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福建省晋江市平山中学2015-2016学年高一数学上学期期中试题


平山中学 2015 年秋季高一年级期中考试数学科试卷
(必修 1) 满分 150 分, 考试时间 120 分钟 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个答案中,只有一项是符合题 目要求的,请把正确答案的字母填在答题卡中。 1.下列关系正确的是( ) A. 1 ? ?0, 1? B. 1 ? ?0, 1? C. 1 ? ?0, 1? ) D. [2,3) ? (3,?? )

1?? ?0, 1? D. ?

2.函数 f ( x) ? x ? 2 ? A. [2,3)

1 的定义域是 ( x ?3

B. (3,?? )

C. (2,3) ? (3,??) )

3.下列各组函数中,表示同一函数的是( A. y ? 1 , y ? x
0

B. y ? x , y ?

x2 C. y ? x , y ? ln e x D. y ?| x | , y ? ( x )2 x
) D. (0,2) A B

4.函数 y ? a x ? 1 (a ? 0且a ? 1) 的图象必经过点( A. (0,1 ) B. (1,1) C. (1,0) 5.表示图形中的阴影部分( ) A. ( A ? C ) ? ( B ? C ) B. ( A ? B ) ? ( A ? C ) C. ( A ? B ) ? ( B ? C ) D. ( A ? B ) ? C

C )

6.设 ? ?{?1,1, ,3} ,则使函数 y ? x? 的定义域为 R 且是奇函数的所有 ? 值为( A.1,3
3

1 2

B.-1,1 B . ?0,1?

C.-1,3 C. ?1,2? ) C. y ? ?2 x ? 5 ) D. ?2,3? )

D.-1,1,3

7.函数 f ( x) ? x ? 3x ? 1在以下哪个区间内一定有零点( A. ?? 1,0?

8.下列函数在 (0, ??) 上是增函数的是( A. y ? 3
?x

B. y ? x 2

1

D. y ?

9.已知 a ? log3 2, b ? log5 2, c ? log2 3 ,那么( A. a ? c ? b A. b ? ? 2 B. b ? c ? a B. b ? ?2

3 x

C. c ? b ? a C . b ? ?2

D. c ? a ? b ) D. b ? ? 2 )

2 10.函数 y ? x ? bx ? c ( x ? (??,1)) 是单调函数时, b 的取值范围(

11.已知 f ( x ) 是偶函数,且在 [0,1] 上是增函数,则 f (0.5) 、 f (?1) 、 f (0) 的大小关系是( A. f (0.5) ? f (0) ? f (?1) C. f (0) ? f (0.5) ? f (?1) B. f (?1) ? f (0.5) ? f (0) D. f (?1) ? f (0) ? f (0.5)

1

12. 已知函数 f ( x) ? ? ( ) A. ?? ?,?1?

?2, x ? m,
2 ? x ? 4 x ? 2, x ? m

的图像与直线 y ? x 恰有三个公共点,则实数 m 取值范围是

B. [2,??)

C. [?1,2]

D. [?1,2)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分,请把正确答案写在答题卡中横线上。 13.已知集合 A ? ?0,2,3?,则集合 A 的真子集 共有_____________个. ...

14.计算:若

1 2

2 a ?1

?

1 2

3? 2 a

,则实数 a 的取值范围是 ,若 f ?x0 ? ? 8, 则x0 ? ___________

15.已知 f ( x) ? ?

?x 2 ? 2, ( x ? 2) ? 2 x( x ? 2)

16.若函数 f ( x) ? 2 x ? a 的单调递增区间为 ?3,??? ,则 a ? ___________
2 17、已知 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 x ? x ;则当 x ? 0 时,

f ( x) =
18. 下列说法中,正确的是 。 (请写出所有正确命题的序号) .①指数函数

1 y ? ( ) x 的定义域为 (0, ?? ) ② f ( x) ? lg x 则有 f ? x1 ? x2 ? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ③空集是任何一个集合的真 2
| x| 子集④若 f ( x) ? M ( M 为常数) ,则函数 y ? f ( x) 的最大值为 M ;⑤函数 f ( x) ? 3 的值域为 [1, ??) .

2

平山中学 2015 年秋季高一年级期中考试数学科试卷 (答题卡) 评分栏 一 二 19 20 三 21 22 23 24 成绩

一、选择题答案表:本大题 共 12 题,每小题 5 分,共 60 分 题 座号 1 号 答 案 二、填空题答案:本 大题共有 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分 13、 姓名 16、 14、 17. 15、 18、 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

三.解答题(本题共 6 小题,共 66 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)19. (6 分)计 算:(1)

(? ? 4) 2+?

1 (2) 27 3 ? ( ) ?3 2

2

(3) 已知 3a ? 2, 用a表示log3 4 ? log3 6

班级

20. (12 分) 设全集 U ? R , 集合 A ? x ?1 ? x ? 3 , B ? x 0 ? x ? 4 , C ? x x ? a (1) 求 A ? B,A ? B. (2)求 CR A ? CR B (3)若 B ? C ,求实数 a 的取值范围。 (本题要求画数轴)

?

?

?

?

?

?

班级

3

x ? [1,4] ?log x 21.(12 分)已知函数 f ( x) ? ? 2 2 ?( x ? 5) ? 1 x ? (4,7]
⑴ ⑵ ⑶ 在给定的直角坐标系内画出 f ( x) 的图象; 写出 f ( x) 的单调递增区间(不需要证明) ; 写出 当x取何值时f ( x) 取最值,并求出最值(不需要证明) .

22. (12 分)已知函数 f ( x) ? 2 x ? 1 .
2

(Ⅰ)用定义证明 f ( x) 是偶函数; (Ⅱ)用定义证明 f ( x) 在 ( ??, 0] 上是减函数; (Ⅲ)作出函数 f ( x) 的图像,并写出函数 f ( x) 当 x ?[?1, 2] 时的最大值与最小值.

y

o

x

23.(12 分) .已知函数 f ( x) ? ln(2 ? x), g ( x) ? ln(2 ? x) (1) 求函数 y= f ( x) ? g ( x) 的定义域 ;
4

(2) 求使 f ( x) ? g ( x) 成立的 x 的取值范围。 (3)判断函数 G(x)= f ( x) ? g ( x) 的奇偶性.

24.(12 分)已知甲、乙两个工厂在今年的 1 月份的利润都是 6 万元,且甲厂在 2 月份的利润是 14 万元 , 乙厂在 2 月份的利润是 8 万元。若甲、乙两个工厂的利润(万元)与月份 x 之间的函数关系式分别符合下 列函数模型: f ( x) ? a1 x2 ? b1x ? 6 , g ( x) ? a2 3 x ? b2 , (a1 , a2 , b1 , b2 ? R) . (1)求甲、乙两个工厂今年 5 月份的利润; (2)在同一直角坐标系下画出函数 f ( x) 与 g ( x) 的草图,并根据草图比较今年甲、乙两个工厂的利润的 大小情况.

平山中学 2015 年秋季高一年级期中考试数学科试卷答案 一、选择题答案表:本大题共 12 题,每小题 5 分,共 60 分 题 1 号
5

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答 A 案 二、填空题答案:本大题共有 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分 13 . 18. 7 ( 5 ) 14. D C D A A B B D B C D

a?

1 2

,15.

x0 ? 4或 - 6

2 ,16. ? 6 ,17. ? 2 x ? x

三.解答题(本题共 6 小题,共 70 分,解答应写出必要的文字说明、证明 过程或演算步骤) 19.解: (1)4...........2 分(2)17......... .....4 分(3)a-1................6 分 20.解: (1) A ? B ? ?x | 0 ? x ? 3?........2 分 A ? B ? ?x | ?1 ? x ? 4?..........4 分 (2) CR A ? ?x | x ? 3或x ? ?1?.............6 分 , CR B ? ?x | x ? 4或x ? 0?..........8 分

CR A ? CR B ? ?x | x ? ?1或x ? 4?............9 分
(3)依题意得 a ? 4 ............................................12 分 21.解: (1)图略.........4 分(2)增区间 ?1,4?, ?5,7? .........8 分 (3)当 x ? 7时,f ( x)取最大值5,x ? 1 时f ( x)取最小值0 .............12 分 22.(Ⅰ)证明:函数 f ( x) 的定义域为 R ,对于任意的 x ? R ,都有

f (? x) ? 2(? x)2 ?1 ? 2x2 ?1 ? f ( x) ,∴ f ( x) 是偶函数........3 分 (Ⅱ)证明:在区间 ( ??, 0] 上任取 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 ,则有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (2x12 ?1) ? (2x22 ?1) ? 2( x12 ? x22 ) ? 2( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ) , ∵ x1 , x2 ? (??,0] , x1 ? x2 ,∴ x1 ? x2 ? ?? x1 ? x2 ? 0, 即 ( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? 0 ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x) 在 ( ??, 0] 上是减函数...............8 分 (Ⅲ)解:最大值为 f (2) ? 7 ,最小值为 f (0) ? ?1 ..............12 分
? x?0 23 解: (1)由 2 ?x | ?2 ? x ? 2? .......3 分 2? x?0 得 ? 2 ? x ? 2?定义域为

?

(2)由(1)且 2 ? x ? 2 ? x得?x | 0 ? x ? 2?.......6 分 (3)G(x)定义域为 ?x | ?2 ? x ? 2? 有关于原点对称.......7 分

G(? x) ? f (? x) ? g (? x) ? ln( 2 ? x) ? ln( 2 ? x) ? ln

2? x 2 ? x ?1 2? x ? ln( ) ? ? ln ? ?G ( x) 2? x 2? x 2? x

所以 G(x)为奇函数。........。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。12 分 24.解: (1)依题意:由 ?
2

? a1 ? b1 ? 0 ? f (1) ? 6 ,有 ? ,解得: a1 ? 4, b1 ? ?4 f (2) ? 14 4 a ? 2 b ? 8 ? ? 1 1

∴ f ( x) ? 4 x ? 4 x ? 6 ; ………………………………………………………2 分 由?

?3a2 ? b2 ? 6 ? g (1) ? 6 1 ,有 ? ,解得: a2 ? , b2 ? 5 3 ? g (2) ? 8 ?9a2 ? b2 ? 8
6

3 ?5 ? 3 ∴ g ( x) ? ?
x

1 3

x ?1

? 5 .……………………………………………………4 分

所以甲在今年 5 月份的利润为 f (5) ? 86 万元,乙在今年 5 月份的利润为 g (5) ? 86 万元,故有

f (5) ? g (5) ,即甲、乙两个工厂今年 5 月份的利润相等.…………………6 分
(2)作函数图象如下:

从图中,可以看出今年甲、乙两个工厂的利润: 当 x ? 1 或 x ? 5 时,有 f ( x) ? g ( x) ; 当 1 ? x ? 5 时,有 f ( x) ? g ( x) ; 当 5 ? x ? 12 时,有 f ( x) ? g ( x) ;………………………………………………12 分

7


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