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15幂函数》课件2


幂 函 数

问题情境
问题1:如果张红购买了每千克1元的蔬菜x千克,那
么她需要付的钱数y(元)和购买的蔬菜量x y?x (千克)之间有何关系? 问题2:如果正方形的边长为x,那么正方形面积y=?

问题3:如果正方体的棱长为x,那么正方体体积y= ? 问题4:如果正方形场地的面积为x,那么正方形的边长
y= ?

y?x

2

y?x

3

y? x

问题5:如果某人x秒内骑车行进1千米,那么他骑车的 1 y? 平均速度y= ?(千米/秒) x

一、幂函数定义:

一般地,形如 y ? x (? ? R)的函数称为幂函数。 其中?为常数。
注意以下几点: (1)系数是1; (2)底是自变量;指数是常数. (3)幂函数与指数函数的区别与联系:

?

幂函数:底数是变量,指数是常数。 指数函数:指数是变量,底数是常数

例1 判断下列函数是否为幂函数?

y? (x+1)× (4)y ? x (1)
4

0


×

1 (2)y ? 2 x

5 √ ( )y ? x ? 1
2
3

(3)y ? ? x

× (6)y ? x ? 2 ×

注意: 一般一次函数,二次函数不是幂函数.

二、幂函数的图象:
判断下列函数的奇偶性,试作出它们 的图象 1

(1) y ? x , y ? x , y ? x
2 3

2

(2) y ? x , y ? x

?1

?2

思考并讨论
观察图象,说一说幂 函数有什么共同性质?

y

y=x3 y=x2
y=x

y?x
1

1 2

? ?0

O 1

x

(1)图象都过(0,0)点和 (1,1)点; (2)在第一象限内,函数值 随x 的增大而增大,即 在(0,+∞)上是增函 数.

y
思考并讨论 观察图象,说一说幂 函数有什么共同性质? 1

y=x-2

y=x-1
O1 (1)图象都过(1,1)点; (2)在第一象限内,函数值随 x 的增大而减小,即在 (0,+∞)上是减函数. (3)在第一象限,图象向上与 y 轴无限接近,向右与 x 轴无限接近.

? ?0

x

y

y=x3

y

y=x-1

y=x2 y=x1/2
1

y=x-2
1

y=x-1/2
1

0

? ?0

1

X

0

? ?0

X

相同点:在(0,+∞)都有定义,且图象都经过点(1,1) ,第 四象限都无图象. 不同点:⑴如果? >0,则图象经过原点,在 ? 0,+? ?

上是增函数; ⑵如果? <0时,在 ? 0,+? ? 上是减函数.
思考与讨论1: 课本109页
思考2:根据上述五个函数的图象,

你能归纳出幂函数 y ? xa在第一象限的图象特征吗?

思考与讨论1:课本109页
思考2:根据上述五个函数的图象, 你能归纳出幂函数 y ? xa在第一象限的图象特征吗? 幂函数y ? x? 在第一象限内,当? ? 0,0 ? ? ? 1, ? ? 1时的图像

在(, ?)上,? 越大图像越高 1?

应用 例1 比较下列两个代数式值得大小:
1.5 () (a+1) ,a1.5 1

(2) (2+a) , 2

-

2 3

?

2 3

分析:特点:都是幂的形式,指数不变,底数可变。

解:( )考察幂函数y ? x1.5, 1 在区间(0,+?)上是单调增函数. 因为 a +1>a
2 - 3 1.5 所以  (a+1) >a1.5

  (2) 考察幂函数y ? x , 在区间(0,+?)上是单调减函数. 因为 2+a2 ?2
2 3 ? 2 3

所以  (2+a)

?2

例2、 若 ( x ? 1) ? (3 ? 2 x) , 求x的范围.
解:考虑函数

?

1 5

?

1 5

y?x

?

1 5

在(-∞,0)和(0,+∞)上为单调减函数

∴由条件有 ? x ? 1 ? 0

? ? 3 ? 2x ? 0 或 ?x ? 1 ? 3 ? 2x ?

? x ?1 ? 0 ? ? 3 ? 2x ? 0 ?x ?1 ? 3 ? 2x ?

? x ?1? 0 ? 或 ? ?3 ? 2 x ? 0 ?

2 3 ? x ? 或x ? ?1 解得: 3 2

2 3 ? x的取值范围是{x | ? x ? 或 x ? ?1} 3 2

例4、讨论函数y=x 的定义域、奇偶性,作出它的图象, 并根据图像说明函数的增减性.
解:函数y ? x ? 3 x 2,定义域是实数集R 因为f (? x) ? (? x) ? ( x)
2 3 2 3 1 23 2 3 2 3

2 3

?x

所以函数y ? x 是偶函数. 因此函数的图像关于y轴对称.

作出函数的图像如下:
由图像可以看出,函数在区间(-?,0]上是减函数, 在区间[0, ?)上是增函数. ?

练习:A。2

应用举例:
例3.比较下列各组数的大小:
解后反思

(1)1.3

1 2

> (2)0.26 _____0.27
?1

____ .4 < 1

1 2

?1

(3)0.7 _____ 0.7 >
练习:B。 1

1 2

2

两个数比 较大小时 ,何时用 幂函数模 型,何时用 指数函数 模型?

课堂小结
? ? ? ? 1. 幂函数的定义 2. 幂函数图象与性质 3. 幂函数性质的应用 4.函数的思想和观察归纳的方法。

复习:
1.正分数指数幂,负分数指数幂是如何定义的? m m 你能发现这 ? 1 n m n n 几个函数解 a ? a a ? n m 析式有什么 a 共同点吗? 2.求下列函数的定义域:
(1)y = x2 (2)y = x-1 答案:(1) R R y = x3 y = x-2 y=x? y = x -1/2

[ 0,+∞)

(2)-∞,0)∪(0,+∞)、 (-∞,0)∪(0,+∞)、(0,+∞) (

共同特征:以幂的底数为自变量,指数为常数。 其一般形式如何?

y ? x (其中a是常数。 )
a


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