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2013届高三数学二轮复习课件 专题9 第3讲 分类讨论思想


? 能根据所给研究对象按某个标准分类来解 决不定问题,掌握常见的分类讨论的方法 与思想并应用.

? 分类讨论思想是历年高考的必考内容,它 不仅是高考的重点与热点,而且是高考的 难点.每年在中档题或高档题中甚至在低 档题中都设置分类讨论问题,通过分类讨 论考查推理的严谨性和分析问题解决问题 的能力. ? 2012年的高考中仍会继续考查,其重点为 含参数的函数性质问题,与等比数列的前 n项和有关的计算推证问题.直线与圆锥 曲线的位置关系问题.

? 1.分类讨论思想就是将一个复杂的数学 问题分解成若干个简单的基础性问题,通 过对基础性问题的解答,解决原问题的思 维策略.实质上,分类讨论是“化整为零, 各个击破,再积零为整”的数学策略,分 类讨论可以优化解题思路,降低问题难 度.分类的原则是:(1)分类的对象确定, 标准统一;(2)不重复,不遗漏;(3)分层 次,不越级讨论.

? 回顾总结中学数学教材中分类讨论的知识 点,大致有:绝对值概念的定义;根式的 性质;一元二次方程根的判别式与根的情 况;二次函数二次项系数的正负与抛物线 的开口方向;反比例函数y=k/x(x≠0)的反 比例系数k,正比例函数y=kx的比例系数 k,一次函数y=kx+b的斜率k与图象位置 及函数单调性的关系;幂函数y=xa的幂指 数a的正、负与定义域、单调性、奇偶性 的关系;指数函数y=ax及其反函数y= logax中底数a>1及a<1对函数单调性的影 响;等比数列前n项和公式中q=1或q≠1的

? 复数概念的分类;复数概念的分类;不等 式性质中两边同乘(除)以正数或负数时对 不等号方向的影响;排列组合中的分类计 数原理;圆锥曲线中离心率e的取值与椭 圆、抛物线、双曲线的对应关系;直线与 圆锥曲线位置关系的讨论;运用点斜式、 斜截式直线方程时斜率k是否存在;曲线 系方程中的参数与曲线类型;角终边所在 的象限与三角函数的符号等.

? 2.分类讨论包含下列几类: ? (1)涉及的数学概念是分类定义的; ? (2)由数学公式或数学法则的限制条件等运 算的需要引发的; ? (3)数学问题中参数的不同取值会导致不同 结果的; ? (4)涉及的几何图形的形状、位置的变化而 引起的.

? [例1] 已知函数f(x)=log(m+2)[mx2+(m+ 2)x+m+2]存在最小值,试求实数m的取 值范围. ? [分析] 由于函数f(x)是由函数y=log(m+ g(x)和函数g(x)=mx2+(m+2)x+m+2 2) 复合而成的,所以应对底数m+2的取值 以及g(x)的最值情况分别进行讨论.

[解析]

(1)当 m+2>1 即 m>-1 时,

函数 y=log(m+2)x 是增函数,因此要使函数 f(x)有最 小值, ?m+2>1 ? 需满足?m>0 ?Δ=?m+2?2-4m?m+2?<0 ? ?m>-1 ? ?m>0 解得? ? 2 ?m>3或m<-2 ? 2 ,即 m>3;



(2)当 0<m+2<1 即-2<m<-1 时, 函数 y=log(m+2)x 是减函数,因此要使函数 f(x)有最 小值, ?0<m+2<1 ? 需满足?m<0 ?Δ=?m+2?2-4m?m+2?>0 ?

?-2<m<-1 ? ?m<0 解得? 2 ? ?-2<m<3 ? 即-2<m<-1.



综上,要使函数 f(x)有最小值,实数 m 的取值范 围是 2 -2<m<-1 或 m>3.

[评析]

这道题是由对数函数的概念和二次函数的

最值引发的分类讨论,我们称为概念分类型,由概念引 发的分类还有很多,如绝对值:|a|的定义分 a>0、a=0、 a<0 三种情况;直线的斜率:倾斜角 θ≠90° ,斜率 k 存 在,倾斜角 θ=90° ,斜率 k 不存在;对数、指数函数:y =logax 与 y=ax 可分为 a>1、0<a<1 两种类型;直线的截 x y 距式: 直线过原点时为 y=kx, 不过原点时为 + =1 等. a b

? (2011·安徽合肥质检)已知直角坐标平面 上点Q(2,0)和圆C:x2+y2=1.动点M到圆 C的切线长与|MQ|的比等于常数λ,求动点 M的轨迹方程,并说明它表示什么曲线?

? [解析] 如图,设MN切圆 C于N, ? 则动点M满足集合P= {M||MN|=λ|MQ|,λ>0}, ? ∵ON⊥MN,|ON|=1, ? ∴|MN|2=|MO|2-|ON|2= |MO|2-1, ? 设动点M的坐标为(x,y),

x2+y2-1=λ ?x-2?2+y2, 整理得: 2-1)(x2+y2)-4λ2x+(4λ2+1)=0, (λ 经检验, 坐标适合这个方程的点都属于集合 P,故上述方程是所求 的方程, 5 (1)当 λ=1 时,方程化为 x= , 4 5 ∴动点 M 的轨迹是垂直于 x 轴且与 x 轴交于点( , 4 0)的直线.

(2)当 λ≠1 时,方程变为
2 2λ2 2 2 1+3λ (x- 2 ) +y = 2 2, λ -1 ?λ -1?

1+3λ2 2λ2 ∴动点 M 的轨迹是以点( 2 , 0)为圆心, 2 为 λ -1 |λ -1| 半径的圆.

[例 2]

x2 y2 若双曲线 - =1 的一条渐近线与直 2m m-4

线 2x - 2 y - 3 = 0 垂直 , 则 双 曲 线 的离 心率 等 于 ________.
[分析] 由渐近线的斜率可以求出离心率的大小, 但 必须对双曲线的焦点所在的坐标轴进行讨论.

[答案]
[解析]

6 2或 3
因为方程表示双曲线,

所以 2m(m-4)>0,解得 m<0 或 m>4. 因为渐近线与直线 2x- 2y-3=0 垂直, 2 所以渐近线的斜率为- 2 . x2 y2 当 m>4 时,方程化为2m- =1, m-4

表示焦点在 x 轴上的双曲线,
2 2 b 2 c -a 1 2 3 6 所以a= 2 , a2 =2,e =2,解得 e= 2 ;

y2 x2 当 m<0 时,方程化为 - =1, 4-m -2m 表示焦点在 y 轴上的双曲线, c2-a2 a 2 b 所以b= 2 ,即a= 2, a2 =2,e2=3, 解得 e= 3.

[评析]

c 本题的分类讨论是由于对 a 的运

算需要引起的,对双曲线焦点所在的轴进行分 b 类,从而得到a的不同值,然后求出 e 的大小.
分类讨论的许多问题都是由运算的需要引发的, 如 二次不等式运算中对两根大小的讨论;求函数单调性 时,对导数正负的讨论;有关去绝对值或根号问题中等 价变形引发的讨论等.

? 已知过点M(-3,-3)的直线l被圆x2+y2+ 4y-21=0所截得的弦长为8,求直线l的方 程. ? [解析] 圆的方程可化为:x2+(y+2)2=25, ? (1)若直线l方程为x=-3,可求得弦长为8,

(2)若直线 l 的斜率存在时,设 l 的方程为 y+3=k(x+3),即 kx-y+3k-3=0, |3k-1| 圆心(0,-2)到圆心 l 的距离 d= 2 , k +1
由已知条件 d2=25-16=9, 即(3k-1)2=9(k2+1), 4 整理得 9k -6k+1=9k +9,解得 k=- . 3
2 2

因此所求直线的方程为 x+3=0 或 4x+3y+21=0.

? [例3] 已知m∈R,求函数f(x)=(4- 3m)x2-2x+m在区间[0,1]上的最大值. ? [分析] ①当4-3m=0时,按一次函数在 给定区间上的最值问题求解. ? ②当4-3m>0时,二次函数f(x)的图象开 口向上,只需讨论二次函数图象的对称轴 与区间中点的相对位置求最大值. ? ③当4-3m<0时,二次函数f(x)的图象开 口向下,需讨论二次函数图象的对称轴与

[解析]

4 (1)当 4-3m=0,即 m= 时, 3

4 函数 y=-2x+ , 3 4 它在[0,1]上是减函数.所以 ymax=f(0)=3.

4 (2)当 4-3m≠0,即 m≠3时,y 是二次函数. 4 ①若 4-3m>0,即 m<3时,二次函数 y 的图象开口向 1 上,对称轴 x= >0,它在[0,1]上的最大值只能在区 4-3m 间端点取得(由于此处不涉及最小值, 故不需讨论区间与对 称轴的关系). f(0)=m,f(1)=2-2m.

4 2 4 当 m≥2-2m,又 m<3,即3≤m<3时,ymax=m. 4 2 当 m<2-2m,又 m<3,即 m<3时,ymax=2(1-m). 4 ②若 4-3m<0,即 m>3时,二次函数 y 的图象开口 1 向下, 又它的对称轴方程 x= <0, 所以函数 y 在[0,1] 4-3m 上是减函数,于是 ymax=f(0)=m.

由(1)、(2)可知,这个函数的最大值为 2 ? ?2-2m,m<3, ymax=? ?m,m≥2. 3 ?

? (2011·临沂模拟)在△ABC中,设=(2,3), [解析] 因为△ABC 是直角三角形, 所以当∠A=90° , =(1,k),若△ABC是直角三角形,求k的 → → 则AB⊥AC, 值.
2 于是 2×1+3×k=0,得 k=- . 3 → → 当∠B=90° ,则AB⊥BC, → → → 又BC=AC-AB=(-1,k-3),

11 故 2×(-1)+3(k-3)=0 得 k= 3 . → → 当∠C=90° 时,则AC⊥BC. 3± 13 故 1×(-1)+k(k-3)=0 得 k= 2 . 2 11 3± 13 综上所求 k 的值为- 或 或 . 3 3 2

[例 4]

x (2011· 珠海模拟)已知 f(x)= ,数列{an} 3x+1

1 满足 a1=3,an+1=f(an)(n∈N*),
?1? ? ? (1)求证:数列?a ?是等差数列; ? ? ? n?

x x2 xn (2)记 Sn(x)= + +?+ (x>0),求 Sn(x). a1 a2 an

? [分析] (1)找出an与an+1关系; ? (2)用错位相减法求和.
[解析] 1 an (1)由已知得 an+1= , 3an+1

3an+1 1 1 1 ∴ = a =3+a .∴ - =3. a n +1 an+1 an n n
?1? ? ? ∴?a ?是首项为 ? ? ? n?

3,公差为 3 的等差数列.

1 (2)由(1)得 =3+3(n-1)=3n, an ∴Sn(x)=3x+6x2+9x3+?+3nxn. 3?n+1?n x=1 时,Sn(1)=3+6+9+?+3n= ; 2 x≠1 时,Sn(x)=3x+6x2+9x3+?+3nxn, xSn(x)=3x2+6x3+?+3(n-1)xn+3nxn+1, (1-x)Sn(x)=3x+3x2+?+3xn-3nxn 1,


3x-3?n+1?xn 1+3nxn 2 Sn(x)= . ?1-x?2 3 综上,当 x=1 时,Sn(1)=2n(n+1), 3x-3?n+1?xn 1+3nxn 2 当 x≠1 时,Sn(x)= . 2 ?1-x?
+ +





? [评析] 一次函数、二次函数、指数函数、 对数函数的单调性,均值定理、等比数列 的求和公式等性质、定理与公式在不同的 条件下有不同的结论,或者在一定的限制 条件下才成立,这时要小心,应根据题目 条件确定是否进行分类讨论.

? 已知在等比数列{an}中,a1=1,Sn是其前 n项和,且ak+1,ak+3,ak+2(k∈N)成等差 数列. ? (1)求数列{an}的公比; ? (2)试判断Sk+1,Sk+3,Sk+2(k∈N)是否也 构成等差数列,并说明理由.

[解析]
+1

(1)设等比数列{an}的公比为 q(q≠0),则 ak

=qk,ak+3=qk+2,ak+2=qk+1, 依题意得 2qk 2=qk+qk 1, 由于 qk≠0,所以 2q2-q-1=0, 1 解得 q=1 或 q=- . 2
+ +

(2)当 q=1 时,Sk+1=(k+1)a1=k+1,Sk+
3=k+3,Sk+2=k+2,显然

Sk+1+Sk+2=k+1+

k+2=2k+3≠2Sk+3,故 Sk+1,Sk+3,Sk+2 不能 构成等差数列;
? 1? + 1-?-2?k 1 1 ? ? q=-2时,Sk+1= ? 1? 1-?-2? ? ?



? 1? + ? 2? =3?1-?-2?k 1?, ? ? ? ?

? 1? + ? 2? 同理可得 Sk+2=3?1-?-2?k 2?, ? ? ? ? ? 1? + ? 2? Sk+3=3?1-?-2?k 3?, ? ? ? ?

于是 Sk+1+Sk+2
? 1? + ? 2? ? 1? + ? 2? k 1 =3?1-?-2? ?+3?1-?-2?k 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1? + ? 1? + ? 2? k 1 =3?2-?-2? -?-2?k 2? ? ? ? ? ? ? ? 1? + ? 4? =3?1-?-2?k 3? ? ? ? ?

=2Sk+3, 所以 Sk+1,Sk+3,Sk+2 能构成等差数列. 综上所述:当 q=1 时,Sk+1,Sk+3,Sk+2 不能构成等 差数列; 1 当 q=- 时,Sk+1,Sk+3,Sk+2 能构成等差数列. 2


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