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4.9


函数y=Asin(?x+?)的图象
(一)、(二)

2014年12月12日星期五

一、复习 ⒈正弦函数的图象 y
1

y=sinx 3?
? 2
2 ?

o

x
2?

-1 ⒉五点法作图:在一个正弦

函数周期内, 选择五个特殊点先连线作出函数在一个周 期内的图象,然后再根据周期性,作出函数的 全部图象。

二、新课
1 例⒈作函数 y=2sinx,y= 2 sinx的简图. 解:这两个函数的周期T=2?.因此作它 在[0 ,2?] 的图象,再按周期扩展. ? 3? 列 x 0 2? ? 2 2 表: sinx 0 1 0 -1 0

2sinx 1 2 sinx

0 0

2 1 2

0 0

-2 1 2

0 0

二、新课
1 例⒈作函数 y=2sinx,y= 2 sinx的简图. y 2 连 描 点: 1 线 o ? 2 y=2sinx y=sinx y=1sinx 2 ? 3? 2 2?

x

-1
-2

二、新课 A ——振幅变换 o y

x

y=Asinx, x?R(A>0,A ? 1)的图象可以由 y=sinx的图象所有点的纵坐标伸长(A>1) 或缩短(A<1)为原来的A倍,横坐标不变 得到。值域为[-A,A]

二、新课 例⒉作函数 y=sin2x,y=sin 1x的简图. 2 2 ? 解:函数y=sin2x的周期T= =? ,因此先 2 作x∈[0,π]时的图象. 列 表: x 0 ? 4 ? 2 1 ? 2 3? 4 3? 2 -1 ?

2x
sin2x

0
0

?
0

2?
0

二、新课 例⒉作函数 y=sin2x,y=sin 1x的简图. 2 2 ? 解:函数y=sin2x的周期T= =? ,因此先 2 作x∈[0,π]时的图象. 作图: y 1 o -1 ? 2?

x

二、新课 例⒉作函数 y=sin2x,y=sin 1x的简图. 2 ? =4? ,因此先 解:函数y=sin 1 x的周期T= 2 1/2 2 作x∈[0,4π]时的图象. 列 表: x 1x 2 1 sin 2 x 0 ? ? 2 1 2? 3? 3? 2 -1 4?

0
0

?
0

2?
0

二、新课 例⒉作函数 y=sin2x,y=sin 1x的简图. 2 ? =4? ,因此先 解:函数y=sin 1 x的周期T= 2 1/2 2 作x∈[0,4π]时的图象. 作图: y 1 o -1 ? 2?

3?

x 4?

二、新课 ? ——周期变换 y=sin?x, x?R(?>0,??1)的图象可 以由y=sinx的图象所有点的横坐标 伸长(?<1)或缩短(?>1)原来的1/? 倍,纵坐标不变得到。 x

y
o

二、新课 例⒊作函数 y=sin(x+ ? ),y=sin(x- ? )的简图. 3 4

y
1 ? o -3 -1 ? 4 2? 3 ? 5? 5? 4 3 9? 2? 4 x

二、新课

? ——相位变换
y=sin(x+ ?), x?R(? ? 0)的图象可以 由y=sinx的图象上所有点向左(? >0) 或向右(? <0)平移| ? |个单位,纵坐标 不变得到。 y

o

x

问题、如何由

y ? sinx 变换得 ? y ? 3 sin( 2 x ? )的图象? 3

方法1: (按? , ? , A顺序变换 )
y
3
2 1

? y=3sin(2x+ 3 )

y=sinx ?

o
?

?
3

?

? 6 -1

? ? 6 3

7 ? 2 5? 12 3 ? 6

7 ? 6

5? 3

2?

x

-2
-3

? y=sin(x+ ) 3 ? y=sin(2x+ ) 3

?

(1)向左平移 3 函数 y=sinx
1 2

? y=sin(x+ ) 的图象 3


(2)横坐标缩短到原来的 纵坐标不变

? y=sin(2x+ ) 的图象 3 ? y=3sin(2x+ )的图象 3

(3)横坐标不变 纵坐标伸长到原来的3倍

方法2: (按? , ? , A顺序变换 )
y

3
2

? y=3sin(2x+ ) 3

1

y=sinx
?
? 3
5? 6

? ? 6

o
-1

? 3

5? 3

2?

x

-2

y=sin2x ? y=sin(2x+ ) 3

-3

(1)横坐标缩短到原来的 函数 y=Sinx 纵坐标不变
?

1 2



y=Sin2x的图象

(2)向左平移 6

? y=Sin(2x+ ) 的图象 3 ? y=3Sin(2x+ )的图象 3 在先经过周

(3)横坐标不变 纵坐标伸长到原来的3倍

无论周期变换还是相位变换 都是直接作用在x上的!!!

期变换,再进 行相位变换 的时候,实际 平移的是?/? 个单位。

?一般地,函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),x∈R

的图象可以看作是用下面的方法得到的:
1.先把y=sinx的图象上所有的点向左(φ>0)或右(φ<0) 平行移动| φ|个单位; 2.再把所得图象上各点的横坐标缩短(ω>1)或伸 长(0< ω<1)到原来的1/ ω倍(纵坐标不变); 3.再把所得图象上各点的纵坐标伸长(A>1)或缩短 (0<A<1)到原来的A倍(横坐标不变);

1

y o
?
?
2

步骤1
-1

3? 2

2?

x

(沿x轴平行移动)

y
步骤2
1

o
-1

3? 2

2?

?
2

?

x (横坐标伸长或缩短)

1

y o
?
2

步骤3
-1

?

3? 2

2?

x

(纵坐标伸长或缩短)
1

y o

?
2

步骤4
-1

?

3? 2

2?

x

四、小结 相位 y=sin(x+?) 周期 变换 变换 y=sinx 周期 变换 y=sinωx 相位 变换 振幅 变换 y=Asin(ωx+?) y=sin(ωx+?)

在先经过周期变换,再进 行相位变换的时候,实际 平移的是?/?个单位。

无论周期变换还是相位变换 都是直接作用在x上的!!!

若周期变换在平移变换之前,应遵循 “先平移ω 不理,后平移ω钻底”,但振幅变换出现在前或 后不会影响得到函数y=Asin(ωx+φ)的图象.
A, ω, φ,K 对函数y= Asin(ωx+φ)+ k的图象的 影响: A引起 上下伸缩 ________ 变换 伸缩 左右伸缩 变换 变换 ω 引起_________ 左右平移 变换 φ 引起 ________ 上下平移 变换 k引起 ________ 平移 变换

1 ? 例1 画出函数y ? 2 sin( x ? )的简图. 3 6
函数y ? sin x
(1)向右平移

?
6

y ? sin( x ? )的图象 6 1 ? y ? sin( x ? )的图象 3 6 1 ? y ? 2 sin( x ? )的图象 3 6

?

(2)横坐标伸长到原来的 3倍
纵坐标不变

(3)纵坐标伸长到原来的 2倍
横坐标不变

y
3

2
1

? y=sin(x- )① 6
?
y=sinx

1 ? y ? 2 sin( x ? ) ③ 3 6
1 ? y ? sin( x ? ) ② 3 6
2?
7? 2

o
?
-1

6

? 2

13? 2

x

-2
-3

函数y ? sin x

(1)横坐标伸长到原来的3倍
纵坐标不变

1 y ? sin x的图象 3

(2)向右平移

?
2

1 ? y ? sin( x ? )的图象 3 6

(3)纵坐标伸长到原来的 2倍 y ? 2 sin(1 x ? ? )的图象 3 6 横坐标不变

y
3

1 ? y ? 2 sin( x ? ) ③ 3 6

2
1

1 y ? sin x ① 3
?
6

o
-1

? 2

?
y=sinx

2?

3?

7? 2

6?

13? 2

x

-2
-3

1 ? y ? sin( x ? )② 3 6

1 ? (画法二五点法)利用"五点法 "画函数y ? 2sin( x ? ) 3 6 2? 在一个周期(T ? 1 ? 6? )内的图象.
3

1 ? ? 令X ? x ? , 则x ? 3( X ? ). 3 6 6 ? 3? 当X取0, , ? , ,2?时, 可求得相对应的x和y 2 2 . 然 . 后 将 简 图 再 , "描 点 的值, 得到"五点", 再描点作图 .
X x y
0
?
2

? 2

?
7? 2

3? 2

2?
13? 2

2?

5?

0

2

0

?2

0

(1)列表 :

X x y

0
?
2

? 2

?
7? 2

3? 2

2?
13? 2

y

2?

5?

0

2

0

?2

0
2

(2)描点 :

O -2

?
2

2?

? 7? 13? ( ,0), (2? ,2), ( ,0), (5? ,?2), ( ,0) 2 2 2
(3)连线:

7? 2

5?

13? 2

x

用两种方法画出函数y ? 2sin(2 x ? )在长度 4 为一个周期的闭区间上的简图.
y 2

?

?

? 8

O

? 8

3? 8

5? 8

7? 8

x

-2

思考:物理中,简谐运动的图象就是函 x ? ?0, ? ?? 的图象,其中A 数 y ? A sin( ?x ? ? ) , ?>0.描述简谐运动的物理量有振 >0 , 幅、周期、频率、相位和初相等,你知 道这些物理量分别是指那些数据以及各 自的含义吗?

y ? A sin( ?x ? ? )

x ? ?0, ? ?? A ? 0, ? ? 0

A是振幅,它是指物体离开平衡位置的最 大距离; 是周期,它是指物体往复运动一 ? 次所需要的时间; 1 ? f ? ? T 2? 是频率,它是指物体在单位时 间内往复运动的次数; ?x ? ? 称为相位;
T? 2?

? 称为初相,即x=0时的相位.

例2 如图是某简谐运动的图象,试根 据图象回答下列问题:
⑴ 这个简谐运动的振 幅、周期与频率各是 多少? ⑵ 从O点算起,到曲 线上的哪一点,表示 完成了一次往返运动? 如从A点算起呢?
y/cm 2

A

E

0.4 O -2 C B

0.8 D

1.2 F
x/s

⑶ 写出这个简谐运动的表达式.

⑴ 这个简谐运动的振幅、周期与频 率各是多少?
y/cm 2 A E

振幅A=2 周期T=0.8s
1.2 F
x/s

0.4

O
-2

B

0.8 D

频率f=1.25

C

⑵ 从O点算起,到曲线上的哪一点, 表示完成了一次往返运动?如从A点算 起呢?
y/cm 2 A E

O ~D
1.2 F x/s

0.4

O
-2

B

0.8 D

A ~E

C

⑶ 写出这个简谐运动的表达式.
y/cm 2

A

E

0.4 O -2 C B

0.8 D

1.2 F

5? y ? 2 sin x, x ? ?0,?? ? 2
x/s


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