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【2013青岛二模】山东省青岛市2013届高三第二次模拟考试 理科数学


高三自评试题

数学(理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用 2B 铅笔和 0.5 毫米黑色签字笔(中性笔)将姓名、准考证号、 考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上. 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑;如需改动

, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.答案不能答在试题卷上. 3.第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔(中性笔)作答,答案必须写在答题卡各题目指定 区域内相应的位置,不能写在试题卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答 案;不准使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题.每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知全集 U ? {x | x ? 0} , M ? {x | x ? 2 x} ,则?U M ?
2

A. {x | x ? 2}

B. {x | x ? 2}

C. {x | x ? 0 或 x ? 2}

D. {x | 0 ? x ? 2}
开始

2.复数 z 满足 z (1 ? i) ? 2i ,则复数 z 的实部与虚部之和为 A. ?2 B. 2 C. 1
2

D. 0

3. a ? 3 ”是“ ?x ?[1, 2], x ? a ? 0 ”为真命题的 “ A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件


S ? 0, n ? 1

S ? S ?n

n ? 2n

4.执行如图所示的程序框图.若输出 S ? 31 , 则框图中①处可以 填入 A. n ? 8 B. n ? 16 C. n ? 32 D. n ? 64


是 输出 S 结束

5.下列函数中,与函数 y ? A. y ?

1 定义域相同的函数为 3 x
C. y ?

1 sin x

B. y ?

ln x x

cos x x

D. y ? x e

3 x

6.若 (1 ? x)n ? 1 ? a1x ? a2 x2 ? a3 x3 ? ?? an xn (n ?N*) ,且 a1 : a3 ? 1: 7 ,则 n ? A. 8 B. 9 C. 7 D. 10

-1-

7.已知函数 f ( x) ? 2 2 sin x cos x ,为了得到函数 g ( x) ? sin 2 x ? cos 2 x 的图象,只需要将

y ? f ( x) 的图象

? 个单位长度 4 ? C.向右平移 个单位长度 8
A.向右平移

? 个单位长度 4 ? D.向左平移 个单位长度 8
B.向左平移

x2 y 2 8.已知 F 、 F2 分别是双曲线 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点, P 为双曲线右支 1 a b ???? ???? ? ???? ???? ? ? 上的一点, PF2 ? F F2 ,且 PF1 ? 2 PF2 ,则双曲线的离心率为 1
A.

3

B. 1 ? 2

C. 2 2

D. 1 ? 5

9.定义: min{a, b} ? ?

?a, a ? b ?0 ? x ? 2 ,在区域 ? 内任取一点 P( x, y) ,则 x 、 y 满足 ?b, a ? b ?0 ? y ? 6

min{x2 ? x ? 2 y, x ? y ? 4} ? x2 ? x ? 2 y 的概率为
A.

5 9

B.

2 9

C.

1 3

D.

4 9

10.已知数列 {an } 是以 3 为公差的等差数列, Sn 是其前 n 项和,若 S10 是数列 ?Sn ? 中的唯一 最小项,则数列 {an } 的首项 a1 的取值范围是 A. [?30, ?27] B. (30,33) C. (?30, ?27) D. [30,33]

11.某几何体的三视图如图所示,当这个几何体的体积最大时,以下结果正确的是 A. a ? b ? 8 B. b ? 4 C. a ? 1 D. a ? 2 12.设函数 y ? f ( x) 在 (??, ??) 内有定义,对于给定的实数

( ? f ( x )f , x ? k ) k , 定 义 函 数 g ( x) ? ? , 设 函 数 ? k , f ( x) ? k
f ( x) = x2 ? x ? e? x ? 3 , 若 对 任 意 的 x ? ( ? ? ? ?恒 有 , ) g ( x)? f ( x,则 )
A. k 的最大值为 ?2 B. k 的最小值为 ?2 C. k 的最大值为 2 D. k 的最小值为 2

-2-

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.已知两条直线 y ? ax ? 2 和 3x ? (a ? 2) y ? 1 ? 0 互相平行,则 a 等于 .

14.某工厂的某种型号的机器的使用年限 x 和所支出的维修费用 y (万元)有下表的统计资料:

? ? 根据该表可得回归方程 y ? 1.23x ? a ,据此模型
估计, 该型号机器使用年限为 9 年的维修费用大约 为 万元. 15.已知 l , m 是两条不同的直线, ? , ? 是两 个不同的平面,有下列五个命题: ①若 l ? ? ,且 ? // ? ,则 l // ? ;②若 l ? ? ,且 ? // ? ,则 l ? ? ; ③若 l ? ? ,且 ? ? ? ,则 l // ? ;④若 ? ? ? ? m ,且 l // m ,则 l // ? ; ⑤若 ? ? ? ? m , l // ? , l // ? ,则 l // m .则所有正确命题的序号是 16.一同学为研究函数
D

x
y

2

3

4

5

6

2.2

3.8

5.5

6.5

7.0

.
C
P F

f ( x) ? 1 ? x 2 ? 1 ? (1 ? x) 2 (0 ? x ? 1) 的性质, 构造了如图 所示的两个边长为 1 的正方形 ABCD 和 BEFC, 点 P 是边 BC 上的一动点,设 CP ? x, 则 AP ? PF ? f ( x) .请你参考这些信 息,推知函数 g ( x) ? 3 f ( x) ? 7 的零点的个数是 .
骤. 17. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? (Ⅰ)求函数 f ( x ) 在 ?0, ? ?上的单调递增区间;

A

B

E

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步

?
6

) ? 2 cos 2 x .

) 0 若向量 m ? (1,sin B) 与 (Ⅱ) ?ABC 的内角 A, B, C 的对应边分别为 a, b, c , f ( A ? , 设 且
向量 n ? (2,sin C) 共线,求

??

?

a 的值. b

18. (本小题满分 12 分)如图,在长方形 ABCD 中, AB ? 2 , BC ? 1 , E 为 CD 的中点,

F 为 AE 的中点.现在沿 AE 将三角
形 ADE 向上折起, 在折起的图形中解

D

E

C

D F

E

C
F
A B A B

答下列两问: (Ⅰ) 在线段 AB 上是否存在一点 K ,

使 BC ∥面 DFK ?若存在,请证明你的结论;若不存在,请说明理由;

-3-

(Ⅱ)若面 ADE ? 面 ABCE ,求二面角 E ? AD ? B 的余弦值. 19. (本小题满分 12 分)甲,乙,丙三位学生独立地解同一道题,甲做对的概率为

1 ,乙、 2

丙做对的概率分别为 m 和 n ( m > n ),且三位学生是否做对相互独立.记 ? 为这三位学生中 做对该题的人数,其分布列为: (Ⅰ) 求 m , n 的值; (Ⅱ) 记事件 E ? {函数

?
P

0

1

2

3

f ( x) ? ?2x2 ? 3? x ? 1 在区间 [?1,1]
P( E ) ;
(Ⅲ)令 ? ? 12 E (? ) ? 10 ,试计算 20. (本小题满分 12 分)

1 4

a

b

1 24

上不单调},求

?

?
??

(1 ? 2 | x |)dx 的值.

已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , a1 ? a2 ? ? ? an?1 ? an ? ?1 ( n ? 2 且 n ? N ) .
*

(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式 an ;
2 2 an ?1 ? an ? 2 (a ? 0, a ? 1) ,记数列 {dn } 的前 n 项和为 Sn , (Ⅱ)令 d n ? 1 ? log a 5



S 2n 恒为一个与 n 无关的常数 ? ,试求常数 a 和 ? . Sn
x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的右焦点,过点 a 2 b2

21. (本小题满分 13 分)已知点 F (1, 0) 为椭圆 C :

A(a, 0) 、 B(0, b) 的直线与圆 x 2 ? y 2 ?
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

12 相切. 7

1 1 为定值. ? MF NF ? ? ? ? ? ? 22. (本小题满分 13 分)已知 p ? ( x, m), q ? ( x ? a,1) ,二次函数 f ( x) ? p ? q ? 1 ,关于 x 的
(Ⅱ) 过点 F 的直线交椭圆 C 于 M 、 N 两点,求证: 不等式 f ( x) ? (2m ?1) x ? 1 ? m 的解集为 (??, m) ? (m ? 1, ??) ,其中 m 为非零常数,设
2

g ( x) ?

f ( x) . x ?1

(Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)若存在一条与 y 轴垂直的直线和函数 ?( x) ? g ( x) ? x ? ln x 的图象相切,且切点的横坐 标 x0 满足 | x0 ?1| ? x0 ? 3 ,求实数 m 的取值范围;
-4-

(Ⅲ)当实数 k 取何值时,函数 ? ( x) ? g ( x) ? k ln( x ? 1) 存在极值?并求出相应的极值点.

高三自评试题

数学(理科)参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 12 小题.每小题 5 分,共 60 分. A D B BC A D B DC D A 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13. ?3 或 1 14. 11.15 15. ①②⑤ 16. 2 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤. 17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) f ( x) ? sin(2 x ?

?

? sin 2 x cos

?
6

? cos 2 x sin

?

6 6

) ? 2 cos 2 x ? (cos 2 x ? 1)

?

? 3 1 sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? sin(2 x ? ) ? 1 ……………………………………………3 分 6 2 2

由 2 k? ?

(k ? Z) 6 3 ? 5? , ? ] ………………………………6 分 所以, f ( x ) 在 ?0, ? ?上的单调递增区间为 [0, ] , [ 3 6 2 6 2 ) ? 1 ? 0 ,则 sin(2 A ? ) ? 1 6 6 ? ? 11? ? ? ? ? 0 ? A ? ? ,?? ? 2 A ? ? ,? 2 A ? ? , A ? ………………………8 分 6 6 6 6 2 3 ?? ? ? 向量 m ? (1,sin B) 与向量 n ? (2,sin C) 共线,? sin C ? 2sin B ,
由正弦定理得, c ? 2b
2 2

?

? 2x ?

?

? 2k? ?

?

(k ? Z) 得: k? ?

?

? x ? k? ?

?

(Ⅱ) f ( A) ? sin(2 A ?

?

?

…………………………………………………………………10 分
2

由余弦定理得, a ? b ? c ? 2bc cos

?
3

,即 a ? b ? 4b ? 2b
2 2 2

2

a ? ? 3 b

………………………………………………………………………………12 分

-5-

18. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) 线段 AB 上存在一点 K , 且当 AK ?

1 AB 时, 4
D

BC ∥面 DFK
证明如下:

………………………………1 分

z
E F A

C

设 H 为 AB 的中点,连结 EH ,则 BC ∥ EH 又因为 AK ?

1 AB , F 为 AE 的中点 4

x

K H

B y

所以 KF ∥ EH ,所以 KF ∥ BC ,………………4 分

? KF ? 面 DFK , BC ? 面 DFK ,? BC ∥面 DFK …………………………………5 分
(Ⅱ)? H 为 AB 的中点,? AH ? HE ? BC ? 1,

? F 为 AE 的中点,? FH ? AE . ? DA ? DE ? 1 , ? DF ? AE ,? 面 ADE ? 面 ABCE ,? DF ? 面 ABCE
由此可以 FA, FH , FD 分别为 x, y, z 轴,建立坐标系如图………………………………7 分 因为 DF ? 面 ABCE ,所以 DF ? FH ,又? FH ? AE , DF ? AE ? F ,

???? ? FH ? 面 ADE ,则 FH 为面 ADE 的一个法向量.
因为 AB ? 2 , BC ? 1 ,所以 FH ?

2 ???? 2 , 0) ……………………………9 分 , FH ? (0, 2 2

又可得: D(0, 0,

???? ???? 2 2 2 2 2 2 , 0, ) , AH ? (? , , 0) ) , A( , 0, 0) ,所以 AD ? (? 2 2 2 2 2 2

设面 ADB 的法向量为 n ? ( x, y, z)

?

? ???? ? n ? AD ? 0 ? ? 由 ? ? ???? ?n ? AH ? 0 ?

? ?? ? ? ?? ? ?

2 2 x? z?0 ? ?? x ? z ? 0 2 2 ,即 ? ,令 x ? 1 ,则 n ? (1,1,1) …11 分 2 2 ?? x ? y ? 0 x? y?0 2 2
2 2 3? 2 2

???? ? 所以 cos ? FH , n ??

?

3 3 ,故二面角 E ? AD ? B 的余弦值为 ………12 分 3 3

19. (本小题满分 12 分) 解:设事件 A ={甲做对},事件 B ={乙做对},事件 C ={丙做对},由题意知,

-6-

P( A) ?

1 , P( B) ? m, P(C ) ? n . 2 1 1 (1 ? m)(1 ? n) ? , 2 4

(Ⅰ) 由题意知 P(? ? 0) ? P( ABC ) ?

1 1 mn ? , 2 24 7 1 整理得: mn ? ,m ? n ? . 12 12 1 1 由 m ? n ,解得 m ? , n ? . ……………………………………………………4 分 3 4 P(? ? 3) ? P( ABC ) ?
(Ⅱ)由题意知 a ? P ? ? 1) ? P ABC) ? P ABC) ? P ABC) ( ( ( (

1 1 1 11 (1 ? m)(1 ? n) ? m(1 ? n) ? (1 ? m)n ? , …………………………5 分 2 2 2 24 ? 函数 f ( x) ? ?2x2 ? 3? x ? 1 在区间 [?1,1] 上不单调, 3 4 4 ? 对称轴 x ? ? ? (?1,1) ? ? ? ? ? ? ? ? 0 ,或 ? ? 1 …………………………7 分 4 3 3 1 11 17 ? ? P( E) ? P(? ? 0) ? P(? ? 1) ? ? ……………………………………………8 分 4 24 24 1 (Ⅲ) b ? P(? ? 2) ? 1 ? P(? ? 0) ? P(? ? 1) ? P(? ? 3) = , 4 13 ∴ E (? ) ? 0 ? P(? ? 0) ? 1? P(? ? 1) ? 2 ? P(? ? 2) ? 3 ? P(? ? 3) ? ……………10 分 12 ?? ? 12E(? ) ?10 ? 3 ?


? ??

?
?? 0
?3

(1 ? 2 | x |)dx ? ? (1 ? 2 | x |)dx
?3
3 0

3

(1 ? 2 x)dx ? ? (1 ? 2 x)dx ? ( x ? x2 ) |03 ?( x ? x2 ) |3 ? ?12 ? 0
………………………………………………12 分

20. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) 由题 a1 ? a2 ? ? ? an?1 ? an ? ?1 ……①

? a1 ? a2 ? ? ? an ? an?1 ? ?1 ……②
由① ? ②得: an?1 ? 2an ? 0 ,即

an?1 ? 2(n ? 2) …………………………………………3 分 an a2 ?2 a1

当 n ? 2 时, a1 ? a2 ? ?1 ,? a1 ? 1 ,? a2 ? 2 , 所以,数列 {an } 是首项为 1 ,公比为 2 的等比数列

-7-

故 an ? 2n?1 ( n ? N )………………………………………………………………………5 分
*

(Ⅱ)? an ? 2n?1 ,? d n ? 1 ? log a

2 2 an ?1 ? an ? 2 ? 1 ? 2n log a 2 5

? dn?1 ? dn ? 2loga 2 , ?{dn } 是以 d1 ? 1 ? 2loga 2 为首项,以 2loga 2 为公差的等差数列,…………………8 分
2n(2n ? 1) ? (2log a 2) 2 ? (4n ? 2) log 2 S2 n 2n(1 ? 2log a 2) ? a 2 ? ?? ? ? n(n ? 1) 1 ? (n ? 1) log a 2 Sn n(1 ? 2log a 2) ? ? (2log a 2) 2

? (? ? 4)n loga 2 ? (? ? 2)(1 ? loga 2) ? 0 ……………………………………………10 分

?

? (? ? 4) log a 2 ? 0 S 2n 恒为一个与 n 无关的常数 ? ,? ? Sn ?(? ? 2)(1 ? log a 2) ? 0

解之得: ? ? 4 , a ?

1 2

………………………………………………………………12 分

21. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)因为 F (1, 0) 为椭圆的右焦点,所以 a ? b ? 1 ……①
2 2

……………………1 分

AB 的直线方程为
所以 d ?
2

x y ? ? 1 ,即 bx ? ay ? ab ? 0 a b

(ab) 2 12 ? ,化简得 12(a2 ? b2 ) ? 7a2b2 ……② …………………………3 分 a 2 ? b2 7
2

由①②得: a ? 4 , b ? 3
2

所以椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 …………………………………………………………4 分 4 3

(Ⅱ) 设 M ( x1 , y1 ) 、 N ( x2 , y2 ) 当直线 l 的斜率不存在时, x1 ? x2 ? 1,则

9 1 y12 ? ? 1 ,解得 y12 ? 4 4 3

所以 MF ? NF ?

3 1 1 4 ? ? ………………………………………………6 分 ,则 2 MF NF 3

-8-

? y ? k ( x ? 1) ? 当直线 l 的斜率存在时,设 l : y ? k ( x ? 1) ,联立 ? x 2 y 2 ?1 ? ? ?4 3
化简得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ?12 ? 0

x1 ? x2 ?

8k 2 4k 2 ? 12 , x1 x2 ? …………………………………………………………8 分 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

MF ? ( x1 ? 1)2 ? y12 ? ( x1 ? 1) 2 ? k 2 ( x1 ? 1) 2 ? 1 ? k 2 x1 ? 1
同理 NF ? 1 ? k
2

x2 ? 1

不妨设 x2 ? 1, x1 ? 1 ,则

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) 2 MF NF 1 ? k x2 ? 1 x1 ? 1

( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 1 1 1 ? ( ? )? ? x1 ? x2 ? x1 x2 ? 1 1 ? k 2 1 ? x2 x1 ? 1 1? k 2 1

?

1 1? k 2

( ?

8k 2 2 4k 2 ? 12 ) ? 4? 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 ? 1 ? 12 1 ? k ? 4 8k 2 4k 2 ? 12 9 3 1? k 2 ? ?1 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k

所以

4 1 1 为定值 ………………………………………………………………13 分 ? 3 MF NF

22. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)? p ? ( x, m), q ? ( x ? a,1) , f ( x) ? p ? q ? 1 , …………………………………………………1 分 ? 二次函数 f ( x) ? x2 ? ax ? m ? 1 , 2 关于 x 的不等式 f ( x) ? (2m ?1) x ? 1 ? m 的解集为 (??, m) ? (m ? 1, ??) , 也就是不等式 x2 ? (a ? 1 ? 2m) x ? m2 ? m ? 0 的解集为 (??, m) ? (m ? 1, ??) , ∴ m 和 m ? 1 是方程 x2 ? (a ? 1 ? 2m) x ? m2 ? m ? 0 的两个根. 由韦达定理得: m ? (m ? 1) ? ?(a ? 1 ? 2m) ∴ a ? ?2 …………………………………………………………………………………2 分 f ( x) x2 ? 2 x ? m ? 1 m ? ? ( x ? 1) ? (Ⅱ)由(Ⅰ)得 g ( x ) ? , x ?1 x ?1 x ?1 m 1 m ??( x) ? g ( x) ? x ? ln x ? ln x ? 1 ? , ??( x) ? ? x ?1 x ( x ? 1) 2 ? 存在一条与 y 轴垂直的直线和 ?( x) 的图象相切,且切点的横坐标为 x0 , 1 m 1 ???( x0 ) ? ? ? 0 ? m ? x0 ? ? 2 …………………………………………4 分 2 x0 ( x0 ? 1) x0

? ?

?

? ? ?

-9-

? x0 ?1| ? x0 ? 3 ,? x0 ? 2 ………………………………………………………………5 分 | 1 1 ( x ? 1)( x ? 1) 令 h( x ) ? x ? ? 2 ( x ? 2) ,则 h?( x) ? 1 ? 2 ? x x x2 1 ( x ? 1)( x ? 1) ? 0, 当 x ? 2 时, h?( x) ? 1 ? 2 ? x x2 1 ? h( x) ? x ? ? 2 在 (2, ??) 上为增函数 x 1 1 1 从而 h( x0 ) ? x0 ? …………………………………………7 分 ? 2 ? h(2) ? ,? m ? 2 x0 2 m (Ⅲ) ? ( x) ? g ( x) ? k ln( x ? 1) ? ( x ? 1) ? ?k ln( x ? 1) 的定义域为(1, ??). x ?1 m k x 2 ? (2 ? k ) x ? k ? m ? 1 ∴ ? ?( x) ? 1 ? . ? ? ( x ? 1) 2 x ? 1 ( x ? 1)2 方程 x2 ? (2 ? k ) x ? k ? m ? 1 ? 0 (*)的判别式 ? ? (2 ? k )2 ? 4(k ? m ? 1) ? k 2 ? 4m .
①若 m ? 0 时, ? ? 0 ,方程(*)的两个实根为 x1 ?

2 ? k ? k 2 ? 4m ? 1, 2

2 ? k ? k 2 ? 4m 或 x2 ? ? 1, 2 则 x ? (1, x2 ) 时, ? ?( x) ? 0 ; x ? ( x2 , ??) 时, ? ?( x) ? 0 . ∴函数 ? ( x) 在 (1, x2 ) 上单调递减,在 ( x2 , ??) 上单调递增. 此时函数 ? ( x) 存在极小值,极小值点为 x2 , k 可取任意实数. ………………………9 分
②若 m ? 0 时,当 ? ? 0 ,即 ?2 ?m ? k ? 2 ?m 时, x2 ? (2 ? k ) x ? k ? m ? 1 ? 0 恒成立,

? ?( x) ? 0 , ? ( x) 在 (1, ??) 上为增函数, 此时 ? ( x) 在 (1, ??) 上没有极值 …………………………………………………………10 分
下面只需考虑 ? ? 0 的情况 由 ? ? 0 ,得 k ? ?2 ?m 或 k ? 2 ?m ,

2 ? k ? k 2 ? 4m 2 ? k ? k 2 ? 4m ? 1, x2 ? ? 1, 2 2 故 x? (1, ??) 时, ? ?( x) ? 0 , ∴函数 ? ( x) 在 (1, ??) 上单调递增. ∴函数 ? ( x) 没有极值. …………………………………………………………………11 分
当 k ? ?2 ?m ,则 x1 ?

2 ? k ? k 2 ? 4m 2 ? k ? k 2 ? 4m ? 1, x2 ? ? 1, 2 2 则 x ? (1, x1 ) 时, ? ?( x) ? 0 ; x ? ( x1 , x2 ) 时, ? ?( x) ? 0 ; x ? ( x2 , ??) 时, ? ?( x) ? 0 . ∴函数 ? ( x) 在 (1, x1 ) 上单调递增,在 ( x1 , x2 ) 上单调递减,在 ( x2 , ??) 上单调递增.
当 k ? 2 ?m 时, x1 ? 此时函数 ? ( x) 存在极大值和极小值,极小值点 x2 ,有极大值点 x1 . 综上所述, 若 m ? 0 时, k 可取任意实数,此时函数 ? ( x) 有极小值且极小值点为 x2 ; 若 m ? 0 时,当 k ? 2 ?m 时,函数 ? ( x) 有极大值和极小值,此时极小值点为 x2 ,极大

- 10 -

值点为 x1 (其中 x1 ?

2 ? k ? k 2 ? 4m 2 ? k ? k 2 ? 4m , x2 ? )………………13 分 2 2

- 11 -


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