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高一数学下册期末考试试题3


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高一数学下册期末考试试题

高一级数学科试卷
考试时间:120 分钟 满分:150 分 命题教师:hhm
) 一.选择题: (每小题 5 分,共 50 分,每题只有一个选项正确) 1. 首项为 a 的数列 {an } 既是等差数列,又是等比数列,则这个数列前 n 项和为( A. a
n ?1

B. na
2

C. a

n

D. ( n ? 1) a )

2. 二次不等式 ax + bx + c < 0 解集是全体实数的条件是( A. ?

?a > 0 ?? > 0

B. ?

?a > 0 ?? < 0

C. ?

?a < 0 ?? > 0

D. ?

?a < 0 ?? < 0


o 3. 在 ?ABC 中, ∠B = 30 , AB = 2 3, AC = 2 ,则 ?ABC 的面积为(

A. 2 3

B. 3

C. 2 3或 3

D. 2 3或4 3

4. 已知数列 1,a1 , a2 , 4 成等差数列, 1, b1 , b2 , b3 , 4 成等比数列,则

a2 ? a1 的值是( b2



A.

1 2

B. ?

1 2

C.

1 1 或? 2 2

D.

1 4


5.已知 a, b 为非零实数,且 a < b ,则下列命题成立的是( A. a < b
2 2

B. ab < a b
2 2

C.

1 1 < 2 2 ab ab

D.

b a < a b


6. 在 ?ABC 中 sin A = A. (

3 , a = 10 ,则边长 c 的取值范围是( 4
B. (10, +∞ ) C. (0,10) )
o

15 , +∞) 2

D. (0,

40 ] 3

7. 在 ?ABC 中, a : b : c = A. 30
o

3 :1: 2 ,则 ∠B 为(
C. 90
o

B. 60

o

D. 120

8.数列 {an },{bn } 满足 an bn = 1, an = ( n + 1)( n + 2) ,则 {bn } 的前 10 项之和为( A.



1 4

B.

5 12

C.

3 4

D.

7 12

9. 已知数列 {an } 是正项递增等比数列, Tn 表示前 n 项的积,且 T8 = T4 ,则当 Tn 取最小值 时, n 的值等于( )
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A.5

B.6

C.7

D.8

10.给定 an = log n +1 (n + 2)

? (n ∈ N ? ) , 定义使乘积 a1 a2 L ak 为整数的 k ( k ∈ N ) 叫做希

望数,则区间 [1, 2009] 内的所有希望数的和为( A.2005 B.2026 C.2016

) D.2006

二.填空题(每小题 5 分,共 20 分) 11. 已知某个数列的前 4 项分别为 1, ?

1 1 1 , , ? ,写出该数列的一个通项公式为___。 2 3 4

12. 等比数列中, a2 = 9, a5 = 243 ,则 {an } 的前 4 项和为___ 13. ∠A为 ABC 的内角,则 sin A + cos A 的取值范围是___。 14.已知集合 A = {x

1 1 ≤ x ≤ 2}, f ( x) = x 2 + px + q, g ( x) = x + 是定义在 A 上的函数, 2 x

恒有 f ( x ) ≥ f ( x0 ), g ( x ) ≥ g ( x0 ) , f ( x0 ) = g ( x0 ) 则 f ( x ) 在 A 上的最大 且 当 x, x0 ∈ A 时, 值是___ 三,解答题 15.(本题满分 12 分)已知等差数列 {an } 中, d =

1 3 15 , ak = , S k = ? ,求 a1 和 k 2 2 2

16 .( 本 题 满 分 12 分 ) 在

ABC 中 , a, b, c 分 别 是 ∠A, ∠B, ∠C 的 对 边 ,

r r r r m = (2a + c, b), n = (cos B, cos C ), 且 m n = 0 。求 ∠B 的大小。

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17. (本题满分 14 分)已知函数 y = x + px + q ,当 y < 0 时,有 ?
2

1 1 < x < ,解关于 x 2 3

的不等式 qx 2 + px + 1 > 0

18. (本题满分 14 分)制订投资计划时,不仅要考虑可能要获得的盈利,而且要考虑可能 出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目,根据预测,甲、乙项目可能的最大盈利分 别为 100%和 50%, 可能的最大亏损率分别为 30%和 10%, 投资人计划投资金额不超过 10 万元, 要求确保可能的资金亏损不超过 1.8 万元,问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元,才 能使可能的盈利最大?

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19. ( 本 题 满 分 14 分 ) 已 知 a 、 b 、 c 是 ?ABC 三 边 长 , 关 于 x 的 方 程

ax 2 ? 2 c 2 ? b 2 x ? b = 0(a > c > b) 的 两 根 之 差 的 平 方 等 于 4 , ?ABC 的 面 积
S = 10 3, c = 7 .
(1)求 ∠C ; (2)求 a 、 b 的值.

20. ( 本 题 满 分 14 分 ) 设 数 列 {an } 的 各 项 都 是 正 数 , 且 对 任 意 n ∈ N , 都 有
3 3 3 2 a13 + a2 + a3 + L + an = S n ,记 Sn 为数列 {an } 的前 n 项和.

?

(1)求证 an = 2 S n ? an ;
2

(2)求数列 {an } 的通项公式; (3)若 bn = 3 + ( ?1)
n n ?1

λ ? 2a (λ 为非零常数, n ∈ N ? ) ,问是否存在整数 λ ,使得对任意
n

n ∈ N ? ,都有 bn +1 > bn .

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学年度第二学期期末考试 湛江一中 2008—2009 学年度第二学期期末考试 —

高一级数学试 高一级数学试题参考答案
一.选择题(每小题 5 分,共 50 分) 题 1 2 3 4 号 答 B D C A 案 二.填空题(每小题 5 分,共 20 分) 11. an = 5 C 6 D 7 A 8 B 9 B 10 B

(?1) n +1 n

12. 120;

13. ( ?1, 2]

14. 3

三,解答题 15.解:由 d =

1 3 15 , ak = , S k = ? 得 2 2 2

1 3 ? ?a1 + 2 (k ? 1) = 2 ? , ? 1 15 ?ka + k (k ? 1) = ? ? 1 4 ? 2
解得 ?

………………6 分

?a1 = ?3 ?k = 10
r r

………………12 分

16. 解:由 m n = 0 得 (2a + c ) cos B + b cos C = 0

………………3 分

∴ 2a cos B + c cos B + b cos C = 0 由正弦定理,得 2 sin A cos B + sin C cos B + sin B cos C = 0
即 2sin A cos B + sin(C + B ) = 0 ………………6 分

∴ sin A(2 cos B + 1) = 0 Q sin A ≠ 0,∴ 2 cos B + 1 = 0, ∴ cos B = ? Q0 < B < π 2π ∴B = 3
17. 解:

1 2

………………9 分

………………12 分

Q当y < 0时, 有 ?

1 1 <x< , 2 3 ………………3 分 1 1 2 ∴ x1 = ? 与x2 = 是方程x + px + q = 0的两个实数根 2 3
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1 ? ? 1 1 ? ? ? 2 + 3 = ? p, ? p = 6 , ? ∴? ∴? ? ? 1 × 1 = q, ?q = ? 1 ? 2 3 ? 6, ? ?

………………7 分

所以不等式qx 2 + px + 1 > 0可变为 1 1 ? x2 + x + 1 > 0 6 6 2 即x ? x ? 6 < 0,
∴?2 < x < 3
………………10 分

所以,不等式qx 2 + px + q > 0的解集为{x ? 2 < x < 3} ………………14 分
18. 解:设投资人分别用 x 万元, y 万元投资

? x + y ≤ 10 ?0.3 x + 0.1 y ≤ 1.8 ? , 甲、乙两个项目,由题意知 ? ?x ≥ 0 ?y ≥ 0 ?

………………5 分

目标函数 Z = x + 0.5 y ,上述不等式组表示的平面区域如图所示,阴影部分(含边界)即可

18

10

M (4, 6)

l0
10

0 行域.

6

x

作直线 l0:x + 0.5 y = 0 ,并作出平行于直线 l0 的一组直线 x + 0.5 y = z ( x ∈ R) 与可行域相 交,其中有一条直线经过可行域上的 M 点,且与直线 x + 0.5 y = 0 的距离最大,这里 M 点 是直线 x + y = 10 和 0.3 x + 0.1 y = 1.8 的交点.
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………………10 分

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? x + y = 10 得x = 4, y = 6.此时z = 1× 4 + 0.5 × 6 = (万元) 7 ? 解方程组 ?0.3 x + 0.1 y = 1.8 Q 7 > 0,∴当x = 4, y = 6时, z取得最大值
答:投资人用 4 万元投资甲项目,6 万元投资乙项目,才能确保亏损不超过 1.8 万元的前提 下,使可能的盈利最大. ………………14 分

19. 解: (1)设 x1 , x2 为方程 ax ? 2 c ? b x ? b = 0 的两根,则
2 2 2

x1 + x2 =

2 c 2 ? b2 , a

x1 ? x2 =

?b a

………………3 分

∴ ( x1 ? x2 )2 = ( x1 + x2 )2 ? 4 x1 x2 = ∴ a 2 + b 2 ? c 2 = ab a 2 + b2 ? c 2 2ab 1 ∴ cosC = 2 ∴∠C = 60o 1 (2)Q S = ab sin C = 10 3 2 ∴ ab = 40 ① 又cosC =
由余弦定理:

4(c 2 ? b 2 ) 4b + =4 a2 a

……… ………7 分

………………9 分

c 2 = a 2 + b 2 ? 2ab cos C 即 : c 2 = (a + b) 2 ? 2ab(1 + cos 60o ) 1 ∴ 7 2 = (a + b) 2 ? 2 × 40 × (1 + ) 2 ∴ a + b = 13 ②
由○○得: a = 8, b = 5 1 2 20.解: (1)因为 a1 + a2 + a3 + L + an = S n , n ∈ N
3 3 3 3 2
?

………………12 分 ………………14 分

所以 a1 + a2 + a3 + L + an ?1 = S n ?1
3 3 3 3 2

(n ≥ 2)

两式相减得, an = S n ? S n ?1
3 2 2

即 an = S n ? S n ?1 = S n ? ( S n ? an ) = (2 S n ? an ) an
3 2 2 2 2 2 ∴ an = 2 S n ? an ,

当 n = 1 时, a1 = 1 也满足上式。
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………………5 分

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(2)Q an = 2 S n ? an
2

(n ∈ N ?)

2 ∴ an ?1 = 2 S n ?1 ? an ?1 (n ≥ 2)

两式相减得, 相减得: an ? an ?1 = 2an ? an + an ?1
2 2

(n ≥ 2)

化简得 an ? an ?1 = 1 故数列 {an } 是公差和首项均为 1 的等差数列。

∴ an = n
(3)由(2)知 bn = 3 + ( ?1)
n n ?1

………………9 分

λ ? 2n

要使 bn +1 > bn 即 3n +1 + ( ?1) n ? λ ? 2 n +1 > 3n + ( ?1) n ?1 ? λ ? 2n 即 2 ? 3n > ( ?1) n ?1 ? 3λ ? 2 n

3 ∴ (?1) n ?1 ? λ < ( ) n ?1 对任意 n ∈ N ? 都成立。 2 3 当n为奇数时,λ < ( ) n ?1 , 故λ < 1; 2 3 3 当n为偶数时,λ > ?( )n ?1 , 故λ > ? . 2 2
又 Q λ ∈ Z ,且 λ 为非零常数,故 λ = ?1 。
故存在整数 λ =-1,使得对任意 n ∈ N ,都有 bn +1 > bn .
?

………………14 分

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