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3.4函数y=Asin(wx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用


第四节 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用

[备考方向要明了]

考 什 么 1.了解函数 y=Asin(ωx+φ)的物理意义;能画 出 y=Asin(ωx+φ)的图象,了解参数 A,ω,φ 对函数图象变化的影响. 2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要 函数模型,会用三角函数解决一些简单实际 问题.

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怎 么 考 1.以选择题的形式考查三角函数的图象变换 及由图象确定解析式等,如 2012 年浙江 T4 等. 2.与三角恒等变换相结合考查 y=Asin(ωx+φ) 的性质及简单应用且以解答题的形式考查, 如 2012 年安徽 T16 等.

[归纳· 知识整合] 1.y=Asin(ωx+φ)的有关概念 y=Asin(ωx+φ)(A> 0,ω>0),x∈[0,+ ∞)表示一个振动量时 振幅 A 周期 2π T= ω 频率 1 ω f= = T 2π 相位 ωx+φ 初相 φ

2.用五点法画 y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图 用五点法画 y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五个关键点,如下表所示: x ωx+φ y=Asin(ωx+ φ) - φ ω φ π - + ω 2ω π 2 A π-φ ω π 0 3π φ - 2ω ω 3π 2 -A 2π-φ ω 2π 0

0 0

[探究] 1.用五点法作 y=Asin(ωx+φ)的图象,应首先确定哪些数据? π 3π 提示:先确定 ωx+φ,即先使 ωx+φ 等于 0, ,π, ,2π,然后求出 x 的值. 2 2 3.函数 y=sin x 的图象变换得到 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的步骤

法一

法二

[探究] 2.在图象变换时运用“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”两种途径,向左或 向右平移的单位个数为什么不一样? φ? 提示:可以看出,前者平移|φ|个单位,后者平移? ?ω?个单位,原因在于相位变换和周期 变换都是针对变量 x 而言的, 因此在用这样的变换法作图象时一定要注意平移与伸缩的先后 顺序,否则会出现错误. [自测· 牛刀小试] π π x- ?的图象,只要把函数 y=3sin?x+ ?的图 1.(教材习题改编)为了得到函数 y=3sin? ? 5? ? 5? 象上所有的点( )

π A.向右平行移动 个单位长度 5 π B.向左平行移动 个单位长度 5 2π C.向右平行移动 个单位长度 5 2π D.向左平行移动 个单位长度 5 2 π π x- ?=3sin??x-5π?+ ?, 解析:选 C ∵y=3sin? ? ? 5 ? 5?

?

?

π? ? π? ∴要得到函数 y=3sin? ?x-5?的图象,应把函数 y=3sin?x+5?的图象上所有点向右平行 2 移动 π 个单位长度. 5 π? 2.(教材习题改编)y=2sin? ?2x-4?的振幅、频率和初相分别为( 1 π A.2, ,- π 4 1 π B.2, ,- 2π 4 )

1 π C.2, ,- π 8

1 π D.2, ,- 2π 8

π? 解析:选 A 由振幅、频率和初相的定义可知,函数 y=2sin? ?2x-4?的振幅为 2,周期 1 π 为 π,频率为 ,初相为- . π 4 π 3.将函数 y=sin x 的图象上所有的点向右平行移动 个单位长度,再把所得各点的横 10 坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是( π? A.y=sin? ?2x-10? 1 π? C.y=sin? ?2x-10? π? B.y=sin? ?2x-5? 1 π? D.y=sin? ?2x-20? )

π? π 解析:选 C 将 y=sin x 的图象向右平移 个单位得到 y=sin? ?x-10?的图象,再将图象 10 1 π? 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍得到 y=sin? ?2x-10?的图象. π 4.将函数 y=sin(2x+φ)(0≤φ≤π)的图象向左平移 个单位后,所得的函数恰好是偶函 6 数,则 φ 的值是________. π 解析:函数 y=sin(2x+φ)的图象向左平移 个单位后, 6 π π π π ? 得 y=sin? ?2x+3+φ?,则3+φ=kπ+2.又 0≤φ≤π,故 φ=6. π 答案: 6 5.函数 y=Asin(ωx+φ)(A、ω、φ 为常数,A>0,ω>0)在闭区间[-π,0]上的图象如图 所示,则 ω=________. π 2 T π - ?-?- π?= , 解析:由函数 y=Asin(ωx+φ)的图象可知: =? 3 3 ? 3 2 ? ? ? 2 则 T= π. 3 2π 2 ∵T= = π,∴ω=3. ω 3 答案:3

函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及变换

π? [例 1] 已知函数 y=2sin? ?2x+3?, (1)求它的振幅、周期、初相; (2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象; π? (3)说明 y=2sin? ?2x+3?的图象可由 y=sin x 的图象经过怎样的变换而得到. π? 2π π [自主解答] (1)y=2sin? ?2x+3?的振幅 A=2,周期 T= 2 =π,初相 φ=3. π? π (2)令 X=2x+ ,则 y=2sin? ?2x+3?=2sin X. 3 列表,并描点画出图象: x X y=sin X π? y=2sin? ?2x+3? - 0 0 0 π 6 π 12 π 2 1 2 π 3 π 0 0 7π 12 3π 2 -1 -2 5π 6 2π 0 0

π? π (3)法一:把 y=sin x 的图象上所有的点向左平移 个单位,得到 y=sin? ?x+3?的图象, 3 π? π? 1 再把 y=sin? 得到 y=sin? ?x+3?的图象上的点的横坐标缩短到原来的2倍(纵坐标不变), ?2x+3? π? 的图象,最后把 y=sin? ?2x+3?上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变),即可得到 π? y=2sin? ?2x+3?的图象. 1 法二:将 y=sin x 的图象上每一点的横坐标 x 缩短为原来的 倍,纵坐标不变,得到 y 2 π? π? π ? =sin 2x 的图象; 再将 y=sin 2x 的图象向左平移 个单位, 得到 y=sin 2? ?x+6?=sin?2x+3?的 6 π? 图象;再将 y=sin? ?2x+3?的图象上每一点的横坐标保持不变,纵坐标伸长为原来的 2 倍, π? 得到 y=2sin? ?2x+3?的图象.

若将本例(3)中“y=sin x”改为“y=2cos 2x”,则如何变换?

π?向右平移 π? 向左平移 解:y=2cos 2x=2sin? ― ― → y=2sin 2x π ― ― → y=2sin? 个单位 个单位 ?2x+2? π ?2x+3?,
4 6

π 即将 y=2cos 2x 的图象向右平移 个单位即可得到 12 π? y=2sin? ?2x+3?的图象.

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函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的作法 (1)五点法:用“五点法”作 y=Asin(ωx+φ)的简图,主要是通过变量代换,设 z=ωx π 3 +φ,由 z 取 0, ,π, π,2π 来求出相应的 x,通过列表,计算得出五点坐标,描点后得 2 2 出图象. (2)图象变换法:由函数 y=sin x 的图象通过变换得到 y=Asin(ωx+φ)的图象,有两种主 要途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.

A 1.(2012· 山东高考)已知向量 m=(sin x,1),n= 3Acos x, cos 2x(A>0),函数 f(x)=m· n 2 的最大值为 6. (1)求 A; π (2)将函数 y=f(x)的图象向左平移 个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来 12 5π 1 0, ?上的值域. 的 倍,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图象,求 g(x)在? ? 24? 2 解:(1)f(x)=m· n A 3 1 = 3Asin xcos x+ cos 2x=A? sin 2x+ cos 2x? 2 2 ?2 ? π? =Asin? ?2x+6?. 因为 A>0,由题意知 A=6. π? (2)由(1)知 f(x)=6sin? ?2x+6?. π 将函数 y=f(x)的图象向左平移 个单位后得到 12 π ? π? π? ? y=6sin?2? ?x+12?+6 =6sin?2x+3?的图象;

?

?

π? 1 再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的 倍,纵坐标不变,得到 y=6sin? ?4x+3?的图 2 象.

π? 因此 g(x)=6sin? ?4x+3?. 5π? π ?π 7π? 因为 x∈? ?0,24?,所以 4x+3∈?3, 6 ?, 5π? 故 g(x)在? ?0,24?上的值域为[-3,6]. 求函数 y=Asin(ωx+φ)的解析式

[例 2] (1)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ 是常数,A>0,ω>0)的部分图象如图(1)所 示,则 f(0)=________.

? π?? (2)如图(2)所示是函数 f(x)=Asin(ωx+φ)+B? ?A>0,ω>0,|φ|∈?0,2??图象的一部分,
则 f(x)的解析式为________.

图(1) [自主解答] (1)由图可知 A= 2. T 7π π π ∵ = - = , 4 12 3 4 2π ∴T=π.又∵T= =π, ω ∴ω=2. π ? 又图象过点? ?3,0?, π 2× +φ?=0. ∴sin? ? 3 ? 2 由图可知 π+φ=2kπ+π,k∈Z. 3 π ∴φ=2kπ+ ,k∈Z. 3 π? π 6 故 f(x)= 2sin? ?2x+3?,f(0)= 2sin3= 2 .

图(2)

(2)由于最大值和最小值之差等于 4,故 A=2,B=1. π 把(0,2)代入 f(x),得 2=2sin φ+1,取 φ= . 6

π 由图,可知 0<ω<1,令 ω(-π)+φ=- +2kπ, 2 2 得 ω= . 3 2 π? 所以函数的解析式是 f(x)=2sin? ?3x+6?+1. 答案:(1) 2 π? 6 (2)f(x)=2sin? ?3x+6?+1 2 ——————————————

—————

确定 y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)的解析式的步骤 (1)求 A,b,确定函数的最大值 M 和最小值 m,则 A= 2π (2)求 ω,确定函数的周期 T,则 ω= . T (3)求 φ,常用方法有: ①代入法:把图象上的一个已知点代入(此时 A,ω,b 已知)或代入图象与直线 y=b 的 交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上). ②五点法:确定 φ 值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.具体如下: “第一点”(即图象上升时与 x 轴的交点)为 ωx+φ=0; “第二点”(即图象的“峰点”)为 ωx π +φ= ;“第三点”(即图象下降时与 x 轴的交点)为 ωx+φ=π;“第四点”(即图象的“谷 2 3π 点”)为 ωx+φ= ;“第五点”为 ωx+φ=2π. 2 M-m M+m ,b= . 2 2

π π 2.设函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ< )的部分图象如图所示,直线 x= 是它的一条 2 6 对称轴,则函数 f(x)的解析式为( )

π x+ ? A.f(x)=sin? ? 3? π 4x+ ? C.f(x)=sin? 3? ?

π 2x- ? B.f(x)=sin? 6? ? π 2x+ ? D.f(x)=sin? 6? ?

T 5π π π 解析:选 D ∵由题意可知, = - = , 4 12 6 4 2π π π ∴T=π= , ∴ω=2.再将 x= 代入 B, D 检验直线 x= 是否是对称轴, 得 D 选项正确. ω 6 6

函数 y=Asin(ωx+φ)的图象与性质的综合应用 ωx + 3sin ωx-3(ω>0)在一个周期内的图 2

[例 3] 函数 f(x)=6cos2

象如图所示,A 为图象的最高点,B、C 为图象与 x 轴的交点,且△ABC 为正三角形. (1)求 ω 的值及函数 f(x)的值域; (2)若 f(x0)= 10 2 8 3 - , ?,求 f(x0+1)的值. ,且 x0∈? ? 3 3? 5

π ωx+ ?. [自主解答] (1)由已知可得,f(x)=3cos ωx+ 3sin ωx=2 3· sin? 3? ? 又正三角形 ABC 的高为 2 3,从而 BC=4. 2π π 所以函数 f(x)的周期 T=4×2=8,即 =8,ω= . ω 4 函数 f(x)的值域为[-2 3,2 3]. 8 3 (2)因为 f(x0)= , 5 πx0 π? 8 3 由(1)有 f(x0)=2 3sin? ? 4 +3?= 5 , πx0 π? 4 即 sin? ? 4 +3?=5. 10 2? 由 x0∈? ?- 3 ,3?, 知 πx0 π ? π π? + ∈ - , , 4 3 ? 2 2? 4?2 3 1-? ?5? =5.

πx0 π? 所以 cos? ? 4 +3?=

πx0 π π? 故 f(x0+1)=2 3sin? ? 4 +4+3? πx0 π? π? + =2 3sin?? ?? 4 3?+4? πx0 π? π ?πx0+π? π? + =2 3?sin? ? ? 4 3?cos4+cos? 4 3?sin4? 4 2 3 2 7 6 =2 3? × + × ?= . ?5 2 5 2 ? 5 ————— —————————————— 解决三角函数图象与性质的综合问题的方法 认识并理解三角函数的图象与性质是解决此类问题的关键. 此类问题往往先用三角恒等 变换化简函数解析式,再来研究其性质,因此对三角恒等变换的公式应熟练掌握.

π π? 3.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R? ?其中A>0,ω>0,-2<φ<2?,其部分图象如 图所示.

(1)求函数 f(x)的解析式; (2)已知横坐标分别为-1、1、5 的三点 M、N、P 都在函数 f(x)的图象上,求 sin∠MNP 的值. 解:(1)由图可知, 2π π 最小正周期 T=4×2=8,所以 T= =8,ω= . ω 4 π π π ? 又 f(1)=sin? ?4+φ?=1,且-2<φ<2, π π 3π π π π 所以- < +φ< ,所以 +φ= ,φ= . 4 4 4 4 2 4 π 所以 f(x)=sin (x+1). 4 π (2)因为 f(-1)=sin (-1+1)=0, 4 π π f(1)=sin (1+1)=1,f(5)=sin (5+1)=-1, 4 4 所以 M(-1,0),N(1,1),P(5,-1), 所以|MN|= 5,|MP|= 37,|PN|= 20, 5+20-37 3 从而 cos∠MNP= =- , 5 2 5× 20 由∠MNP∈(0,π), 4 得 sin∠MNP= 1-cos2∠MNP= . 5

? 1 个区别——两种图象变换的区别 由 y=sin x 的图象变换到 y=Asin(ωx+φ)的图象,两种变换的区别:先相位变换再周期 |φ| 变换(伸缩变换), 平移的量是|φ|个单位; 而先周期变换(伸缩变换)再相位变换, 平移的量是 ω (ω>0)个单位.原因在于相位变换和周期变换都是针对 x 而言,即 x 本身加减多少值,而不 是依赖于 ωx 加减多少值.

? 2 个注意——作函数 y=Asin(ωx+φ)的图象应注意的问题 (1)首先要确定函数的定义域; (2)对于具有周期性的函数,应先求出周期,作图象时只要作出一个周期的图象,就可 根据周期性作出整个函数的图象. ? 3 种方法——由函数图象求解析式的方法 方法一 如果从图象可确定振幅和周期, 则可直接确定函数表达式 y=Asin(ωx+φ)中的 参数 A 和 ω, 再选取“第一零点”(即五点作图法中的第一个点)的数据代入“ωx+φ=0”(要 注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得 φ. 方法二 通过若干特殊点代入函数式,可以求得相关待定系数 A,ω,φ.依据是五点法. 方法三 运用逆向思维的方法,根据图象变换可以确定相关的参数.

答题模板——由三角函数图象确定解析式

[典例] (2012· 湖南高考)(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=Asin(ωx π? +φ)? ?x∈R,ω>0,0<φ<2?的部分图象如图所示. (1)求函数 f(x)的解析式; π? ? π? (2)求函数 g(x)=f? ?x-12?-f?x+12?的单调递增区间. [快速规范审题] 第(1)问 1.审条件,挖解题信息 观察条件: 函数 f(x) = Asin(ωx + φ) 的部分图象― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― → (0,1) , 11π 5π? 可确定周期 ?5π,0?,?11π,0?― ― ― ― ― →T=2? ?12 ? ? 12 ? ― ? 12 -12?=π. 2.审结论,明确解题方向 观察所求结论:求函数 f(x)的解析式― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― →应建立关于 A,ω,φ 的三个 方程. 3.建联系,找解题突破口 2π 5π 由周期确定ω 由平衡点确定φ 结合条件和求解可知― ― ― ― ― ― ― ― → =π,即 ω=2― ― ― ― ― ― ― →2× +φ=π+2kπ, ω 12 k∈Z,
需要确定A,ω,φ三个参数 可知图象与y轴的交点及两个平衡点

π? π 初步确定函数解析式 即 φ= ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― →f(x)=Asin? ?2x+6? 6 π 由点?0,1?确定A ― ― ― ― ― ― ― ― ― →f(0)=1?Asin =1?A=2 6 π? A,ω,φ都已求出,解析式确定 ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― →f(x)=2sin? ?2x+6?. 第(2)问 1.审条件,挖解题信息 π? 观察条件:f(x)=2sin? ?2x+6?. 2.审结论,明确解题方向 π? ? π? 化简g?x?的解析式 观察所求结论:求函数 g(x)=f? ― ― ― ― ― ― ― ― →g(x) ?x-12?-f?x+12?的单调递增区间― π? =2sin? ?2x-3?. 3.建联系,找解题突破口 π π π 联想函数 y=sin x 的单调性 ?????????? ? 2kπ-2≤2x-3≤2kπ+2?kπ π 5π? π 5π - ≤x≤kπ+ ,k∈Z?g(x)的单调递增区间是? ?kπ-12,kπ+12?,k∈Z. 12 12 [准确规范答题] 11π 5π? (1)由题设图象知,周期 T=2? ? 12 -12?=π, 2π 所以 ω= =2.?(2 分) T 5π 因为点( ,0)在函数图象上, 12 5π 5π 2× +φ?=0,即 sin? +φ?=0. 所以 Asin? 12 ? ? ?6 ? π 5π 5π 4π 又因为 0<φ< ,所以 < +φ< . 2 6 6 3 5π π 从而 +φ=π,即 φ= .?(4 分) 6 6 又点(0,1)在函数图象上,所以 π Asin =1,得 A=2.?(5 分) 6 故函数 f(x)的解析式为 π? f(x)=2sin? ?2x+6?.?(6 分) π π π π x- ?+ ?-2sin?2?x+ ?+ ? (2)g(x)=2sin?2? ? ? 12? 6? ? ? 12? 6?
? ?? ? 单调递增区间为? 2 k ?? ,2 k ?? ? , k?z 2 2? ?

易忽视 φ 的范围或点

?5π+0?为第二个平衡 ?12 ?
点而导致解题错误.

π? =2sin 2x-2sin? ?2x+3??(7 分) 1 3 =2sin 2x-2? sin 2x+ cos 2x? 2 ?2 ? =sin 2x- 3cos 2x?(8 分) π? =2sin? ?2x-3?.?(9 分) π π π 由 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ , 2 3 2 π 5π 得 kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z.?(11 分) 12 12 所以函数 g(x)的单调递增区间 π 5π? 是? ?kπ-12,kπ+12?,k∈Z.?(12 分) [答题模板速成] 由图象确定函数 y=Asin(ωx+φ)的解析式,一般可用以下几步解答: 易忽视易将单调区间写成不 等式 kπ - π 5π ≤x≤kπ + , k 12 12

∈Z 或漏写 k∈Z 造成结论表 述不准确.

将“ωx+φ” 第 一 步 观 察 图 象 根据图象确定 五点作图中的 第一个平衡 点、第二个平 衡点的坐标或 图象的最高 点、最低点 ? 第二 步 明确 方向 作为一个整 体,找到对应 的值(通常利 用周期求 ω, ? 利用图象的 某一个点(通 常选取平衡 点)确定 φ) 第三 步 给出 证明 列方程 组求解 (求 φ 时, 往往要 利用 φ 的范围)

写出 第四步 写解析式 所求 的函 数解 析式 ? 第五步 反思回 顾

查看关键点,易错点及答题规 范.如本题中在求 φ 时,要注 5π ? 意? ?12,0?是“五点作图”中 的第二个零点

?

一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 1.(2012· 浙江高考)把函数 y=cos 2x+1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵 坐标不变),然后向左平移 1 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度,得到的图象是( )

解析:选 A 变换后的三角函数为 y=cos(x+1),结合四个选项可得 A 选项正确. π 2.设函数 f(x)=cos ωx(ω>0),将 y=f(x)的图象向右平移 个单位长度后,所得的图象 3 与原图象重合,则 ω 的最小值等于( 1 A. 3 C.6 ) B.3 D.9

π ? π π ? π?? ? 解析:选 C 将 f(x)向右平移 个单位长度得 g(x)=cos? ?ω?x-3??=cos?ωx-3ω?,则-3 3 ω=2kπ, 即 ω=-6k(k∈Z).∵ω>0,∴k<0.∴当 k=-1 时,ω 有最小值 6. π 3.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)+h(ω>0,0<φ< )的图象如图所示, 2 则 f(x)=( )

x π? A.4sin? ?2+4?+2 x π? B.-4sin? ?2-4?+2 x π? C.2sin? ?2+4?+4 x π? D.-2sin? ?2+4?+4 π 6-2 π - ??= 解析:选 C 由题中的图象可知,A= =2,h=4,函数 f(x)的周期为 4?2-? 2 ? ? 2?? π ? 1 1 π ,6 相当于五点作图法的第二个点,所以 × +φ 4π,所以 ω= .点? 2 ?2 ? 2 2 π π = ,所以 φ= ,根据以上分析结合函数的图象特征可知函数 f(x)的 2 4 x π? 解析式为 f(x)=2sin? ?2+4?+4.

π? ?π? 4.已知函数 f(x)=Atan(ωx+φ)? ?ω>0,|φ|<2?,y=f(x)的部分图象如图,则 f?24?等于 ( ) A.2+ 3 C. 3 3 B. 3 D.2- 3

解析:选 B ∵由图象可知: 3π π? π T=2? ? 8 -8?=2, π π π ∴ω=2,∴2× +φ=kπ+ .又|φ|< , 8 2 2 π π ∴φ= .又 f(0)=1,∴Atan =1, 4 4 π 2x+ ?, 得 A=1,∴f(x)=tan? 4? ? π? ? π +π?=tanπ= 3. ∴f? = tan ?24? ?12 4? 3 5.(2013· 江西九校联考)已知 A,B,C,D 是函数 y=sin(ωx+φ)ω π ? π >0,0<φ< 一个周期内的图象上的四个点,如图所示,A? ?-6,0?,B 2 为 y 轴上的点,C 为图象上的最低点,E 为该函数图象的一个对称中

??? ? π 心,B 与 D 关于点 E 对称, CD 在 x 轴上的投影为 ,则 ω,φ 的值 12
为( ) π A.ω=2,φ= 3 1 π C.ω= ,φ= 2 3 π B.ω=2,φ= 6 1 π D.ω= ,φ= 2 6

??? ? π π 解析:选 A 由 CD 在 x 轴上的投影为 ,知 OF= , 12 12
π ? T π π 又 A? ?-6,0?,所以 AF=4=2ω=4,所以 ω=2. 同时函数图象可以看做是由 y=sin x 的图象向左平移而来,故可 φ φ π π 知 = = ,即 φ= . ω 2 6 3 6. (2013· 潍坊模拟)如图, 为了研究钟表与三角函数的关系, 建立如图所示的坐标系,设秒针尖位置 P(x,y).若初始位置为 P0? 3 1? ,当秒针从 P0(注:此时 t=0)正常开始走时,那么点 ? 2 ,2? )

P 的纵坐标 y 与时间 t 的函数关系为(

π π? A.y=sin? ?30t+6? π π? C.y=sin? ?-30t+6?

π π? B.y=sin? ?-60t-6? π π? D.y=sin? ?-30t-3?

π 解析:选 C 由题意可得,函数的初相位是 ,排除 B、D.又函数周期是 60(秒)且秒针 6 2π π π 按顺时针旋转,即 T= =60,所以|ω|= ,即 ω=- . |ω| 30 30 二、填空题(本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分) π? 7.已知函数 f(x)=3sin? ?ωx-6?(ω>0)和 g(x)=2cos(2x+φ)+1 的图象的对称轴完全相 π? 同.若 x∈? ?0,2?,则 f(x)的取值范围是________. 解析: ∵f(x)与 g(x)的图象的对称轴完全相同, ∴f(x)与 g(x)的最小正周期相等. ∵ω>0, π? π π π 5π ∴ω=2,∴f(x)=3sin? ?2x-6?.∵0≤x≤2,∴-6≤2x-6≤ 6 , π? π? 1 3 ? ? 3 ? ∴- ≤sin? ?2x-6?≤1,∴-2≤3sin?2x-6?≤3,即 f(x)的取值范围为?-2,3?. 2 3 ? 答案:? ?-2,3? π? 8.已知直线 y=b(b<0)与曲线 f(x)=sin? ?2x+2?在 y 轴右侧依次的三个交点的横坐标成 等比数列,则 b 的值是________. 解析:设三个横坐标依次为 x1,x2,x3, x1+x2=π, ? ? 由图及题意有,?x2+x3=2π, ? ?x2 2=x1x3, 2π 解得 x2= , 3 2π? 1 所以 b=f? ? 3 ?=-2. 1 答案:- 2

?π?? 9.(2013· 苏州模拟)设 f(x)=asin 2x+bcos 2x,其中 a,b∈R,ab≠0,若 f(x)≤? ?f?6??对
一切 x∈R 恒成立,则 11π? ? ?7π?? ? ?π?? ①f? ? 12 ?=0;②?f?10??<?f?5??;③f(x)既不是奇函数也不是偶函数;④f(x)的单调递增 π 2π? 区间是? ?kπ+6,kπ+ 3 ?(k∈Z);⑤存在经过点(a,b)的直线与函数 f(x)的图象不相交. 以上结论正确的是________(写出所有正确结论的编号).

b? 解析:f(x)=asin 2x+bcos 2x= a2+b2sin(2x+φ)? ?其中tan φ=a?,因为对一切 x∈R, π π? π ?π?? ? 1, f(x)≤? 所以 sin? 可得 φ=kπ+ (k∈Z), 故 f(x)=± a2+b2sin? ?f?6??恒成立, ?3+φ?=± ?2x+6?. 6 11π? 11π π? 2 2 ? ?7π?? ? 2 2 47 ? 而 f? sin ? ? 12 ? = ± a +b · ?2× 12 +6? = 0 , 所 以 ① 正 确 ; ?f?10?? = ? a +b sin30π? =

? a2+b2sin17π?,?f?π??=? a2+b2sin17π?,所以?f?7π??=?f?π??,故②错误;③明显正 30 ? ? ?5?? ? 30 ? ? ? ?10?? ? ?5??
π? π? 2 2 ? 确; ④错误; 由函数 f(x)= a2+b2sin? ?2x+6?和 f(x)=- a +b sin?2x+6?的图象可知(图略), 不存在经过点(a,b)的直线与函数 f(x)的图象不相交,故⑤错. 答案:①③ 三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 12 分,共 36 分) π 10.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|< 的图象与 y 轴的交点为(0,1),它在 2 y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x0+2π,-2).

(1)求函数 f(x)的解析式及 x0 的值; 1 (2)若锐角 θ 满足 cos θ= ,求 f(4θ)的值. 3 T 解:(1)∵由题意可得 A=2, =2π,即 T=4π, 2 ∴ 2π 1 =4π,∴ω= . ω 2

1 ? ∴f(x)=2sin? ?2x+φ?.由图象经过点(0,1)得, π π f(0)=2sin φ=1,又|φ|< ,∴φ= . 2 6 1 π? 故 f(x)=2sin? ?2x+6?. 1 π? 1 π π 2π 又 f(x0)=2sin? ?2x0+6?=2,∴2x0+6=2kπ+2(k∈Z),∴x0=4kπ+ 3 (k∈Z), 2π 根据图象可得 x0 是最小的正数,∴x0= . 3 π? (2)由(1)知,f(4θ)=2sin? ?2θ+6?= 3sin 2θ+cos 2θ. π 1 2 2 0, ?,cos θ= ,∴sin θ= ∵θ∈? , ? 2? 3 3

7 4 2 ∴cos 2θ=2cos2θ-1=- ,sin 2θ=2sin θcos θ= , 9 9 ∴f(4θ)= 3× 4 2 7 4 6 7 4 6-7 - = - = . 9 9 9 9 9

x π? ?x π? 11.已知函数 f(x)=2 3· sin? ?2+4?cos?2+4?-sin(x+π). (1)求 f(x)的最小正周期; π (2)若将 f(x)的图象向右平移 个单位,得到函数 g(x)的图象,求函数 g(x)在区间[0,π]上 6 的最大值和最小值. π π 3 1 x+ ?+sin x= 3cos x+sin x=2? cos x+ sin x?=2sin?x+ ?, 解: (1)因为 f(x)= 3sin? ? 2? ? 3? 2 ?2 ? 所以 f(x)的最小正周期为 2π. π? π (2) ∵ 将 f(x) 的 图 象 向 右平 移 个 单 位 ,得 到 函数 g(x) 的 图 象 , ∴ g(x) = f ? ?x-6? = 6 π π π ?π 7π? ? π? x- ? ? 2sin?? ?? 6?+3?=2sin?x+6?.∵x∈[0,π],∴x+6∈?6, 6 ?, π π π ∴当 x+ = ,即 x= 时, 6 2 3 π? sin? ?x+6?=1,g(x)取得最大值 2. π? π 7π 1 当 x+ = ,即 x=π 时,sin? ?x+6?=-2,g(x)取得最小值-1. 6 6 12.已知函数 f(x)=2acos2x+bsin xcos x- (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)的单调递减区间; (3)函数 f(x)的图象经过怎样的平移才能使所得图象对应的函数成为奇函数? 解:(1)∵由 f(0)= ∴2a= 3,则 a= 3 3 3 ,得 2a- = , 2 2 2 π? 1 3 3 b 3 1 .由 f? ?4?=2,得 2 +2- 2 =2,∴b=1. 2 3 2 π? 1 3 3 ,且 f(0)= ,f? ?4?=2. 2 2

∴f(x)= 3cos2x+sin xcos x- =

π? 3 1 cos 2x+ sin 2x=sin? ?2x+3?, 2 2 2π =π. 2

∴函数 f(x)的最小正周期 T=

π π 3 (2)∵由 +2kπ≤2x+ ≤ π+2kπ(k∈Z),得 2 3 2

π 7 +kπ≤x≤ π+kπ(k∈Z), 12 12 π 7 ? ∴f(x)的单调递减区间是? ?12+kπ,12π+kπ?(k∈Z). π? (3)∵f(x)=sin2? ?x+6?, π π ∴奇函数 y=sin 2x 的图象左移 个单位,即得到 f(x)的图象.故函数 f(x)的图象右移 个 6 6 单位后对应的函数成为奇函数.

π? 1. 为了得到函数 y=sin x+cos x 的图象, 只需把 y= 2sin? ?x-4?的图象上所有的点( π A.向左平移 个单位 4 π C.向左平移 个单位 2 π B.向右平移 个单位 4 π D.向右平移 个单位 2

)

π? ?? π? π? 解析:选 C ∵y=sin x+cos x= 2sin? ?x+4?= 2sin??x+2?-4?. π? π ∴y= 2sin? ?x-4?的图象向左平移2个单位,可得 y=sin x+cos x 的图象. 2. 函数 f(x)=Asin(2x+φ)(A>0, φ∈R)的部分图象如图所示, 那么 f(0) =( ) 1 A.- 2 C.-1 B.- 3 2

D.- 3

π? 解析:选 C ∵由图可知,A=2,f? ?3?=2, 2π ? ?2π ? ∴2sin? ? 3 +φ?=2,∴sin? 3 +φ?=1, ∴ 2π π π +φ= +2kπ(k∈Z),∴φ=- +2kπ(k∈Z), 3 2 6

π ? ? 1? ∴f(0)=2sin φ=2sin? ?-6+2kπ?=2×?-2?=-1. 3.设函数 f(x)=sin ωx+ 3cos ωx(ω>0)的周期为 π. (1)求它的振幅、初相; (2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象; (3)说明函数 f(x)的图象可由 y=sin x 的图象经过怎样的变换而得到. 1 3 解:(1)f(x)=sin ωx+ 3cos ωx=2? sin ωx+ cos ωx? 2 ?2 ?

π? =2sin? ?ωx+3?. π? 2π 又∵T=π,∴ =π,即 ω=2.∴f(x)=2sin? ?2x+3?, ω π ∴函数 f(x)=sin ωx+ 3cos ωx 的振幅为 2,初相为 . 3 (2)列出下表 π 2x+ 3 x π 2x+ ? y=2sin? 3? ? 描点画出图象如图. 0 π - 6 0 π 2 π 12 2 π π 3 0 3 π 2 7π 12 -2 2π 5 π 6 0

π (3)把 y=sin x 图象上所有的点向左平移 个单位, 3 π? π? 1 得到 y=sin? 再把 y=sin? ?x+3?的图象, ?x+3?的图象上所有点的横坐标缩短到原来的2(纵 π? π? ? 坐标不变),得到 y=sin? ?2x+3?的图象,然后把 y=sin?2x+3?的图象上所有点的纵坐标伸长 π? 到原来的 2 倍(横坐标不变),即可得到 y=2sin? ?2x+3?的图象. 4.如图为 y=Asin(ωx+φ)的图象的一段. (1)求其解析式; π (2)若将 y=Asin(ωx+φ)的图象向左平移 个单位后得 y=f(x)的图 6 象,求 f(x)的对称轴方程. π ? 解:(1)由图象知 A= 3,以 M? ?3,0?为第一个零点, 5π ? N? ? 6 ,0?为第二个零点. +φ=0, ?ω· 3 列方程组? 5π ?ω·6 +φ=π, π ω=2, ? ? 解之得? 2π ?φ=- 3 . ?

2π? 故所求解析式为 y= 3sin? ?2x- 3 ?. π 2π? π? π π 5 kπ ? x+ ? (2)f(x)= 3sin?2? ? ? 6?- 3 ?= 3sin?2x-3?.令 2x-3=2+kπ,k∈Z,则 x=12π+ 2 (k ∈Z), 5 kπ 故 f(x)的对称轴方程为 x= π+ (k∈Z). 12 2


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