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解析几何解读


解析几何解读
解析几何是高考数学三大主干知识之一,从教材看包括平面上的直线和圆锥曲线两部分内 容,要求几乎都是理解、分析、应用层面。解析几何是数学中较为古典和经典的内容,对数学 一般能力的要求比较高,因此,能否从总体上理解学科知识,体会数学思想方法,掌握基本问 题的通性通法是考试能否取得好成绩的关键。 1.内容与结构 教材中有这样一段话:平面解析几何研究的两个基本问题是(1)根据条件,求出表示平面曲 线的方程;(2)通过方程,研究平面曲线的性质。无论是直线还是圆锥曲线,都是通过这两个问 题的表述展开。直线部分,通过点方向式、点法向式、两点式、点斜式、一般式等解决直线方 程的确定问题。通过两条直线的位置关系,定性定量(距离、角度)等的计算研究直线的性质。 圆锥曲线章节,先通过对直线和圆的问题,从一般的角度分析曲线与方程的关系,重新阐释解 析几何的原理,然后利用统一的定点、距离、定值等表述提出圆锥曲线的几何描述,推导得出 相应的圆、椭圆、双曲线、抛物线的标准方程,接着利用方程研究圆锥曲线的一些基本性质。 曲线的基本性质可以分为两类,一类为能表征单一曲线本身的特征量,如直线的斜率、倾 斜角、方向向量、法向量、截距等;圆的圆心、半径;椭圆的焦点、顶点;双曲线的焦点、顶 点、渐近线;抛物线的焦点、准线等。第二类为直线与圆锥曲线关系的性质,是否有交点,位 置关系,相交之后满足的一些平行、垂直、共点等性质和度量。 理科拓展内容包括参数方程与极坐标。参数方程的基本原理是将一维的曲线与参数之间建 立一一对应关系。 (曲线是点与实数对(x,y)建立一一对应) ,同样通过对参数的计算研究曲线的 性质。对常见的圆锥曲线,如何选择合适的参数可以与几何意义对应,在某些性质的研究中可 简化计算。极坐标是用另外的方式建立点与实数对(ρ ,θ )之间建立对应。因为 x,y 都是距离的 体现,而ρ ,θ 一个是距离,一个是角度,因此在解决解析几何问题涉及角度时,计算会方便很 多。当然,这两部分的要求相对简单,但要理解体会这个原理。 2. 基本问题与方法 根据解析几何教材,解析几何的基本问题可分为三类。一是确定曲线方程;二是计算曲线 的基本量;三是研究直线与曲线的性质。 确定曲线方程或者轨迹方程,基本的方法是定义法:先利用平面几何轨迹的定义判断确定 轨迹,然后根据基本量求方程;待定系数法:已知曲线类型,先待到形式,然后根据条件构造 方程(组)确定系数;直接法:根据曲线与方程的等价关系,按照步骤求解。基本步骤分:建 立合适应的直角坐标系,设动点坐标已知点线的坐标,列出动点满足的几何条件,代入坐标并 化简,证明所求曲线与方程的一致性通常注意范围;参数法,利用函数的方法选择自变量描述 动点的坐标。 下面通过举例说明。点 A 在 x 轴上,点 B 在 y 轴上运动且始终保存|AB|=2,M 为线段 AB 上的动点,求 M 的轨迹方程。①若 M 为 AB 中点;②若 AM ? 2MB ;③若 OM ? AB 。 上述问题因不能快速确定曲线类型,故待定系数法不太合适,其余方法都可以,但相比较

而言,问题①适合定义法,问题②适合直接法,问题③适合参数法。问题①,根据直角三角形 斜边中线长为斜边一半的结论,可直接判断点 M 到原点 O 的距离为定值 1,故其轨迹为圆,方 程为 x 2 ? y 2 ? 1。利用定义法求轨迹方程要注意轨迹的特殊情形,如椭圆、双曲线、抛物线的 定义中都特别对焦点和定值有要求。如果是求轨迹,则求出方程后需要说明曲线特征。

y B M A x

O

问题②,最终的方程应该是|AB|=2,关键是如何用动点 M(x,y)表示 A、B 两点的坐标,要 注意到所给条件是定比分点的形式。设 M ( x, y), A(a,0), B(0, b) ,由 AM ? 2MB 得

a ? x? ? a ? 3x ? 3y 2 x2 y 2 ? ? 1? 2 2 2 2 ?? ? 3 ,所以 a ? b ? (3 x) ? ( ) ? 4 即为椭圆 4 ? 16 ? 1 。 2 b? y 9 9 ? y ? 2b ? ? 2 ? ? 1? 2
而 问 题 ③ 用 参 数 法 比 较 合 适 , 设 ?OAB ? ? , 则 利 用 三 角 比 容 易 求 得

xM ? OM sin ? ? OAsin2 ? ? 2cos? sin 2 ? , yM ? OM cos? ? OAsin? cos? ? 2cos2 ? sin ? 。
计算曲线的基本量,通常都需要将曲线方程(包括直线方程)化为标准形式,然后根据公 式计算。如果涉及讨论,特别要注意斜率是否存在?截距是否为零?焦点在坐标轴何处?等问 题。还要主要有些量的定义,如倾斜角的范围是 [0, ? ) ,根据斜率用反三角表示时要注意角的 范围。两直线夹角范围是 (0,

?
2

] ,特别在求双曲线渐近线夹角时要注意。建议先做大致图像,

然后利用公式计算,减少低级错误。 直线与曲线性质,包括是否有交点,交点个数与位置,有交点后弦长,弦的中点,交点的 某些性质等。解决这类问题的通法是联立直线与曲线的方程组,转化为关于 x 或者 y 的一元二 次方程继续讨论,通常需要考虑判别式,韦达定理,弦长公式。交点的定性研究中,首先要注 意方程二次项系数是否可能为零,需要先讨论,判别式往往提供了后续点研究时自变量的取值 范围;韦达定理则提供了两个交点坐标的基本对称式,可以避免带有字母的复杂运算。解析几 何最复杂的就集中在这个问题上,具体问题中要注意适时利用定义,结合几何意义,选择合适 的待到方法,观察运算过程中代数式与要求之间的关系等。 3. 基本思想 数学中基本思想应该是更高于基本方法的解题策略,根据解析几何的特性,基本思想包括

数形结合思想,函数方程思想,分类讨论思想,类比思想。其实这也是整个高中数学的最基本 思想。但这些基本思想在具体不同章节中体现略有不同。下面就如何运用这些基本思想分析解 析几何问题做一些说明。 数形结合思想,首先是对研究的曲线做出大致图形。解析几何中作图的好处有三。简单问 题,做好图答案就明了了,如交点位置,交点个数,解的情况等。稍复杂的问题,可以根据作 图化归为明确的简单问题,如本来求范围,现在只要求几个临界值就可以了。更复杂没思路的, 也许从作图中体会问题的本质,感受求解的方法。 对方程确定或基本确定的曲线,要力求作图准确,把能反应图像的基本特征描点画好。通 常包括对称性,顶点,与坐标轴的交点,端点,辅助的点(圆心,焦点,渐近线,准线)等。 如果方程中含有字母系数,则需要想象字母变化时图形的变化,是否有定点?是否会从量变到 质变?是否有临界状态?等等。如果所求的曲线还未定,也需要通过对称性,范围,特殊点等 描点,感受可能的整个曲线特征。 数形结合的另一面则是要对某些代数表达式理解其对应的几何含义,主要是动点和定点的 关系,有距离 ( x ? x0 ) ? ( y ? y0 ) ,斜率
2 2

y ? y0 ,截距 ax ? by 等。越是复杂的代数形式, x ? x0

越要注意对代数式的几何意义的理解。 对理科而言,参数方程中参数的理解,极坐标中坐标的几何对应要重视。 函数方程思想,曲线方程的确定,多数涉及方程、方程组思想。用待到系数确定曲线方程 是最常见的体现。 方程思想的基本原理是, 如果某些变量应该是确定的, 就可以待到用方程 (组) 确定求解,通常未知数个数与方程个数对应,解方程(组)的基本策略是消元,降次。解析几 何的一大难点就是如何讲某些几何条件转化为合理的代数方程。如几何中对称是基本的问题, 但用代数描述则要复杂一些。如果是点对称,实质是两个点的中点为对称中心;如果是轴对称, 则互相对称的两点的中垂线就是对称轴。 轨迹就是满足一定条件的动点集合,因此函数思想自然蕴藏在解析几何中。最基本的变化 是因为点的变化运动,然后导致其它几何量的变化。通常解析几何问题中涉及取值范围,最大 最小值等都可以考虑函数思想。函数思想的三要素特别重要,先选择合适的自变量,然后将所 求用函数关系表示,同时考虑自变量的取值范围(即定义域) 。圆锥曲线性质中,范围常常就是 变量的取值范围,参数法中参数也常常就是自变量。 有时候对曲线的研究,对方程的研究可以参考函数的研究方法和结论进行。 分类讨论思想,首先是曲线的讨论,然后是方程的讨论,具体见前面曲线基本量的计算。 类比思想,主要是圆锥曲线作为一个整体,研究的方法,对象,结论等都有很多类似的地 方,需要在具体问题中举一反三。

未完待续


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