6 分

由 CB ? 平面 AB B ?A ? ,得 CB ? BE . 在 Rt △ CEB 中, CB ? 2 ,
t a n? C E B ? 2 5 5
?

BE ?

5 ,则


2 5 5

?? 10 分

? CEB ? arctan

.
2 5 5

? 异面直线 A ? F 与 CE 所成角的大小为 arctan

.

?? 12 分

13( 2007 年 16)(本题满分 12 分)如图,在体积为 1 的直三棱柱 ABC ? A1 B 1 C 1 中,
? ACB ? 90 ,
?

AC ? BC ? 1 .求直线 A 1 B 与平面 BB 1 C 1 C 所成角的大小(结果用反三角函数
C1

值表示). 解法一: 由题意,可得体积
1 1 V ? C C 1 ?S △ A B C ? C C 1 ? ?A C ?B C ? C C 1 ? 1 , 2 2

B1

A1

?

AA 1 ? CC 1 ? 2 .
C

B

A
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连接 BC 1 .
? ?

?

A1 C 1 ? B1 C 1, A1 C 1 ? C C 1 ,

A1C 1 ? 平面 BB 1 C 1 C , ? A1 BC 1 是直线 A 1 B 与平面 BB 1 C 1 C 所成的角.

BC

1

?

CC 1 ? BC

2

2

?

5 ,

?

t a n? A1 BC

1

?

A1 C 1 BC
1

?

1 5

,则 ? A1 BC 1 = arctan

5 5


z

即直线 A 1 B 与平面 BB 1 C 1 C 所成角的大小为 arctan 解法二: 由题意,可得 体积 V
?
1 1 ? C C 1 ?S ? A B C ? C C 1 ? ?A C ?B C ? C C 1 ? 1 , 2 2

5 5


A1

C1

B1

C

B

CC 1 ? 2 ,

y

A
1 0 如图,建立空间直角坐标系. 得点 B ( 0,, ) , C 1 ( 0, , ) , A1 (1, , ) 0 2 0 2

x
? ? (1, , ) . 0 0

. 则 A1 B

????

? ( ? 1,, 2 ) 1 ?

,平面 BB 1 C 1 C 的法向量为 n

设直线 A 1 B 与平面 BB 1 C 1 C 所成的角为 ? , A1 B 与 n 的夹角为 ? ,
???? ? A1 B ?n 6 则 co s ? ? ???? ? ? ? 6 A1 B ? n

, ?

sin ? ? | cos ? | ?

6 6

,

? ? arcsin

6 6



即直线 A 1 B 与平面 BB 1 C 1 C 所成角的大小为 arcsin

6 6



14(2008 春 20)(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 某厂根据市场需求开发折叠式小凳(如图所示). 凳面为三角形 A C 的尼龙布,凳脚为三根细钢管. 考虑到钢管的受力和人的舒适度等因 B 素,设计小凳应满足:① 凳子高度为 30cm ,② 三根细钢管相交处 的节点 O 与凳面三角形 A B C 重心的连线垂直于凳面和地面. O (1) 若凳面是边长为 20cm 的正三角形, 三只凳脚与地面所成的角均 为 4 5 ,确定节点 O 分细钢管上下两段的比值(精确到 0 .0 1 ); (2)若凳面是顶角为 1 2 0 的等腰三角形,腰长为 24cm ,节点 O 分 细钢管上下两段之比为 2 : 3 . 确定三根细钢管的长度(精确到
0.1 cm ).
? ?

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[解](1)设△ A B C 的重心为 H ,连结 O H .
A

由题意可得, B H ?

20 3 3

. 设细钢管上下两段之比为 ? .
30? 1? ?

H B O

C

已知凳子高度为 3 0 . 则 O H ?

.

?? 3 分
B/ C/ A/

? 节点 O 与凳面三角形 A B C 重心的连线与地面垂直,且凳面与

地面平行.
?

? O B H 就是 O B 与平面 A B C 所成的角,亦即 ? O B H ? 4 5 .
?

?

BH ? OH ,

?

3 0? 1? ?

?

20 3

,解得, ? ?

3

2 3 9?2 3

? 0 .6 3 .

?? 6 分

即节点 O 分细钢管上下两段的比值约为 0 .6 3 . (2)设 ? B ? 120 , ?
?

A B ? B C ? 24 , A C ? 24 3 .
AH ? 8 7 ,

设△ A B C 的重心为 H ,则 B H ? 8,

?? 10 分

由节点 O 分细钢管上下两段之比为 2 : 3 ,可知 O H ? 12 . 设过点 A、 B、 C 的细钢管分别为 A A ?、 B B ?、 C C ? , 则 A A? ? C C ? ?
BB? ? 5 2 5 2 OB ? 5 2 OA ? 5 2 OH
2

OH ? BH

2

? AH
2

2

? 1 0 3 7 ? 6 0 .8 ,

? 1 0 1 3 ? 3 6 .1 ,

? 对应于 A、 B、 C 三点的三根细钢管长度分别为 60.8cm , 36.1cm 和 60.8cm . 14 分

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