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1.9 三角函数的简单应用 课件1(北师大必修4)


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北师大版 ·必修4

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

第一章
三角函数

第一章
§9 三角函数的简单应用

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1

课前自主预习

3

易错疑难辨析

2

课堂典例讲练

4

课后强化作业

第一章

§9

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课前自主预习

第一章

§9

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南宋著名诗人王十朋在江心寺题了一副知名对联.上联 是:云朝朝朝朝朝朝朝朝散;下联是:潮长长长长长长长长 消. 在这里,诗人王十朋巧妙地运用叠字对联展现了瓯江潮水

涨落的壮观画面,当然他对瓯江潮水的描述是感性的,学习三
角函数的应用后,我们可以从数学的视角理性地研究有关瓯江 潮水涨落的一些实际问题.

第一章

§9

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三角函数 周期现象是自然界中最常见的现象之一,______________

是研究周期现象最重要的数学模型.
Asin(ωx+φ)+B 面对实际问题建立数学模型 y = __________________ 是一 项重要的基本技能.

第一章

§9

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π 1.简谐振动 y=2sin(2x+3)的相位是( A.2 C.3 π B.2 π D.2x+3

)

[答案] D

第一章

§9

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2.如图,单摆从某点开始来回摆动,离 开平衡位置 O 的距离 mcm 和时间 ts 的函数 π 关系式为 m=6sin(t+6), 那么单摆来回摆动 一次所需的时间为( A.2πs C.0.5s ) B.πs D.1s

[答案] A

2π 2π [解析] T= ω = 1 =2π.

第一章

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3.电流 I(A)随时间 t(s)变化的关系式是 1 则当 t=200时,电流 I 为( A.5 C.2 ) 5 B.2 D.-5

? π? I=5sin?100πt+3?, ? ?

[答案] B
1 π [解析] 将 t=200代入 I=5sin(100πt+3)得
?π π? π 5 I=5sin?2+3?=5cos3=2. ? ?
第一章 §9

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4.交流电的电压 E(单位:伏)与时间 t(单位:秒)的关系可 π 用 E=220 3sin(100πt+6)来表示,则在__________秒时电压第 一次获得最大值.

[答案]

1 300

π π 1 [解析] 当 100πt+6=2,即 t=300秒时,电压第一次获得 最大值 220 3伏.

第一章

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5 .下图是一弹簧振子做简谐振动的图像,横轴表示振动
时间,纵轴表示振子的位移,则这个振子振动的函数解析式为 __________.

5 π [答案] y=2sin(2πt+4)

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[解析] 易知在 y=Asin(ωt+φ)中, A=2, T=2×0.4=0.8, 2π 5π ∴ ω =0.8,∴ω= 2 . π 又点(0.1,2)在图像上,代入可得 φ=4. 5 π ∴解析式是 y=2sin(2πt+4).

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课堂典例讲练

第一章

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三角函数在日常生活中的应用
已知某海滨的海浪高度 y( 单位:米 ) 是时间 t(0≤t≤24,单位:时)的函数,记作 y=f(t).下表是某日各时 间段内的海浪高度的数据: t(时) y(米) Acosωt+B. 0 3 6 9 12 15 18 21 24

1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5

经过长期观测, y = f(x) 的曲线可近似地看成是函数 y =

第一章

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(1) 根据以上数据,求出函数 y = Acosωt + B 的最小正周期 T,振幅A及函数表达式; (2)根据规定,当海浪高度高于 1米时,海滨才对冲浪爱好 者开放,请依据 (1) 的结论,判断一天内从上午 8 : 00 至晚上

20:00之间,有多少时间可供冲浪爱好者进行运动?
[思路分析] 把实际问题与数学知识相结合,弄清条件和 结论,建立恰当的数学模型进行求解.

第一章

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[规范解答]

(1)由表中数据知最小正周期为 T=12,

2π 2π π 所以 ω= T =12=6, 将 t=0,y=1.5,代入 y=Acosωt+B,得 1.5=A+B,① 将 t=3,y=1.0,代入 y=Acosωt+B,得 B=1.0 由①②得 A=0.5,B=1.0, 1 所以振幅为 A=2. 1 π 所以函数表达式为 y=2cos6t+1. ②

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(2)由题意知当 y>1 时,海滨才可对冲浪爱好者开放, 1 π 所以2cos6t+1>1, π 所以 cos6t>0, π π π 所以 2kπ-2<6t<2kπ+2,k∈Z,

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即12k-3<t<12k+3,k∈Z 因为0≤t≤24,故可令③中k分别为0,1,2, 得0≤t<3或9<t<15或21<t≤24.



所以在规定时间从上午8?00至晚上20?00之间,有6个小

时的时间可供冲浪爱好者运动,即上午9?00至下午15?00.
[规律总结] 的. 用待定系数法求出解析式中的未知参数,从 而确定解析式.求时间段是通过建立不等式、解不等式来完成

第一章

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已知某地一天从 4 点到 16 点的温度变化曲线近似满足函数
?π 5π? y=10sin?8x- 4 ?+20,x∈[4,16]. ? ?

(1)求该地区这一段时间内温度的最大温差; (2)若有一种细菌在 15℃到 25℃之间可以生存,那么在这 段时间内,该细菌能生存多少时间?

第一章

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[解析] (1)由函数易知,当 x=14 时,函数取最大值即最 高温度为 30℃,当 x=6 时,函数取得最小值,即最低温度为 10℃,所以,最大温差为 30℃-10℃=20℃. π 5π π 5π 1 (2)令 10sin(8x- 4 )+20=15,可得 sin(8x- 4 )=-2,而 x 26 ∈[4,16],所以 x= 3 . 令
?π 5π? 10sin?8x- 4 ?+20=25,可得 ? ? ?π 5π? 1 sin?8x- 4 ?=2,而 ? ?

x∈

34 [4,16],所以 x= 3 . 34 26 8 故该细菌的存活时间为 3 - 3 =3(小时).
第一章 §9

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三角函数在物理中的应用

如图所示, 表示电流 I(单位: 安)与时间 t(单位: 秒)的关系式 I=Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0)在一个周期内的图像.

第一章

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(1)试根据图像写出 I=Asin(ωt+φ)的解析式; 1 (2)为了使 I=Asin(ωt+φ)中,t 在任意一段100秒的时间内 能同时取最大值 A 和最小值-A,那么正整数 ω 的最小值为多 少?
[思路分析] 这是一道给出图像来求解析式,进而研究在 某区间内能否有最值的问题.首先找振幅和周期,从而求出 A

和 ω ,再用一个特殊点的坐标 ( 注意“五点”的顺序 ) 代入或根
据平移情况求出φ.在大于或等于一个周期的区间内可同时有最 大值和最小值.
第一章 §9

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[规范解答]

1 1 1 (1)由图已知 A=300,T=60-(-300)=50,

2π 所以 ω= T =100π. 1 又因为(150,0)是“五点法”作图的第三个点, 1 所以150×100π+φ=π. π 所以 φ=3. π 所以 I=300sin(100πt+3).
第一章 §9

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1 2π 1 (2)依题意有 T≤100,即 ω ≤100. 所以 ω≥200π, 又因为 ω∈N+, 所以 ω 的最小正整数为 629.
[规律总结] 这类问题的特点是三角函数的解析式结构已 知,要求根据图像或性质首先求出待定的 A , ω , φ , b 的值, 然后再利用解析式解决有关问题,其中准确确定待定字母的值

是解题的关键.

第一章

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如图,弹簧挂着的小球作上、下振动,时间 t(s)与小球相 对于平衡位置(即静止时的位置)的高度 h(cm)之间的函数关系 式是
? π? h=2sin?t+4?,t∈[0,+∞),以 ? ?

t 为横坐标,h 为纵坐标,

画出这个函数在长度为 1 个周期的闭区间上的简图,并回答下 列问题:

第一章

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(1)小球开始振动(即t=0)时的位置在哪里?

(2)小球最高、最低点与平衡位置的距离分别是多少?
(3)经过多少时间小球往复振动一次(即周期是什么)? (4)小球每1s能往复振动多少次?

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[解析] 函数

? π? h=2sin?t+4?,t∈[0,+∞), ? ?

在长度为一个周期的闭区间上的简图为

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(1)当 t=0

? π? 时,h=2sin?0+4?= ? ?

2cm.

即小球开始振动时的位置在离平衡位置 2cm 处. (2)当 当
? π? sin?t+4?=1 ? ?

时,hmax=2, 时,hmin=-2,

? π? sin?t+4?=-1 ? ?

即小球最高点、最低点与平衡位置的距离都是 2cm. 2π (3)由 T= ω 得 T=2π,即经过 2πs,小球往复振动一次. 1 1 1 (4)f=T=2π,即小球每 1s 往复振动2π次.
第一章 §9

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利用三角函数求最值

如图所示,四边形 ABCD 是一块边长为 100m 的正方形地皮,其中 AST 是半径为 90m 的扇形小山,其余部分 都是平地.开发商想在平地上建一个矩形停车场,使矩形的一 个顶点 P 在 ST 上,相邻两边 CQ、CR 落在正方形的 BC、CD 上,求矩形停车场 PQCR 的面积的最大值和最小值.

第一章

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[思路分析]

以A为角的顶点,设出角来,将矩形的面积用

该角表示,从而利用三角函数求出停车场的最值.

第一章

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[规范解答]

设∠BAP=θ(0° ≤θ≤90° ),延长 RP 交 AB 于

M,则 AM=90cosθ,MP=90sinθ, ∴PQ=MB=100-90cosθ,PR=100-90sinθ. ∴S 矩形 PQCR=PQ· PR =(100-90cosθ)(100-90sinθ) =10000-9000(sinθ+cosθ)+8100sinθcosθ.

第一章

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t2-1 令 t=sinθ+cosθ,则 sinθcosθ= 2 , t2-1 ∴S=10000-9000t+8100× 2 8100 10 2 = 2 (t- 9 ) +950. 由于 t=sinθ+cosθ(0° ≤θ≤90° ), ∴有 1≤t≤ 2. 10 故当 t= 9 时,S 矩形取得最小值 950m2, 当 t= 2时,S 矩形取得最大值(14050-9000 2)m2.
第一章 §9

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[ 规律总结 ]

此题设变量是关键,若设 CR = x 为参数,很

难列出面积表达式,列出了也无法处理.考虑到矩形变化过程 中,AP始终等于90不变,于是我们引入θ,用90和θ表示题中边 长.另外,本题同时出现了 sinθ + cosθ 与 sinθ·cosθ,应迅速想

到令t=sinθ+cosθ换元.

第一章

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某体育馆用运动场的边角地建一个矩形的青少年游乐场,
如图,ABCD是边长为50m的正方形地皮,扇形CEF是运动场的 一部分,其半径为 40m ,矩形 AGHM 就是拟建的青少年游乐 场,其中G、M分别在AB与AD上,H在圆弧上.设矩形AGHM 的面积为 S ,∠ HCF =θ,试将 S 表示为 θ 的函数,并求当 θ 为多 少时,青少年游乐场的面积最大,最大面积是多少?

第一章

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[ 分析 ]

解题关键在于将矩形 AGHM 的两边 HM 、 HG 用参

数θ表示出来.

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[解析]

由 图 可 知 , HM = 50 - 40cosθ , HG = 50 -

π 40sinθ(0≤θ≤2), 则 S=(50-40sinθ)(50-40cosθ)=1600sinθcosθ-2000(sinθ π +cosθ)+2500(0≤θ≤2). 1 2 令 sinθ+cosθ=t(1≤t≤ 2),则 sinθcosθ=2(t -1),

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1 2 ∴ S = 1600× 2 (t - 1) - 2000t + 2500 = 800t2 - 2000t + 1700 52 =800(t-4) +450(1≤t≤ 2). π 当 t=1 时,即 θ=0 或 θ=2时,S 取最大值 500. π 答:当 t=1 时,即 θ=0 或 θ=2时,这个青少年游乐场的 面积最大,最大面积是 500m2.

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三角函数在测量方面的应用
如图,有一条河,河岸的一侧有一个很高的建 筑物 AB,一人位于河岸另一侧 P 处,手中有一个测角器(可以 测仰角)和一个可以测量长度的皮尺(测量长度不超过 5 m), 请 你设计一种测量方案(不允许过河),给出计算建筑物的高度 AB 及 P 点到 A 点的距离公式,希望在你的方案中被测量数据的个 数尽量少.

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[思路分析] 从实际问题中抽象出数学问题,并解决.

第一章

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规范解答]

P 位于开阔地域,则测量方案如下:在 PA 所

在水平直线上选取另一测量点 Q,被测量的数据为 PC 的长度 (测角器的高)、 PQ 的长度、 测角器在 P 点和 Q 点的仰角 α 和 β.(如 图所示). 设 AB=x,PA=y,则计算公式为: x-PC x-PC y =tanα,y+PQ=tanβ, PQtanαtanβ PQtanβ 解得 x=PC+ ,y= . tanα-tanβ tanα-tanβ

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[规律总结] 等概念.

本题主要考查三角函数知识在建筑学中的应

用.对于测量中的问题,要理解仰角、俯角、方位角、方向角

第一章

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如图所示,在山顶上有一个高为 h 的塔 BC ,从塔顶 B 测得
地面上一点A的俯角为α,从塔底C测得A点的俯角为β,求山高 H.

第一章

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[解析] 由题意得,在 Rt△ACD 中,AD=Hcotβ, 在 Rt△ABD 中,AD=(H+h)cotα, hcotα ∴Hcotβ=(H+h)cotα,解得 H= . cotβ-cotα hcotα 答:山高为 . cotβ-cotα

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易错疑难辨析

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2002 年在北京召开的国际数学家大会, 会标是 以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.弦图是由四个全 等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形 ABCD(如图 所示).如果大正方形的面积是 25,小正方形的面积是 1,若记 ∠FAB=θ,试求 sinθ+cosθ 的值.

第一章

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[错解 ]

由题可知, Rt △ ABF ≌ Rt △ BCG ≌ Rt △ CDH≌ Rt

△DAE,故 AF=BG=CH=DE.因为大正方形的面积与小正方 形的面积分别为 25 和 1,所以它们的边长分别为 5 和 1.即 AB =BC=CD=DA=5,EF=FG=GH=HE=1. BF x-1 设 AF=x, 则 BF=BG-GF=x-1, 于是得 sinθ=AB= 5 AF x ①,cosθ=AB=5②.在 Rt△ABF 中,AF2+BF2=AB2,即 x2+(x -1)2=25.解之得 x=4 或 x=-3.

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4 3 由①②知,当 x=4 时,cosθ=5,sinθ=5; 3 4 当 x=-3 时,cosθ=-5,sinθ=-5. 7 综上所述,sinθ+cosθ 的值为± 5.

[辨析]

由已知可知,∠FAB=θ为弦图中的Rt△ABF的一

个内角,应为锐角.而错解中, x =- 3 时, cosθ<0 , sinθ<0 , 显然此时θ 不为锐角,即 x =- 3 使实际问题没有意义,故应舍 去.
第一章 §9

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[正解] 由前面分析可知 x=4,可得求得 sinθ+cosθ 的值 7 为5.

[点评] 义.

利用三角函数解决实际时,要注意实际问题的意

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课后强化作业
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