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江苏省赣榆高级中学2016届高三上学期10月调研考试数学试题 Word版含答案


2015-2016 学年度江苏省赣榆高级中学 10 月份调研考试 高三数学试题(必做题)
一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分,不需写出解 答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上。 )
x ? 1.函数 f ( x) ? 3 sin( ? )( x ? R) 的最小正周期为 ▲ . 2 4 答案:4π 2.设集合 A ? ?x ?

3 ? 2x ? 1 ?3?,集合 B 为函数 y ? lg( x ? 1) 的定义域,则 A∩B

= ▲ . 答案:(1,2] 1? ? 3.(必修 1P89 练习 3 改编)若幂函数 y=f(x)的图象经过点?9,3?,则 f (25) = ? ? ▲ . 1 答案: 5 1 1 1 1 解析:设 f(x)=xα,则3=9α,∴ α=-2,即 f(x)=x-2,f(25)=5. 4.已知复数 z 满足(3+4i)z=25,则复数 z 的虚部为 ▲ . 答案:-4 25(3-4i) 25 解析:因为(3+4i)z=25,所以 z= = =3-4i. 3+4i (3-4i)(3+4i) 5.设函数 f ( x) ? log2 x ,则“ a ? b ”是“ f (a) ? f (b) ”的 ▲ (填“充 分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)条件. 答案:必要不充分 解析: 因为 f(x)=log2x 在区间(0, +∞)上是增函数, 所以当 a>b>0 时, f(a)>f(b); 反之,当 f(a)>f(b)时,a>b.故“a>b”是“f(a)>f(b)”的必要不充分条件. ?3x 2 ? 4, x ? 0 6. (必修 1P93 习题 6 改编) 已知函数 f ( x) ? ? , 则 f ( f (1)) = ▲ . ?0, x ? 0 答案:0 7. (必修 3P115 习题 4)甲、乙两个同学下棋,若甲获胜的概率为 0.2,甲、乙下 和棋的概率为 0.5,则甲不输的概率为 ▲ . 答案:0.7 8.函数 f ( x) ? 2 sin(?x ? ? ) (? ? 0, ? ? 图象如图所示,则 f (0) 的值是 答案: ? 3 ▲

?

2

) 的部分



9. 已 知 函 数 y ? l o g 2 (ax ? 1) 在 (1 , 2) 上 单 调 递 增 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 为 ▲ . 答案:[1,+∞) 解析:令 m=ax-1,则函数 y=log2(ax-1)在(1,2)上单调递增等价于 m=ax ?a>0, -1 在(1, 2)上单调递增, 且 ax-1>0 在(1, 2)上恒成立, 所以? 即 a≥1. ?a-1≥0, 10.如图,已知正方形 ABCD 的边长为 2,点 E 为 AB 的中点.以 A 为圆心,AE
? 上的动点,则 D 为半径,作弧交 AD 于点 F.若 P 为劣弧 EF
C

??? ? ??? ? PC ?PD 的最小值为




F P A B E (第 题) x 10 ?0 当 时,有

答案: 5 ? 2 5

11. 设 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 且 f (2) ? 0 ,
xf ' ( x) ? f ( x) ? 0 恒成立,则不等式 x2 f ( x) ? 0 的解集为 答案: (??, ?2) ? (0, 2)





x ?1 ? ? 1, x ? 0 ?5 12. 设 定 义 域 为 R 的 函 数 f ( x) ? ? ,若关于 x 的方程 2 ? ? x ? 4 x ? 4, x ? 0

f 2 ( x) ? (2m ? 1) f ( x) ? m 2 ? 0 有 7 个不同的实数根,则实数 m 的取值集合为 ▲ . 答案: ?2? n 13. 对于正项数列 ?an ?,定义 H n ? 为 ?an ?的“光阴” a1 ? 2a 2 ? 3a3 ? ? ? nan 2 值,现知某数列的“光阴”值为 H n ? ,则数列 ?an ? 的通项公式为 an ? n?2 ▲ . 2n ? 1 答案: an ? 2n a?2 , y ? ax ? 2b ? 1 ,若两条曲线在区间 [3, 4] 14.已知 a, b ? R, a ? 0 ,曲线 y ? x 上至少有一个公共点,则 a 2 ? b 2 的最小值为 ▲ . 1 答案: 100 a?2 ? ax ? 2b ? 1 ? ( x 2 ? 1)a ? 2 xb ? ( x ? 2) ? 0在x ? [3,4] 有解, 解析:由 x 2 2 a ? b 可视为关于 a , b 的直线 ( x 2 ? 1)a ? 2xb ? ( x ? 2) ? 0 上的点 ( a, b) 到原点的距 离 的 平 方 , 其 最 小 值 为 原 点 到 直 线 的 距 离 的 平 方 , 即 x?2 x?2 a2 ? b2 ? d ? ? 2 x ?1 ( x 2 ? 1) 2 ? (2 x) 2

设 t ? x ? 2 ,? x ? [3,4] ? t ? x ? 2 ? [1,2], a 2 ? b 2 ?
1 100

t ? t ? 4t ? 5
2

1 1 ? 5 10 t? ?4 t

则 a 2 ? b 2 的最小值为

二、解答题: (本大题共 6 小题,计 90 分。解答应写出必要的文字说 明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内。 )
15. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? sin(
3

? ? ? x) sin( ? x) ? 3 sin x cos x( x ? R) . 4 4 1 ? (1) 若 f (? ) ? ,且 ? ? ( ? ,0) 求 sin(2? ) 的值;
2

A (2) 在△ABC 中,若 f ( ) ? 1 ,求 sin B ? sin C 的取值范围. 2 π π 解:(1) f(x)=sin? +x?sin? -x?+ 3sinxcosx ?4 ? ?4 ? 1 ? 1 π 1 3 = cos2x+ sin2x=sin?2x+ ?,? f (? ) ? ,? sin( 2? ? ) ? . 2 2 6 ? ? 3 6 3 ? ? 3?2 2 ? sin(2? ) ? sin[(2? ? ) ? ] ? . 6 6 6 A? π? ? (2) 因为 f? ? 2 ?=1,所以 sin?A+ 6 ?=1.
π π π 因为 0<A<π,所以 A+ = ,即 A= . 6 2 3 2π sinB+sinC=sinB+sin? -B? ? 3 ? π 3 3 = sinB+ cosB= 3sin?B+ ?. 2 2 6? ? 2π π π 5π 因为 0<B< ,所以 <B+ < , 3 6 6 6 π π 3 1 所以 <sin?B+ ?≤1, < 3sin?B+ ?≤ 3. 2 6? 6? ? ? 2 所以 sinB+sinC 的最大值为 (

3 , 3 ]. 2

16. (本题满分 14 分) 如图,直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,如图,直三棱柱

ABC ? A1B1C1 中, D , E 分别是 AB , BB1 的中点。
(1)证明: BC1 / / 平面 A1CD ;

AB ? 2 2 , (2) 设 AA1 ? AC ? CB ? 2 , 求三棱锥 C ? A1DE

的体积。

【解题指南】(1)连接 AC1,构造中位线,利用线线平行证线面平行; (2) VC ? A DE ? S?A DE ? CD ,确定 S?A DE 与高 CD 的长,得体积.
1 1

1 3

1

证明:(1)连接 AC1 交 A1C 于点 F,则 F 为 AC1 中点. 又 D 是 AB 中点,连结 DF,则 BC1//DF. 因为 DF ? 平面 A1CD,BC1 ? 平面 A1CD, 所以 BC1//平面 A1CD. (2)因为 ABC-A1B1C1 是直三棱柱,所以 AA1 ? CD . 由已知 AC=CB,D 为 AB 的中点,所以 CD ? AB ,又 AA1 ? AB ? A ,于是 CD ? 平面 ABB1A1. 由 AA1=AC=CB=2,AB= 2 2 得
?ACB ? 90?, CD ? 2, A1D ? 6 , DE ? 3, A1E ? 3 ,

故 A1D2 +DE 2=A1E 2 ,即DE ? A1D.
1 1 3 2 17. (本题满分 14 分)
1

所以 VC ? A DE ? ? ? 6 ? 3 ? 2 ? 1.
如图所示, C , D 是两个小区的所在地, C , D 到一条公路 AB 的垂直距离分别 为 CA ? 1km, DB ? 2km , AB 两端之间的距离为 4 km . (Ⅰ)如图一所示, 某移动公司将在 AB 之间找一点 M , 在 M 处建造一个信号塔, 使得 M 对 C , D 的张角与 M 对 C , A 的张角相等,试确定点 M 到点 A 的距离; (Ⅱ)如图二所示,某公交公司将在 AB 之间找一点 N ,在 N 处建造一个公交站 台,使得 N 对 C , D 两个小区的视角 ?CND 最大,试确定点 N 到点 A 的距离.
D D

C
A M
图一

C
B A

N
图二

B

(Ⅰ)设 MA ? x, ?CMA ? ? , 则 ?CMD ? ? , ?BMD ? ? ? 2? .依题意,
1 2 2tan ? 1 ?2 , tan 2? ? ? ,由 tan2 ? ? 得 ,解得 x ? ,故点 ? 2 x 4? x 1 ?tan ? 4 4 ? x 1? 1 2 x 1 M 到点 A 的距离为 km .??????4 分 4

tan ? ?

2 x

(Ⅱ)设 ?CNA ? ? , ?DNB ? ? , 则 ?CND ? ? ? (? ? ? ) .设 AN ? x ,则 NB ? 4 ? x ,所以
tan ? ? 1 2 , tan ? ? , x 4? x

tan ?CND ? tan[? ? (? ? ? )] ? ? tan(? ? ? ) ?

记 f ( x) ?
f ( x) ?

x?4 , (0 ? x ? 4) 令 x ? 4 ? t , x ? t ? 4,0 ? t ? 8 x ? 4x ? 2
2

x?4 x ? 4x ? 2
2

????8 分

t 1 1 6 ? 34 ? ? ?? . t ? 12t ? 34 t ? 34 ? 12 2 34 ? 12 4 t
2

??????12 分

当 t ? 34 时, ymax ? ?

6 ? 34 , 4
y P N l2

此时 ?CND 最大,对应地, x ? t ? 4 ? ?4 ? 34 . ?14 分 18. (本题满分 16 分) 已知椭圆 C:
F

x y ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的一个焦点为 2 a b

2

2

O F M l1 x

?

2, 0 ,其短轴上的一个端点到 F 的距离为 3 。

?

(1)求椭圆 C 的离心率及其标准方程, (2)点 P ? x0 , y0 ? 是圆 G: x2 ? y 2 ? 4 上的动点,过点 P 作椭圆 C 的切线 l1 , l2 交 圆 G 于点 M,N,求证:线段 MN 的长为定值。

19. (本小题满分 16 分) 将数列 ?an ? 中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表:

a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 ?
已知表中的第一列数 a1 , a2 , a5 ,? 构成一个等差数列,记为 ?bn ?,且 b2 ? 4, b5 ? 10.

表中每一行正中间一个数 a1 , a3 , a7 ,? 构成数列 ?cn ?,其前 n 项和为 Sn . (1)求数列 ?bn ?的通项公式; (2)若上表中,从第二行起,每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列, 公比为同一个正数,且 a13 ? 1 . ①求 Sn ; ②记 M ? n (n ? 1)cn ? ? , n ? N * ,若集合 M 的元素个数为 3,求实数 ? 的取值 范围.

?

?

20.(本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? ln x, g ( x) ? ax2 ? x(a ? 0) . (1)若函数 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 的图象在公共点 P 处有相同的切线,求实数 a 的值并求点 P 的坐标; (2)若函数 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 的图象有两个不同的交点 M 、 N ,求实数 a 的 取值范围;

(3)在(2)的条件下,过线段 MN 的中点作 x 轴的垂线分别与 y ? f ( x) 的图 象和 y ? g ( x) 的图象交于 S 、 T 点,以 S 为切点作 y ? f ( x) 的切线 l1 ,以 T 为切点 作 y ? g ( x) 的切线 l 2 ,是否存在实数 a 使得 l1 // l 2 ,如果存在,求出 a 的值;如果 不存在,请说明理由.
2 解: (1)设函数 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 的图象的公共点 P( x0 , y0 ) ,则有 ln x0 ? ax0 ? x0 ,①

又在点 P 有共同的切线, ? f ' ( x0 ) ? g ' ( x0 ) ? 代入①,得 ln x 0 ?

1 ? x0 1 , ? 2ax0 ? 1 ? a ? 2 x0 2 x0

1 1 1 1 1 1 ? x 0 .设 h( x) ? ln x ? ? x ? h' ( x) ? ? ? 0( x ? 0) 2 2 x 2 2 2

所以函数 h( x) 在 (0,??) 上为增函数,故最多有 1 个零点,观察得 x0 ? 1 是零点。 故有 a ? 1 ,此时 P(1,0) . (2) 根据 (1) 知, 当 a ? 1 时, 两条曲线切于点 P(1,0) , 此时变化的 y ? g ( x) 的对称轴是 x ? 而 y ? f ( x) 是固定不动的,如果继续让对称轴向右移动,即 x ?

1 2



1 1 ? ,得 a ? 1 . 2a 2

两条曲线有两个不同的交点,当 a ? 0 时,开口向下,只有一个交点,显然不合题意. 综上可得,有 0 ? a ? 1 . (3)不妨设 M ( x1 , y1 ) 、 N ( x2 , y 2 ) ,且 x1 ? x2 , 则 MN 中点的坐标为 (

x1 ? x2 y1 ? y 2 , ), 2 2

以 S 为切点的切线 l1 的斜率为 k S ? f ' (

x1 ? x2 2 , )? 2 x1 ? x2
x1 ? x2 ) ? a( x1 ? x 2 ) ? 1 , 2


以 T 为切点的切线 l 2 的斜率为 kT ? g ' (

如果存在 a 使得 k S ? kT ,即
2

2 ? a( x1 ? x2 ) ? 1 x1 ? x2
2

而且有 ln x1 ? ax1 ? x1 , ln x2 ? ax2 ? x2 . 如果将②的两边同时乘以 x1 ? x2 ,得

2( x1 ? x2 ) 2 ? a( x12 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ) x1 ? x2



2( x1 ? x2 ) x 2 ? ax12 ? x1 ? (ax2 ? x2 ) ? ln x1 ? ln x2 ? ln 1 x1 ? x2 x2

x1 ? 1) x x2 x 即 ? ln 1 ,令 t ? 1 (t ? 1) x1 x2 x2 ?1 x2 2(
则有

2(t ? 1) 2(t ? 1) ? ln t ? ln t ? ? 0, t ?1 t ?1

令 h(t ) ? ln t ?

2(t ? 1) 1 4 (t ? 1) 2 , ? h' (t ) ? ? ? t ?1 t (1 ? t ) 2 t (1 ? t ) 2

? t ? 1,? h' (t ) ? 0 ? 函数 h(t ) 在 [1,??) 上单调递增,故 h(t ) ? h(1) ? 0 .
所以不存在实数 a 使得 l1 // l 2 .


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