当前位置:首页 >> 数学 >>

数列的通项公式与求和的常用方法


二轮复习 案例设计 数列的通项公式与求和的常用方法

高考要求 数列是函数概念的继续和延伸, 数列的通项公式及前 n 项和公式都可以看作项数 n 的函 数,是函数思想在数列中的应用 数列以通项为纲,数列的问题,最终归结为对数列通项 的研究, 而数列的前 n 项和 Sn 可视为数列{Sn}的通项 通项及求和是数列中最基本也是最重 要的问题之一, 与数列极限及数学

归纳法有着密切的联系, 是高考对数列问题考查中的热点, 本点的动态函数观点解决有关问题,为其提供行之有效的方法
新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

重难点归纳 1 数列中数的有序性是数列定义的灵魂,要注意辨析数列中的项与数集中元素的异同 因此在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性,又要注意数列方法的特殊性
新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

http://www.xjktyg.com/wxc/

2

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

数列{an}前 n 项和 Sn 与通项 an 的关系式

新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

?S1 , n ? 1 an= ? ?S n ? S n ?1 , n ? 2

3 求通项常用方法 ①作新数列法 作等差数列与等比数列 ②累差叠加法 最基本形式是 an=(an-an-1+(an-1+an-2)+?+(a2-a1)+a1 ③归纳、猜想法 4 数列前 n 项和常用求法 ①重要公式
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

1 n(n+1) 2 1 12+22+?+n2= n(n+1)(2n+1) 6 1 13+23+?+n3=(1+2+?+n)2= n2(n+1)2 4
1+2+?+n= ②等差数列中 Sm+n=Sm+Sn+mnd,等比数列中 Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn ③裂项求和 将数列的通项分成两个式子的代数和,即 an=f(n+1)-f(n),然后累加时抵 消 中 间 的 许 多 项 应 掌 握 以 下 常 见 的 裂 项
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

1 1 1 1 ? ? , n ? n ! ? (n ? 1)!? n !, ? ctgα ? ctg2α, n(n ? 1) n n ? 1 sin 2? Cn ?1 ? Cr ?1 ? Cr , n n n 1 1 1 ? ? 等 (n ? 1)! n ! (n ? 1)!
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

④错项相消法 ⑤并项求和法 《

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

1

数列通项与和的方法多种多样,要视具体情形选用合适方法
新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

典型题例示范讲解 例 1 已知数列{an}是公差为 d 的等差数列, 数列{bn}是公比为 q 的(q∈R 且 q≠1)的等比 2 数列,若函数 f(x)=(x-1) ,且 a1=f(d-1),a3=f(d+1),b1=f(q+1),b3=f(q-1), (1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

(2)设数列{cn}的前 n 项和为 Sn ,对一切 n∈N* ,都有

c c1 c1 ? ? ? ? n =an+1 成立,求 b1 b2 cn

n ??

lim

S 2 n ?1 S 2n

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

命题意图 本题主要考查等差、等比数列的通项公式及前 n 项和公式、数列的极限, 以及运算能力和综合分析问题的能力 知识依托 本题利用函数思想把题设条件转化为方程问题非常明显,而(2)中条件等式 的左边可视为某数列前 n 项和,实质上是该数列前 n 项和与数列{an}的关系,借助通项与前 n 项和的关系求解 cn 是该条件转化的突破口 错解分析 本题两问环环相扣,(1)问是基础,但解方程求基本量 a1、b1、d、q,计算 不准易出错;(2)问中对条件的正确认识和转化是关键 技巧与方法 本题(1)问运用函数思想转化为方程问题,思路较为自然,(2)问“借鸡生 蛋”构造新数列{dn}运用和与通项的关系求出 dn,丝丝入扣 解 (1)∵a1=f(d-1)=(d-2)2,a3=f(d+1)=d2, ∴a3-a1=d2-(d-2)2=2d, ∵d=2,∴an=a1+(n-1)d=2(n-1); 又 b1=f(q+1)=q2,b3=f(q-1)=(q-2)2,
新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com



b3 ( q ? 2) 2 ? b1 q2

=q2 , 由

q ∈ R , 且

q ≠ 1 , 得

q= - 2 ,

?b ? b 2 ? 4ac n! lim 342 ? b 2 b 2 ? 4ac b 2 ? 4ac lim x ?? 2a r !? n ? r ? ! x ??
∴bn=b·qn 1=4·(-2)n (2)令
- -1

cn =dn,则 d1+d2+?+dn=an+1,(n∈N*), bn

∴dn=an+1-an=2, ∴

cn 8 - =2,即 cn=2·bn=8·(-2)n 1;∴Sn= [1-(-2)n] bn 3

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

1 (? ) 2n ? 2 S 2 n ?1 1 ? ( ?2) 2 n ?1 S ? ? 2 , lim 2 n ?1 ? ?2 ∴ 2n 1 n ?? S 2 n S 2n 1 ? ( ?2 ) (? ) 2n ? 1 2
例 2 设 An 为数列{an}的前 n 项和,An=

3 (an-1),数列{bn}的通项公式为 bn=4n+3; 2
2



(1)求数列{an}的通项公式; (2)把数列{an}与{bn}的公共项按从小到大的顺序排成一个新的数列,证明 数列{dn}的 通项公式为 dn=32n+1; (3)设数列{dn}的第 n 项是数列{bn}中的第 r 项,Br 为数列{bn}的前 r 项的和;Dn 为数列
新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

{dn}的前 n 项和,Tn=Br-Dn,求 lim
新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

n ??

Tn (an ) 4

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

命题意图 本题考查数列的通项公式及前 n 项和公式及其相互关系;集合的相关概念, 数列极限,以及逻辑推理能力 知识依托 利用项与和的关系求 an 是本题的先决;(2)问中探寻{an}与{bn}的相通之处, 须借助于二项式定理;而(3)问中利用求和公式求和则是最基本的知识点 错解分析 待证通项 dn=32n+1 与 an 的共同点易被忽视而寸步难行; 注意不到 r 与 n 的关 系,使 Tn 中既含有 n,又含有 r,会使所求的极限模糊不清 技巧与方法 (1)问中项与和的关系为常规方法,(2)问中把 3 拆解为 4-1,再利用二项 式定理,寻找数列通项在形式上相通之处堪称妙笔;(3)问中挖掘出 n 与 r 的关系,正确表 示 Br,问题便可迎刃而解
特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/



新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

(1)由 An=

3 3 (an-1),可知 An+1= (an+1-1), 2 2

∴an+1-an=

a 3 3 (an+1-an),即 n ?1 =3,而 a1=A1= (a1-1),得 a1=3,所以数列是以 3 an 2 2
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

为首项,公比为 3 的等比数列,数列{an}的通项公式 an=3n (2)∵32n+1=3·32n=3·(4-1)2n


特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

=3· 2n+C 1 n ·42n 1(-1)+?+C 2 n ?1 ·4·(-1)+(-1)2n]=4n+3, [4 2n 2 ∴32n+1∈{bn} 而数 32n=(4-1)2n
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

=42n+C 1 n ·42n 1·(-1)+?+C 2 n ?1 ·4·(-1)+(-1)2n=(4k+1), 2n 2


∴32n ?{bn},而数列{an}={a2n+1}∪{a2n},∴dn=32n+1 (3)由 32n+1=4·r+3,可知 r=

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

32 n ?1 ? 3 , 4 r (7 ? 4r ? 3) 32 n ?1 ? 3 32 n ?1 ? 7 27 27 ? r(2r ? 5) ? ? , Dn ? ? (1 ? 9 n ) ? (9 n ? 1) , ∴Br= 2 4 2 1? 9 8 2 n ?1 2 n ?1 9 ? 4?3 ? 21 27 n ?Tn ? Br ? Dn ? ? (9 ? 1) 8 8 9 11 3 ? ? 34 n ? ? 32 n ? , ( a n ) 4 ? 3 4 n , 8 8 4 Tn 9 ? lim ? 4 n ?? ( a n ) 8
例 3 设{an}是正数组成的数列,其前 n 项和为 Sn,并且对于所有的自然数 n,an 与 2 的等差中项等于 Sn 与 2 的等比中项 (1)写出数列{an}的前 3 项 (2)求数列{an}的通项公式(写出推证过程)
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/



3

a 1 a (3)令 bn= ( n ?1 ? n ) (n∈N*),求 lim (b1+b2+b3+?+bn-n) 2 an a n ?1 n ??
解析 ∴
新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

(1)由题意,当 n=1 时,有
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

a1 ? 2 ? 2 a1 ,解得 a1=2 2

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

a1 ? 2 ? 2 S1 ,S1=a1, 2 a ?2 当 n=2 时,有 2 ? 2 S 2 ,S2=a1+a2,将 a1=2 代入, 2
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

整理得(a2-2)2=16,由 a2>0,解得 a2=6 当 n=3 时,有

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

a3 ? 2 ? 2S3 ,S3=a1+a2+a3, 2
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

将 a1=2,a2=6 代入,整理得(a3-2)2=64,由 a3>0,解得 a3=10 故该数列的前 3 项为 2,6,10 (2)解法一 由(1)猜想数列{an} 有通项公式 an=4n-2 下面用数学归纳法证明{an}的通项公式是 an=4n-2,(n∈N*) ①当 n=1 时,因为 4×1-2=2, ,又在(1)中已求出 a1=2,所以上述结论成立
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

②假设当 n=k 时,结论成立,即有 ak=4k-2,由题意,有 2
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

ak ? 2 ? 2S k ,将 ak=4k- 2

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

代入上式,解得 2k= 2S k ,得 Sk=2k2,

ak ?1 ? 2 ? 2Sk ?1 ,Sk+1=Sk+ak+1, 2 a ?2 2 将 Sk=2k2 代入得( k ?1 ) =2(ak+1+2k2), 2
由题意,有 整理得 ak+12-4ak+1+4-16k2=0,由 ak+1>0,解得 ak+1=2+4k, 所以 ak+1=2+4k=4(k+1)-2, 即当 n=k+1 时,上述结论成立 根据①②,上述结论对所有的自然数 n∈N*成立
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

an ? 2 1 ? 2S n ,(n∈N*) 整理得,Sn= (an+2)2, 2 8 1 1 由此得 Sn+1= (an+1+2)2,∴an+1=Sn+1-Sn= [(an+1+2)2-(an+2)2] 8 8
解法二
新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

由题意知

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

整理得(an+1+an)(an+1-an-4)=0, 由题意知 an+1+an≠0,∴an+1-an=4, 即数列{an}为等差数列,其中 a1=2,公差 d=4 ∴an=a1+(n-1)d=2+4(n-1),即通项公式为 an=4n-2
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

解法三 所以有

新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

由已知得

an ? 2 ? 2S n ,(n∈N*) 2

①, ②,

an?1 ? 2 ? 2Sn?1 2 S ? Sn ? 2 由②式得 n?1 ? 2S n?1 , 2
整理得 Sn+1-2 2 · Sn?1 +2-Sn=0, 解得 Sn?1 ? 2 ? Sn , 《
4

由于数列{an}为正项数列,而 S1 ? 2 ,? Sn?1 ? Sn ? 2 , 因而 Sn?1 ? 2 ? Sn , 即{Sn}是以 S1 ? 2 为首项,以 2 为公差的等差数列 所以 S n =
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

2 +(n-1)

2 = 2 n,Sn=2n2,

?2, (n ? 1) 故 an= ? 即 an=4n-2(n∈N*) S n ? S n?1 ? 4n ? 2, (n ? 2) ?
a 1 a (3)令 cn=bn-1,则 cn= ( n?1 ? n ? 2) 2 an an?1

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

1 2n ? 1 2n ? 1 1 1 ? [( ? 1) ? ( ? 1)] ? ? , 2 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1

b1 ? b2 ? ? ? bn ? n ? c1 ? c2 ? ? ? cn
1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? 1? , 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 1 ? lim (b1 ? b2 ? ? ? bn ? n) ? lim (1 ? ) ? 1. n ?? n ?? 2n ? 1
学生巩固练习 1
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

设 zn=(

1? i n ) ,(n∈N*), 记 Sn=|z2 -z1 |+|z3 -z2 |+?+|zn+1 -zn |,则 2
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

n ??

lim Sn=_________
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

2 作边长为 a 的正三角形的内切圆,在这个圆内作新的内接正三角形,在新的正三角 形内再作内切圆,如此继续下去,所有这些圆的周长之和及面积之和分别为_________ 3 数列{an}满足 a1=2,对于任意的 n∈N*都有 an>0,且(n+1)an2+an·an+1-nan+12=0,又 - 知数列{bn}的通项为 bn=2n 1+1 (1)求数列{an}的通项 an 及它的前 n 项和 Sn; (2)求数列{bn}的前 n 项和 Tn; (3)猜想 Sn 与 Tn 的大小关系,并说明理由 4 数列{an}中,a1=8,a4=2 且满足 an+2=2an+1-an,(n∈N*) (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 Sn=|a1|+|a2|+?+|an|,求 Sn;
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

http://www.xjktyg.com/wxc/

(3)设 bn=

1 (n∈N*),Tn=b1+b2+??+bn(n∈N*),是否存在最大的整数 m,使得对 n (12 ? a n )

任意 n∈N*均有 Tn>

m 成立?若存在,求出 m 的值;若不存在,说明理由 32

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com



5


相关文章:
数列求和的常用方法
数列求和的常用方法_数学_高中教育_教育专区。方法与思路 数列求和的常用方法数列...分析: 此数列也既不是等差数列也不是等比数列启发学生先归纳出通项公式 an ?...
数列求和及数列通项公式的基本方法和技巧
数列求和数列通项公式的基本方法和技巧_数学_高中教育_教育专区。数列求和的基本方法和技巧关键词:数列求和 通项分式法 错位相减法 反序相加法 分组法 分组法 ...
数列通项公式的求法及求和方法
数列通项公式的求法及求和方法_数学_高中教育_教育专区。数列通项公式的求法及...它往往是数列知识的综合体现,求和题在试题中更为常见,它常用来 考查分析问题和...
数列通项公式求和的常用方法
3 n ?1 . 数列求和的常用方法一、直接(或转化)由等差、等比数列的求和公式求和例 1.设 {an } 是公比大于 1 的等比数列, Sn 为数列 {an } 的前 n 项...
数列求和的基本方法归纳
利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和数列求和的基本最重要的方法....2 2 2 2 2 2n 1 解:由题可知,{ n }的通项是等差数列{2n}的通项与...
答案 数列通项公式和求和的基本方法与技巧
答案 数列通项公式和求和的基本方法与技巧_高一数学_数学_高中教育_教育专区。数列通项公式的求法一 求数列通项公式 an 常用方法 数列满足的递推公式 由 S n ...
求通项公式和数列求和的常用方法
通项公式和数列求和的常用方法_数学_自然科学_专业资料。求递推数列通项公式的常用方法一 公式法:利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法,常用的公式有 ...
数列求和常见的7种方法
专题--数列求和的基本方法... 7页 免费 GCT考试技巧有哪些 15页 免费 GCT考试技巧 5页 1财富值 数列通项公式的十种求法 12页 免费如要投诉违规内容,请到百度...
数列的通项公式与求和的常用方法
二轮复习 案例设计 数列的通项公式与求和的常用方法 高考要求 数列是函数概念的继续和延伸, 数列的通项公式及前 n 项和公式都可以看作项数 n 的函 数,是函数...
更多相关标签:
常用数列求和公式 | 数列求和常用公式证明 | 等比数列求和公式 | 等差数列求和公式 | 等差等比数列求和公式 | 等差数列求和公式推导 | 数列求和公式 | 无穷等比数列求和公式 |