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向量组线性相关性的几种判定——学年论文


题目:向量组线性相关性的几种判定 摘 要:将行列式的值、矩阵的秩、齐次线性方程组的解等知识运用 于向量组线性 定,归纳出六种判定向量组线性相关性的方法. 关键词:向量组;线性相关;线性无关;判定方法. 参考文献: 北京大学数学系几何与代数研究室代数小组.高等代数 (第 二版) ;高等代数简明教程[M];线性代数题解集[M]. 在线性代数的学习中,向量线性相关性的判定很难理解和掌握. 向量线性相关性是线性 关的统称,而向量组的线性相关和线性无关是相对的,只要掌握了向 量组的线性相关的判定 性无关的判定就同时解决了. 本文将判定向量组的线性相关的几种 常用方法归纳如下: 1 定义法 这是判定向量组的线性相关性的基本方法, 既适用于分量没有给 出的抽象向量组,也适 给出的具体向量组. 定义 设向量组 a1 , a2 ,…, an (n ≥1) ,若数域 F 中存在不全 为零的数 k1 , k2 ,…, kn 使得
k1 a1 + k2 a2 + …+ kn an = 0 ,则称向量组 a1 , a2 ,…, an 线性相关,

否则,则称向量组 a1 , a2 ,…, an . 例 1:设 β1 = a1 + a2 , β 2 = a2 + a3 , β3 = a3 + a4 , β 4 = a4 + a1 , 证明向
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量组 β1 , β 2 , β3 , β 4 线性相. 证明:设存在四个数 k1 , k2 , k3 , k4 ,使得 k1 β1 + k2 β 2 + k3 β3 + k4 β 4 = 0 ,将 β1 = a1 + a2 , β 2 = a2 , β3 = a3 + a4 , β 4 = a4 + a1 ,代入上式整理得 ( k1 + k4 ) a1 +( k1 + k2 ) a2 +( k3 + k4 ) a3 +( k3 + k4 ) a4 = 0,则 令 k1 = k3 =1 , k2 = k4 = 0 ,则有 k1 a1 + k2 a2 + k3 a3 + k4 a4 = 0,所 以由线性相关的定义知: β1 , β 2 , β3 , β 4 线性相关. 2 利用向量组的线性相关的充要条件 向量组 a1 , a2 ,…, an (n≥ 2) 的线性相关的充要条件是向量 组中至少有一个向量可由其余向量线性表示. 而对于单个向量 a1 , a1 线性相关的充要条件是 a1 = 0 . 如例 1, β 4 = β1 + β 2 + β3 ,即β4 可由其余三个向量线性表出, 故向量组 β1 , β 2 , β 3 , β 4 线性相关 3 方程组法 方程组法就是将向量组的线性相关性问题转化为齐次线性方程 组的有无非零解的问题. 对于各分量都给出的向量组 a1 , a2 ,…, an 线性相关的充要条 件是以 a1 , a2 ,…, an 的列向量 齐次线性方程组有非零解;若齐次线性方程组只有零解,则向量组线 性无关. 例 2:讨论向量组 a1 = (1,-2,5), a2 =(0,2,-5), a3 = (-1,0,2) 的线性相关性. 解:以 a1 , a2 , a3 为系数的齐次线性方程组是
k1 -2 k2 +3 k3

= 0

2

0 k1 +2 k2 -5 k3 = 0 -1 k1 +0 k2 +2 k3 = 0 解之得 k1 =2 k3 = c1 , k 2 =3 k3 = c 2 (其中 c1 ,c 2 为任意常数), a1 , a2 , a3 故 线性相关. 4 矩阵秩法 矩阵秩法就是将向量组构成矩阵,利用矩阵的初等变换,将矩阵 化为阶梯形矩阵. 当矩阵的秩小于向 量的个数,向量线性相关;当矩阵的秩等于向量的个数,向量线性无 关. 如上例 2,以 a1 , a2 , k4 为列向量组的矩阵 A,进行初等行变换, 得
? 1 0 ?1 ? ? 1 ?2 3 ? ? ? ? ? ? ?2 2 0 ? → ? 0 2 ?5 ? ? 3 ?5 2 ? ?0 0 0 ? ? ? ? ?

由最后阶梯形矩阵的秩知原矩阵的秩为 2,小于向量组的个数 3. 故 a1 , a2 , a3 线性相关. 上面是以 a1 , a2 , a3 为列向量组构造矩阵,根据矩阵的行秩与列秩 的关系,用 a1 , a2 , a3 为行向量组构造矩阵,再进行初等行(列)变换 也可以得到相同的结果. 5 行列式值法 若向量组 a1 , a2 ,…,是由 n 个 n 维向量所组成的向量组,且向 量组 a1 , a2 ,…, an 所构成的矩阵为 A = ( a1 , a2 ,…, an ) ,即 A 为 n 阶方阵. 则
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(1)当| A |= 0,则向量组 a1 , a2 ,…, an 线性相关; (2)当| A |≠ 0,则向量组 a1 , a2 ,…, an 线性无关. 6 反证法 此方法是数学中常用的证明方法,欲证命题真,先假设命题假, 导出矛盾,从而原命题得证. 例 3: a1 , a2 ,…, an 线性无关, am = k1α1 +k2α2 + L + km am 若 若 且 ki ≠ 0 (i=1,2, L ,m).证: a1 , a2 , L , am , am+1 中任意 m 个向量 线性无关. 证明:由 a1 , a2 ,…, an 线性无关,而 am+1 = k1 α 1 +k2 α 2 +
L + km am 且 ki ≠ 0,即 am +1 可以用 a1 , a2 , L , am 线性表示,且表达式

唯一. 假设 a1 , a2 ,L ai ?1 , ai , ai +1 ,
L

, am , am+1 (1≤i≤ m+1 )

线性相关, 则存在一组不全为零的数 λ1 , λ2 ,…, λi ?1 ,λ i ,λi +1 , λm , …,
λm +1 ,其中必有使得 λ1 α1 + λ2 a2 + L + λm am + λm +1 am +1 =0 其中必有 λi ≠0,

否则得出: a1 , a2 , L , am 线性相关,与已知条件矛盾. am+1 =— α1 —

λ1 λm +1

λ λ λ λ2 α 2 — L — i ?1 ai ?1 —0 ai — i +1 ai +1 L — m am 这显然与 λm +1 λm +1 λm +1 λm +1

已知条件里系数不全为零矛盾,从而结论成立. 当然,判断向量组线性相关性还有一些结论,如 n+1 个 n 维向 量必线性相关,属于同一矩阵的不同特征值的特征向量线性无关等. 以上归纳了判断向量组线性相关性的几种方法, 在判定向量组线 性相关或线性无关时,需根据条件灵活运用.
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