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高中数学易错题2


2010 高考数学易错题解题方法大全(2)
一.选择题 范例1】 【范例 】已知一个凸多面体共有9个面,所有棱长均为1, 其平面展开图如右图所示,则该凸多面体的体积 V = ( A. 1 +
2 6

)

B. 1

C.

2 6

D. 1 +

2 2

答案: A 错解分析】 【错解分析】此题容易错选为 D,错误原因是对棱锥的体积公式记忆不牢。 解题指导】 【解题指导】将展开图还原为立体图,再确定上面棱锥的高。 【练习 1】一个圆锥的底面圆半径为 3 ,高为 4 ,则这个圆锥的侧面积为( 】 A.



15π 2

B. 10π
2

C. 15π

D. 20π

【范例 2】设 f (x ) 是 ( x + 】

? 2 ? 1 6 ) 展开式的中间项,若 f ( x) ≤ mx 在区间 ? , 2 ? 上恒成 2x ? 2 ?


立,则实数 m 的取值范围是( A. [0,+∞ ) 答案:D B. ? ,+∞ ?

?5 ?4

? ?

C. ? ,5? ?4 ?

?5 ?

D. [5,+∞ )

【错解分析】此题容易错选为 C,错误原因是对恒成立问题理解不透。 错解分析】 注意区别不等式有解与恒成立:

a > f ( x ) 恒 成 立 ? a > f m ax ( x ) ;

a < f ( x)恒成立 ? a < f min ( x) ;
a < f ( x )有解 ? a < f max ( x)

a > f ( x )有解 ? a > f min ( x) ;
解题指导】 【解题指导】 ∵ f ( x) = C 6 ( x )
3 2 6 ?3

(

? 2 ? 1 3 5 3 5 ) = x ,∴ x 3 ≤ mx 在区间 ? , 2 ? 上恒成 2x 2 2 ? 2 ?

立,即

? 2 ? 5 2 x ≤ m 在区间 ? , 2 ? 上恒成立,∴ m ≥ 5 . 2 ? 2 ?
1 n ) 的展开式中第三项系数等于 6,则 n 等于( 11


【练习 2】若 ( x ? 】

A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【范例 3】一只蚂蚁在边长分别为 5,12,13 的三角形区域内随机爬行,则其恰在离三个顶 】 点距离都大于 1 的地方的概率为( ) A.

4 5

B.

3 5

C.

π 60

D.

π 3

答案:C

1

【错解分析】此题容易错选为 A,错误原因是没有看清蚂蚁在三角形区域内随机爬行,而不 错解分析】 是在三边上爬。 解题指导】 【解题指导】考查几何概型的计算,满足条件部分的面积与三角形面积之比. 【练习 3】设 a 在区间[0,5]上随机的取值,则方程 x + ax + 】
2

a 1 + = 0 有实根的概率为 4 2

( A.



4 5

B.

3 5
3

C.

2 5

D. 1 )

【范例 4】方程 x ? 3 x ? m = 0 在[0,1]上有实数根,则 m 的最大值是( 】 A.0 B.-2 C. ?

11 8

D. 1

答案:A 错解分析】 【错解分析】此题容易错选为 B,错误原因是不能利用导数准确地求最值。 【解题指导】转化为求函数 m = x ? 3 x 在[0,1]上的最值问题. 解题指导】
3

3 【练习 4】已知函数 f ( x) = x ? 3ax( a ∈ R ) ,若直线 x + y + m = 0 对任意的 m ∈ R 都不 】

是曲线 y = f ( x ) 的切线,则 a 的取值范围为( A. a ≥

) D. a < ) D. 8 3
1 3

1 3

B. a >

【范例 5】已知 】 A.10

4 + mi ∈ R ,则 | m + 6i | =( 1 + 2i
B.8 C.6

1 3

C. a ≤

1 3

答案:A 错解分析】 【错解分析】此题容易错选为 C,错误原因是对复数的代数形式化简不到位。 【解题指导】 解题指导】

4 + mi (4 + mi )(1 ? 2i ) (4 + 2m) + (m ? 8)i = = ∈R∴m =8 1 + 2i (1 + 2i )(1 ? 2i ) 5

∴ | m + 6i |=| 8 + 6i |= 82 + 62 = 10 【练习 5】复数 (1 + ) 的值是( 】
4

A. 4i B. ? 4i C.4 D.-4 【范例 6】从 2006 名学生中选取 50 名组成参观团,若采用以下方法选取:先用简单随机抽 】 样从 2006 名学生中剔除 6 名,再从 2000 名学生中随机抽取 50 名. 则其中学生甲被剔除和 被选取的概率分别是 ( ) A.

1 i



3 1 , 1 003 40

B.

3 1 , 1 000 40

C.

3 25 , 1 003 1 003

D.

3 25 , 1 000 1 003

答案:C 错解分析】 【错解分析】此题容易错选为 B,错误原因是对抽样的基本原则理解不透。

2

【解题指导】法(一)学生甲被剔除的概率 P = 解题指导】 1

5 C 2 005 3 = , 则学生甲不被剔除的概率为 6 C 2 006 1 003

1?

1000 C149999 25 3 1000 × 50 = = ,所以甲被选取的概率 P2 = , 故选 C. 1003 1003 1003 C2 000 1 003

法 ( 二 ) 每位同学被抽到,和被剔除的概率是相等的,所以学生甲被剔除的概率

P= 1

6 3 50 25 = , 甲被选取的概率 P2 = = . 2006 1 003 2006 1 003

【练习 6】在抽查产品的尺寸过程中,将尺寸分成若干组, [a, b ) 是其中的一组,抽查出的 】 个体在该组上的频率为 m,该组上的直方图的高为 h,则 a ? b =( A.hm B. )

h m

C.

m h

D. h + m

二.填空题 【范例 7】已知一个棱长为 6cm 的正方体塑料盒子(无上盖),上口放着一个半径为 5cm 的钢 】 球,则球心到盒底的距离为 cm. 答案:10 错解分析】 【错解分析】此题容易错填 11,错误原因是空间想象能力不到位。 解题指导】 【解题指导】作出截面图再分析每个量的关系. 【 练 习 7 】 设 P, A, B, C 是 球 O 表 面 上 的 四 个 点 , PA, PB, PC 两 两 垂 直 , 且

PA = PB = PC = 1 ,则球的表面积为

.

【 范例 8】已知直线 l1 : x + ay + 6 = 和l 2 : ( a ? 2) x + 3 y + 2a = 0, 则l1 // l 2 的充要条件是 】

a=

.

答案: a = ?1 错解分析】 【错解分析】此题容易错填为-1,3,主要是没有注意到两直线重合的情况。 【解题指导】 l1 // l 2 的充要条件是 A1 B2 ? A2 B1 = 0 且 A1C 2 ? A2 C1 ≠ 0 . 解题指导】 【练习 8】已知平面向量 a = (1, m) , b = ( m ? 2,3) ,且 a ⊥ b ,则 m = 】
→ →

r

r

.

2 y2 【范例 9】已知双曲线 x 2 ? 2 = 1 (a > 0, b > 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 , 又点P 是双曲线 】 a b

上一点,且 PF1 ⊥ PF2 , PF1 ? PF2 = 4ab ,则双曲线的离心率是

.

答案: 5 错解分析】 【错解分析】此题容易漏掉圆锥曲线定义在解题中的应用。 解题指导】 【解题指导】求圆锥曲线的离心率值或范围时,就是寻求含 a, c 齐次方程或不等式,同时注 意 . 找 全 PF1 , PF2 的 几 个 关 系 , 1 ) PF1 ⊥ PF2 ,∴ PF12 + PF22 = F1F22 = 4c2 , ( 2 ) (

PF1 ? PF2 = 2a , PF1 ? PF2 = 4ab 。 将 (3) (2) 式平方可得 PF12 + PF22 ? 2PF1 PF2 = 4a 2 ,

3

所以 4c2 ? 8ab = 4a 2 , 所以 b = 2a 。 【练习 9】若双曲线 】 线的离心率为

x2 y2 - 2 =1 的渐近线与方程为 ( x ? 2) 2 + y 2 = 3 的圆相切,则此双曲 a2 b .
x y

【范例 10】点 ( x, y ) 在直线 x + 3 y ? 2 = 0 上,则 3 + 27 + 3 最小值为 】

.

答案:9 错解分析】 【错解分析】此题主要考查学生对均值不等式的应用,及指数的四则运算。一定要牢记这些 公式。 【解题指导】 3 + 27 + 3 3 + 27 ≥ 2 3 ? 27 解题指导】
x y

x

y

x

y

= 2 3 x +3 y = 6 .
. .

【练习 10】已知 x > 1, y > 1 且 lg x + lg y = 4 则 lg x lg y 最大值为 】
2 【范例 11】函数 f ( x ) = ax + bx + 6 满足条件 f ( ?1) = f (3) ,则 f ( 2) 的值为 】

答案:6 错解分析】 【错解分析】此题主要考查二次函数的性质,主要易错在不能很好的应用性质解题。
2 (一 【解题指导】 一)对称轴 x = 1 所以 b = ?2a .∴ f ( x ) = ax ? 2ax + 6, f (2) = 6. 解题指导】 (

(二)对称轴 x = 1 所以 f (2) = f (0) = 6.

已知二次函数 f (x ) 满足 【练习 11】 】 在区间 [m, n ] 上的值域是 [m, n ] ,则 m =

, 且 ,n= .

, 若

,则向量 OA 【范例 12】已知向量 OB = ( 2,0) ,OC = ( 2,2) ,CA =( 2 cos α , 2 sin α ) 】 与 OB 的夹角范围为 答案: .

? π 5π ? ?12 , 12 ? ? ?

【错解分析】此题主要错在不能认识到点 A 的轨迹是一个圆. 错解分析】 【解题指导】 ∵ OC = ( 2 , 2) , OB = ( 2 , 0) ,∴ B ( 2,0), C ( 2,2) 解题指导】 ∵ CA = ( 2 cos α ,

2 sin α ) , ∴点 A 的轨迹是以 C(2,2)为圆心, 2 为半径的圆.

过原点 O 作此圆的切线,切点分别为 M,N,连结 CM、CN(∠MOB<∠NOB) ,则向量 OA 与

4

OB 的 夹 角 范 围 是 ∠MOB ≤ 〈 OA, OB 〉 ≤ ∠NOB . ∵ OC = 2 2 , ∴

1 π π | CM | = | CN | = | OC | 知 ∠COM = ∠CON = ,但 ∠COB = . 2 6 4
∴ ∠MOB

=

π 5π π 5π , ∠NOB = ,故 ≤ 〈 OA, OB 〉 ≤ . 12 12 12 12
D _ M 为 BC 的中点, N _ C _

【练习 12】如图,在正方形 ABCD 中,已知 AB = 2 , 】

若 N 为正方形内(含边界)任意一点,则 AM ? AN 的最大值是 三.解答题 【范例 13】已知数列{ an }的前 n 项和 S n = n + 2n , 】
2

.
A _

M _ B _

(1)求数列的通项公式 an ; (2)设 2bn = an ? 1 ,且 Tn =

1 1 1 1 + + +L ,求 Tn . b1b2 b2b3 b3b4 bnbn +1

(1)在求通项公式时容易漏掉对 n=1 的验证。 【错解分析】 错解分析】 (2)在裂项相消求数列的和时,务必细心。 解:(1)∵Sn=n +2n ∴当 n ≥ 2 时, a n = S n ? S n ?1 = 2n + 1
2

当 n=1 时,a1=S1=3, a n = 2 × 1 + 1 = 3 ,满足上式. 故 a n = 2n + 1, n ∈ N * (2)∵ 2bn = an + 1 , ∴ bn = ∴

1 1 (an ? 1) = (2n + 1 ? 1) = n 2 2

1 1 1 1 = = ? bn bn +1 n(n + 1) n n + 1 1 1 1 1 + + +L b1b2 b2b3 b3b4 bnbn +1

∴ Tn =

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = ? + ? + ? +L+ ? + ? 1 2 2 3 3 4 n ?1 n n n + 1
【练习 13】已知二次函数 y = f (x ) 的图像经过坐标原点,其导函数为 f ′( x ) = 6 x ? 2. 数列 】 { a n }的前 n 项和为 S n ,点 ( n, S n )( n ∈ N ) 均在函数 y = f (x ) 的图像上.
*

5

(1)求数列{ a n }的通项公式; (2)设 bn =

3 m * , T n 是数列{bn } 的前 n 项和,求使得 Tn < 对所有 n ∈ N 都成 a n a n +1 20

立的最小正整数 m . 【范例 14】已知函数 f ( x ) = sin x + 2 3 sin x cos x + 3cos x . 】
2 2

(1)求函数 f ( x ) 的单调增区间; (2)已知 f

(α ) = 3 ,且 α ∈ ( 0, π ) ,求 α 的值.
3 sin 2 x + cos 2 x + 2 = 2 sin(2 x + π )+2. 6

【错解分析】在利用降幂公式两倍角公式时,本身化简就繁琐,所以仔细是非常重要的。 错解分析】 解: (1) f ( x ) = 由?

π π π π π + 2k π ≤ 2 x + ≤ + 2k π ,得 ? + k π ≤ x ≤ + k π . 2 6 2 3 6 π π ∴函数 f ( x ) 的单调增区间为 [ ? + k π , + k π ] (k ∈ Z) . 3 6 π π 1 (2)由 f (α ) = 3 ,得 2 sin(2α + ) + 2 = 3 .∴ sin(2α + ) = . 6 6 2 π π π 5π ∴ 2α + = + 2k1π ,或 2α + = + 2k2 π ( k1 , k2 ∈ Z ) , 6 6 6 6 π π 即 α = k1π 或 α = + k2 π ( k1 , k2 ∈ Z ) .∵ α ∈ ( 0, π ) ,∴ α = . 3 3
【 练 习 14 】 在 △ABC 中 , a, b, c 依 次 是 角 A, B, C 所 对 的 边 , 且 4sinB·sin ( B + )+cos2B=1+ 3 . 2 (1)求角 B 的度数; (2)若 B 为锐角, a = 4 , sin C =
2

π 4

1 sin B ,求边 c 的长. 2

15】 【范例 15】某工厂制造甲、乙两种产品,已知制造甲产品 1 kg 要用煤 9 吨,电力 4 kw,劳 力(按工作日计算)3 个;制造乙产品 1 kg 要用煤 4 吨,电力 5 kw,劳力 10 个.又知制成甲 产品 1 kg 可获利 7 万元,制成乙产品 1 kg 可获利 12 万元,现在此工厂只有煤 360 吨,电 力 200 kw,劳力 300 个,在这种条件下应生产甲、乙两种产品各多少千克,才能获得最大 经济效益? 错解分析】 【错解分析】对于线性规划的题目,首先要认真审题,列出约束条件,及目标函数,这是本 题的重点及难点。 解:设此工厂应生产甲、乙两种产品 x kg、y kg,利用 z 万元,则依题意可得约束条件:

6

?4x+5y≤200, ? ?3x+10y≤300, x≥0, ?y≥0. ?
利润目标函数为 z=7x+12y. 作出不等式组所表示的平面区域,即可行域(如下图). 作直线 l:7x+12y=0,把直线 l 向右上方平移至 l1 位置时,直线 l 经过可行域上的点 M 时,此时 z=7x+12y 取最大值.

9x+4y≤360,

?3x+10y=300, ? 解方程组? 得 M 点的坐标为(20,24). ? ?4x+5y=200 答:应生产甲种产品 20 千克,乙种产品 24 千克,才能获得最大经济效益.

【练习 15】某养鸡场有 1 万只鸡,用动物饲料和谷物饲料混合喂养.每天每只鸡平均吃混合 】 饲料 0.5kg,其中动物饲料不能少于谷物饲料的

1 .动物饲料每千克 0.9 元,谷物饲料每千克 5

0.28 元,饲料公司每周仅保证供应谷物饲料 50000kg,问饲料怎样混合,才使成本最低.

练习题参考答案: 1.C 2.C 3.B 11. m=0 ,n=1

4.D 5.D 12. 4

6.C

7. 3π

8. ?1 , 3

9.2

10. 4

13. 解: (1)设这二次函数 f ( x) = ax 2 + bx( a ≠ 0), 则f ′( x) = 2ax + b , 由于 f ′( x ) = 6 x ? 2 ,得 a = 3, b = ?2, 所以f ( x ) = 3 x 2 ? 2 x . 又因为点 (n, S n )( n ∈ N )均在函数y = f ( x ) 的图像上,所以 S n = 3n ? 2n.
* 2

7

当 n ≥ 2时, a n = S n ? S n ?1 = (3n ? 2n) ? [3( n ? 1) ? 2( n ? 1)] = 6n ? 5.
2 2

(2)由(1)得知 bn = 故 Tn =

3 3 1 1 1 = = ( ? ). a n a n +1 (6n ? 5)[6(n ? 1) ? 5] 2 6n ? 5 6n + 1

1 1 1 1 1 1 1 1 [(1 ? ) + ( ? ) + L + ( ? )] = (1 ? ). 2 7 7 13 6n ? 5 6n + 1 2 6n + 1 1 1 1 m m )< (n ∈ N * )成立的m ,必须且仅须满足 ≤ , 因此,要使 (1 ? 2 6n + 1 20 2 20
即 m ≥ 10 ,所以满足要求的最小正整数 m 为 10. 14. 解 :( 1 ) 由 4sinB · sin
2

?π B ? ? + ? + ?4 2?

cos2B

=

1

+

3 得 :

2sin B[1 ? cos(

π
2

+ B )] + cos 2 B = 1 + 3
sin B = 3 2

2sin B(1 + sin B ) + 1 ? 2sin 2 B = 1 + 3 ,
Q0 < B < π ∴B =

π
3



2π . 3

(2)法 1:Q B 为锐角

1 3 sin C = sin B = 3 2 4 1 13 由已知得: c = b < b ,角 C 为锐角 ∴ cos C = 2 4 2π 3( 13 + 1) a c 2 13 ? 2 可得: sin A = sin( ? C) = 由正弦定理 = 得: c = . 3 8 sin A sin C 3 1 法 2:由 sin C = sin B 得: b = 2c ,由余弦定理知: (2c)2 = c 2 + 16 ? 8c cos 60o 2 ∴B =
即: 3c 2 + 4c ? 16 = 0

π

c=

?2 ± 2 13 3

2 13 ? 2 . 3 15. 解:设每周需用谷物饲料 x kg,动物饲料 y kg,每周总的饲料费用为 z 元,那么
Qc > 0

∴c =

? x + y ≥ 35000 ? ?y ≥ 1 x ? ,而 z=0.28x+0.9y 5 ? ?0 ≤ x ≤ 50000 ? ?y ≥ 0 ?
如右图所示,作出以上不等式组 所表示的平面区域,即可行域. 作一组平行直线 0.28x+0.9y =t, 其中经过可行域内的点且和原点最近的直线,经过直线 x+y=35000 和直线 y =

1 x 的交点 5

A(

87500 17500 87500 17500 ) ,即 x = ,y= 时,饲料费用最低. , 3 3 3 3

8

所以,谷物饲料和动物饲料应按 5:1 的比例混合,此时成本最低.

9


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